Tema 4 - Estados de Esfuerzos y Deformaciones
Resistencia de Materiales
Tema 4
Estados de Esfuerzos y
Deformaciones
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Facultad de Ingeniería
Escuela de Ingeniería Mecánica
Tema 4 - Estados de Esfuerzos y Deformaciones
Índice de contenido
Índice de contenido
• Sección 1 - Estado general de esfuerzos
• Sección 2 - Transformación de esfuerzos planos
• Sección 3 - Esfuerzos Principales
• Sección 4 - Estado plano de deformación
• Sección 5 - Transformación de deformaciones planas
• Sección 6 - Deformaciones principales
• Sección 7 - Relación entre esfuerzo y deformación plana
• Sección 8 - Círculo de Mohr
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Tema 4 - Estados de Esfuerzos y Deformaciones
Índice de contenido
Índice de contenido
• Sección 9 - Casos de estado plano de esfuerzo y deformación
• Sección 10 – Rosetas de Deformación
• Sección 11 – Resumen de Ecuaciones
• Sección 12 - Ejercicios
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Tema 4 - Estados de Esfuerzos y Deformaciones
Sección 1 - Estado general de esfuerzos
Estado general de esfuerzos
En capítulos anteriores se desarrollaron métodos para determinar
las distribuciones de esfuerzo normal y/o cortante en una sección
transversal de un miembro cuando se somete a carga axial, fuerza cortante,
momento flector y/o momento torsor.
Si consideramos un elemento
diferencial cuadrado, notaremos que
éste tiene seis caras, y que en cada una
de ellas puede existir un esfuerzo
normal y dos esfuerzos cortantes.
En la figura mostrada, se
muestran solo los esfuerzos de las
caras visibles. En las caras paralelas no
visibles, deben ocurrir esfuerzos de la
misma magnitud y sentido contrario para
que el elemento esté equilibrado.
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Tema 4 - Estados de Esfuerzos y Deformaciones
Sección 1 - Estado general de esfuerzos
En este capítulo enfocaremos nuestra atención en el estado plano
de esfuerzos, el cual ocurre cuando todos los esfuerzos que actúan sobre el
elemento diferencial pueden visualizarse en una representación plana, como
se muestra en la figura. Note que en el elemento diferencial tridimensional
sólo se muestran los esfuerzos en las caras visibles, de forma análoga al
caso anterior.
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Tema 4 - Estados de Esfuerzos y Deformaciones
Sección 2 - Transformación de esfuerzos
Transformación de esfuerzos planos
Consideremos un elemento diferencial sometido al estado plano de
esfuerzos que se muestra en la figura. Si realizamos un corte sobre él,
deben aparecer en el plano de corte un esfuerzo normal (sq) y uno cortante
(txy) para que el elemento se mantenga en equilibrio. El ángulo q indica la
dirección normal al plano de corte.
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Tema 4 - Estados de Esfuerzos y Deformaciones
Sección 2 - Transformación de esfuerzos
Asumiendo como unitaria la profundidad del elemento, podemos
establecer las ecuaciones para que se mantenga el equilibrio en el elemento
diferencial. En primer lugar, establezcamos las fuerzas que ejercen sx, sy y
txy sobre el elemento:
Px  s x  dy  t xy  dy  tan q
Py  s y  dy  tan q  t xy  dy
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Sección 2 - Transformación de esfuerzos
Si proyectamos estas fuerzas sobre la dirección q, podremos
obtener el valor del esfuerzo sq:
 Fq  Px  cos q  Py  sin q  s q 
dy
cos q
0
Luego, al desarrollar la expresión nos queda:
s q  s x  cos 2 q  s y  sin 2 q  2 t xy  sin q  cos q
Si utilizamos la identidades trigonométricas:
cos q 
2
1  cos 2q
2
; sin q 
2
1  cos 2q
;
2  sin q  cosq  sen2q
2
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Tema 4 - Estados de Esfuerzos y Deformaciones
Sección 2 - Transformación de esfuerzos
Podemos plantear finalmente:
s x s y
s q  
2

  s x s y

 
2
 

  cos 2q  t xy  sin 2q


Esta expresión nos permite hallar el esfuerzo normal sobre
cualquier plano de un elemento diferencial con una inclinación q respecto a
la dirección x.
Si planteamos la misma expresión para un ángulo q’=q+90º, nos
queda:
sq '
s x s y
 
2

  s x s y

 
2
 

  cos( 2q  180)  t xy  sin( 2q  180)


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Sección 2 - Transformación de esfuerzos
Recordando que trigonométrica mente se cumple que:
cos( )  cos(  180)  0
sin(  )  sin(   180)  0
Hallaremos que para las expresiones planteadas anteriormente se
cumple:
s x  s y  s q  s q '  ctte
Esto quiere decir que, en un elemento diferencial sometido a un
estado de esfuerzos plano, la suma de los esfuerzos normales producidos
en dos planos perpendiculares entre sí es siempre constante.
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Sección 2 - Transformación de esfuerzos
Ahora buscaremos una expresión que nos permita hallar el
esfuerzo cortante sobre el plano q. Si proyectamos ahora las fuerzas Px y Py
sobre la dirección q ’ (perpendicular a q ), tenemos:
 Fq
'
 Px  sin q  Py  cos q  t qq ' 
dy
cos q
0
Desarrollando la expresión nos queda:
t qq '  (s x  s y )  cosq  senq  t xy  sin 2 q  t xy  cos 2 q
Recordando las identidades trigonométricas:
cos q 
2
1  cos 2q
2
; sin q 
2
1  cos 2q
2
;
2  sin q  cosq  sen2q
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Sección 2 - Transformación de esfuerzos
Podemos plantear finalmente:
t qq '
 s x s y
 
2


  sin 2q  t xy  cos 2q


Esta expresión nos permite hallar el esfuerzo cortante sobre
cualquier plano de un elemento diferencial con una inclinación q respecto a
la dirección x.
Si planteamos la misma expresión para un ángulo q’=q+90º, nos
queda:
t q 'q
 s x s y
 
2


  sin( 2q  180)  t xy  cos( 2q  180)


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Tema 4 - Estados de Esfuerzos y Deformaciones
Sección 2 - Transformación de esfuerzos
Recordando que trigonométrica mente se cumple que:
cos( )  cos(  180)  0
sin(  )  sin(   180)  0
Si sumamos los esfuerzos cortantes para q y q ‘ veremos que se
cumple:
t qq '  t q 'q  0
;
t qq '  t q 'q
Esto quiere decir que, en un elemento diferencial sometido a un
estado de esfuerzos plano, se cumple que en dos planos cualesquiera
perpendiculares entre sí los esfuerzos cortantes serán de la misma
magnitud. El cambio de signo se debe a que en un plano, el esfuerzo
cortante trata de hacer girar al elemento en sentido horario, y en el otro
plano ocurre al revés.
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Sección 3 - Esfuerzos Principales
Esfuerzos Principales
En el diseño y análisis de esfuerzos, con frecuencia se requiere
determinar los esfuerzos máximos en un elemento para garantizar la
seguridad del miembro cargado.
La ecuación que muestra la variación del esfuerzo en un elemento
diferencial para cualquier plano depende de la variable q. Por ello podemos
derivar dicha ecuación para conseguir la dirección de los esfuerzos
máximos:
d s x s y


dq
dq 
2
ds q
 d  s x s y
 d



t xy  sin 2q 

cos
2
q
 dq 

2


 dq
De lo que resulta:
ds q
dq

s x s y
2
 2  sin 2q  t xy  2  cos 2q
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Sección 3 - Esfuerzos Principales
Igualando la ecuación anterior a cero, para obtener los valores
máximos y minimos, queda:
tan 2q p 
 2 t xy
s x s y
Donde qp es la orientación del plano principal. Recordando que la
función tanq se repite cada 180º, la función tan2q se repetiría cada 90º, por
lo que habrían dos soluciones. La ecuación anterior podemos visualizarla
también de la forma:
sin 2q p
cos 2q p

 2 t xy
s x s y
Donde el término -2txy representaría el cateto opuesto de un
triángulo rectángulo con ángulo interno 2qp, y el término sx-sy representaría
el cateto adyacente.
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Sección 3 - Esfuerzos Principales
Podemos entonces hacer una representación de ese triángulo y
hallar las expresiones para sin2q y cos2q.
De la figura puede definirse
la hipotenusa de triángulo:
H 
 s x s y


2

2

2
  t xy


Finalmente, se puede plantear para qp1:
sin 2q p1 
t xy
H
;
cos 2q p1 
s x s y
2 H
Para qp2 las expresiones serían las mismas, pero con signo
contrario.
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Sección 3 - Esfuerzos Principales
Al introducir estas expresiones en la ecuación de sq, obtenemos:
s 1, 2
s x s y

s

s
s

s
2
 x
 x
y 
y  


 
 

2
2
H

 




 t xy 
t xy
H
Finalmente queda:
s 1, 2 
s x s y
2
 s x s y
 
2

2

2
  t xy


Donde sp1,2 son los esfuerzos de mayor magnitud que pueden
darse en el elemento diferencial y se denominan esfuerzos principales.
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Sección 3 - Esfuerzos Principales
Si sustituimos sin(2qp1,2) y cos(2qp1,2) en la expresión referente a
tqq’, obtenemos:
 s x s y 
 s x  s y   t xy 
t qp qp  
1
2

2


  H   t xy 
 



2


0
H
Esto quiere decir que en los planos principales, sólo existen
esfuerzos normales, pues el esfuerzo cortante es nulo.
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Sección 3 - Esfuerzos Principales
También podemos obtener expresiones para determinar los
esfuerzos cortantes máximos en el elemento. Si derivamos la expresión del
esfuerzo cortante que depende del ángulo q:
dt qq '
dq

(s x  s y )
2
 2  cos 2q  t xy  (2  sen 2q )  0
Finalmente queda:
tan 2q p 
sin 2q p
cos 2q p

s x s y
2 t xy
De forma análoga al caso de esfuerzos normales principales,
existen dos ángulos solución para esta ecuación. Podemos establecer las
expresiones para sin2qp y para cos2qp.
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Sección 3 - Esfuerzos Principales
Se cumple que:
H 
 s x s y 



2
2
  t xy


2
Por lo tanto:
cos 2q 
t xy
sin 2q 
H
s x s y
2 H
Al sustituir esta expresión en la expresión de tqq’, nos queda:
t max 
 s x s y


2

2

2
  t xy


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Sección 3 - Esfuerzos Principales
Si sustituimos sin(2q) y cos(2q) en la expresión referente a sq,
obtenemos:
sq  sq ' 
s x s y
2
 s prom
Esto quiere decir que en los planos donde el esfuerzo cortante es
máximo, se origina un esfuerzo normal que designaremos esfuerzo normal
promedio (sprom).
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Sección 4 - Estado plano de deformaciones
Estado plano de deformaciones
Si consideramos un elemento sometido a un estado bidimensional
de esfuerzos, los esfuerzos normales tenderán a alargar ó acortar el
elemento diferencial en la dirección en que actúen, produciendo
deformaciones normales unitarias (e). El esfuerzo cortante distorsionará el
elemento en el plano en que actúe, produciendo una deformación angular
g). Entonces, un elemento diferencial en el plano puede sufrir tres
deformaciones, como se muestra en la figura.
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Tema 4 - Estados de Esfuerzos y Deformaciones
Sección 5 - Transformación de deformaciones planas
Transformación de deformaciones
planas
Ahora enfocaremos nuestra atención en encontrar las
deformaciones unitarias normales y tangenciales para cualquier dirección en
un elemento diferencial deformado.
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Sección 5 - Transformación de deformaciones planas
Consideremos el elemento diferencial cortado en la dirección q,
como se muestra en la figura. En primer lugar, estableceremos los
alargamientos totales en las direcciones x e y, despreciando los términos
que resulten muy pequeños:
 x  e x  dx 
g xy
 dx  tan q
2
g xy
 y  e y  dx  tan q 
 dx
2
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Sección 5 - Transformación de deformaciones planas
El alargamiento en la dirección x’ viene dado por la proyección de
las deformaciones x y y sobre dicha dirección. Y la deformación unitaria
normal, es la razón entre el alargamiento proyectado y la longitud del
segmento x’ en el elemento diferencial antes de ser deformado. Podemos
entonces establecer que:
eq 
 x'
dx'

x  cos q  y  sin q
dx
cos q
Al desarrollar esta expresión, nos queda:
e q  e x  cos q 
2
g xy
2
 sin  cos q  e y  sin q 
2
g xy
 sin q  cos q
2
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Sección 5 - Transformación de deformaciones planas
Utilizando las identidades trigonométricas:
cos q 
2
1  cos 2q
sin q 
2
;
1  cos 2q
2
;
2  sin q  cosq  sen2q
2
Obtenemos finalmente:
eq 
ex ey
2

ex e y
 cos 2q 
2
g xy
 sin 2q
2
De forma similar a la ecuación relativa a esfuerzos normales, para
esta expresión también se cumple que:
e x  e y  eq  eq '
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Sección 5 - Transformación de deformaciones planas
Ahora, proyectaremos las deformaciones x y y sobre una
dirección perpendicular a x’. Y la deformación unitaria tangencial, es la razón
entre el alargamiento proyectado y la longitud del segmento x’ en el
elemento diferencial antes de ser deformado. Podemos entonces establecer
que:
g qq ' 
 y'

x  cos(q  90)  y  sin( q  90)
dx
dx'
cos q
Al desarrollar esta expresión, nos queda:
g qq '  e x  cos q  sin q 
g xy
2
 sin q  e y  sin q  cos q 
2
g xy
 cos q
2
2
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Sección 5 - Transformación de deformaciones planas
Utilizando las identidades trigonométricas:
cos q 
2
1  cos 2q
2
sin q 
2
;
1  cos 2q
2
2  sin q  cosq  sen2q
;
Obtenemos finalmente:
g qq ' 
ex ey
 sin 2q 
g xy
2
 cos 2q
2
De forma similar a la ecuación relativa a esfuerzos cortantes, para
esta expresión también se cumple que:
g qq '  g q 'q
Recordemos que el cambio de signo se debe a que en dos planos
perpendiculares, la deformaciones tangenciales giran en sentidos opuestos.
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Sección 6 - Deformaciones Principales
Deformaciones Principales
La ecuación que muestra la variación de las deformaciones en un
elemento diferencial para cualquier plano depende de la variable q. Por ello
podemos derivar dicha ecuación para conseguir la dirección de las
deformaciones máximas:
d ex ey


dq
dq 
2
de q
 d ex ey
 d  g xy




 cos 2q  
 sin 2q 
 dq 

2


 dq  2

De lo que resulta:
de q
dq

ex ey
2
 2  sin 2q 
g xy
 2  cos 2q
2
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Sección 6 - Deformaciones Principales
Igualando la ecuación anterior a cero, para obtener los valores
máximos y minimos, queda:
tan 2q p 
 g xy
ex ey
Donde qp es la orientación del plano principal. Observemos que la
solución de esta ecuación es igual que aquella de la ecuación relativa a los
esfuerzos principales, si consideramos las siguiente sustituciones:
sx ex
sy ey
;
;
t xy 
g xy
2
Entonces, podemos establecer la expresión para deformaciones
principales:
e 1, 2 
ex ey
2
 ex ey 
 

2
2
 g xy 
 


 2 



2
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Sección 6 - Deformaciones Principales
Análogamente, la ecuación para determinar las deformaciones
tangenciales máximas sería:
g max
2

ex ey 



2
2
 g xy 
2
 


 2 



De igual forma que en el caso de esfuerzos principales, en los
planos donde ocurre la deformación unitaria normal máxima, la deformación
unitaria tangencial es nula. Y en los planos donde la deformación unitaria
tangencial es máxima, la deformación unitaria normal es eprom.
e prom 
ex ey
2
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Sección 7 - Relación entre esfuerzo y deformación plana
Relación entre Esfuerzo y Deformación
plana
Cuando un elemento diferencial se somete a esfuerzo normal de
tracción, sufre una deformación normal positiva (ó estiramiento) en la
dirección en que se produce dicho esfuerzo, y una contracción en la
dirección perpendicular a la que ocurre el mismo.
Si por el contrario,
el esfuerzo normal es de
compresión, el elemento se
acortará en la dirección del
mismo y se estirará en la
dirección perpendicular.
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Sección 7 - Relación entre esfuerzo y deformación plana
El alargamiento ó acortamiento que experimenta un elemento
diferencial en la dirección perpendicular al esfuerzo, se puede hallar
utilizando el módulo de Poisson (n). En caso de que el esfuerzo se
produzca en la dirección x, la deformación que sufriría el elemento en la
dirección perpendicular (ey/sx) se puede determinar mediante la relación:
ey
sx
 n  e x  n 
sx
E
El signo (-) indica que las deformaciones producidas tienen
sentidos contrarios. En caso de que el esfuerzo se produjese en la dirección
y, se podría determinar análogamente la deformación en la dirección x:
ex
sy
 n  e y
 n 
sy
sx
E
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Sección 7 - Relación entre esfuerzo y deformación plana
Entonces, la deformación unitario normal resultante en una
dirección depende no sólo del esfuerzo normal en la misma dirección, sino
también del esfuerzo normal que actúa perpendicularmente al anterior.
Podemos entonces plantear una expresión para la deformación
resultante en la dirección x, dado un elemento diferencial sometido a
esfuerzos normales en las direcciones x e y:
ex  ex
sx
e x
sy
Al desarrollar esto, nos queda:
ex 
1
E
(s x n  s y )
Análogamente, podemos establecer una expresión para ey:
ey 
1
E
(s y n  s x )
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Sección 7 - Relación entre esfuerzo y deformación plana
Las expresiones anteriores nos permiten determinar las
deformaciones unitarias en las direcciones x e y, conocidos los esfuerzos
normales en estas direcciones.
También podemos expresar estas
ecuaciones de modo que permitan determinar los esfuerzos, en función de
las deformaciones. Para el esfuerzo normal en la dirección x, tendríamos:
sx 
E
(1 n )
2
(e x n  e y )
Y para el esfuerzo normal en la dirección y:
sx 
E
(1 n )
2
(e y n  e x )
Note que el esfuerzo normal también depende de
deformaciones que ocurren en su dirección paralela y perpendicular.
las
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Sección 8 - Círculo de Mohr
Círculo de Mohr
Círculo de Mohr para estado de Esfuerzo Plano
Observemos las ecuaciones que describen cómo varían los
esfuerzos normales y cortantes en función de la dirección del plano en el
que actúen:
s x s y 
 s x s y 
  
  cos 2q  t xy  sin 2q
s q  



2
2




t qq '
 s x s y
 
2


  sin 2q  t xy  cos 2q


Si elevamos ambas expresiones al cuadrado y las sumamos,
queda:
2
2

 s x  s y 
 s x s y 
2
2




s


t


t
 q 
qq '
xy



2
2





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Sección 8 - Círculo de Mohr
Como la parte izquierda de la ecuación está compuesta de
términos constantes, podemos escribirla de la forma:
 s x s y
R  
2

2
2

2
  t xy


De modo que la ecuación podríamos rescribirla de la forma:
s

 s prom  t qq '  R
2
q
2
2
Esta ecuación puede graficarse como una circunferencia, la cual se
conoce como el Círculo de Mohr. Cada uno de los puntos que conforman
esta circunferencia representa un plano, y las coordenadas de dicho punto
indican los esfuerzos normales y cortantes que actúan sobre el mismo.
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Tema 4 - Estados de Esfuerzos y Deformaciones
Sección 8 - Círculo de Mohr
Método para graficar el círculo de Mohr
A continuación describiremos un procedimiento para graficar el
círculo de Mohr para un elemento diferencial sometido a un estado plano de
esfuerzos.
Su tomarán la siguiente convenciones:
- Los esfuerzos normales se representarán en la abscisa y los esfuerzos
cortantes en la ordenada.
- Los esfuerzos normales de tracción (positivos) se ubicarán en la parte
derecha de la abscisa.
- Los esfuerzos cortantes se tomarán como positivos si en su plano de
acción hacen girar al elemento en sentido contrario a las agujas del reloj.
- Los esfuerzos cortantes positivos se ubicarán en la parte superior de las
ordenadas.
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Sección 8 - Círculo de Mohr
Los pasos a seguir son:
1. Graficar los puntos (sx,txy) y (sy,tyx), que indican los esfuerzos
que actúan sobre los planos x e y respectivamente.
Note que en este
caso, txy hace girar al
elemento
en
sentido
antihorario y tyx lo hace
girar en sentido contrario,
por lo cual el primero se
ubica en el sector positivo
de
las
ordenadas,
siguiendo la convención
establecida.
También es importante señalar que para el caso mostrado, ambos
esfuerzos normales (sx y sy) son de tracción.
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Sección 8 - Círculo de Mohr
2. Trazar una línea que una los puntos (sx,txy) y (sy,tyx) y definir la
dirección x, como se muestra. Observe que la línea trazada corta el eje de
las abscisas en el valor sprom.
3. Con centro en el punto (sprom,0), trazar una circunferencia que
pase por los puntos (sx,txy) y (sy,tyx).
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Sección 8 - Círculo de Mohr
Ventajas de trabajar con el círculo de Mohr
Para definir el círculo de Mohr, sólo necesitan conocerse los
parámetros sx, sy y txy, pero a partir de él pueden determinarse de forma
rápida precisa:
- El esfuerzo normal y cortante para cualquier plano del elemento
diferencial.
- Los esfuerzos principales (s1 y s2).
- Las orientaciones de los planos donde ocurren los esfuerzos principales
(qp1 y qp2).
- El esfuerzo cortante máximos (tmax)
- Las orientaciones de los planos donde ocurre el esfuerzo cortante
máximo.
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Sección 8 - Círculo de Mohr
Para determinar el esfuerzo normal y cortante de cualquier plano
con dirección q, se traza un radio que corte el círculo y esté inclinado un
ángulo igual a 2q respecto al eje x. Las coordenadas del punto de corte son
los valores de los esfuerzos sq y tqq’ en el plano en cuestión.
Es importante acotar que se
considerarán positivos los ángulos
medidos en sentido antihorario.
Note que para el caso
mostrado, el esfuerzo sq es de
tracción (+) y el esfuerzo cortante tqq’
trata de hacer girar el elemento en
sentido
antihorario,
según
las
convenciones establecidas.
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Sección 8 - Círculo de Mohr
Los esfuerzos principales son los cortes de la circunferencia con el
eje de las abscisas (s). Las orientaciones de los planos principales se
miden desde el eje x hasta el eje horizontal.
Note que en los planos
donde ocurren los esfuerzos
principales, el esfuerzo cortante es
nulo.
Observe también que para
cualquier círculo de Mohr, el ángulo
entre los planos principales 1 y 2
siempre es 2q=180º, es decir,
q=90º.
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Sección 8 - Círculo de Mohr
El esfuerzo cortante máximo puede determinarse trazando un radio
perpendicular al eje de las abscisas.
Puede observarse que es
posible determinar la orientación del
plano donde ocurre este esfuerzo
respecto al eje x.
Note que para cualquier
círculo de Mohr, entre los planos
donde
ocurren
los
esfuerzos
principales y los esfuerzos cortantes
máximos existe siempre un ángulo
2q=90º, es decir, q=45º.
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Sección 8 - Círculo de Mohr
Círculo de Mohr para Deformación plana
Observemos las ecuaciones que describen cómo varían las
deformaciones unitarias normales y tangenciales en función de la dirección
del plano en el que actúen:
ex ey
e q  
2


ex ey
  


2


ex ey
 
2
2

g qq '
g xy

  cos 2q 
 sin 2q

2

g xy

  sin 2q 
 cos 2q

2

Observe que las ecuaciones son idénticas a las referidas a
esfuerzos normales y cortantes, si se hacen las sustituciones:
sx ex
;
sy ey
;
t xy 
g xy
2
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Sección 8 - Círculo de Mohr
De modo que, de forma análoga al caso de esfuerzos, esta
ecuación puede rescribirse de la siguiente manera:
e
q
 e prom

2
 g qq ' 
2

R

 2 
2
Donde:
ex ey 
2
R  

2
2
 g xy 
2
 


2



Entonces, el círculo de Mohr para deformación plana se trata de la
misma forma que el círculo de esfuerzos, con la diferencia en que el eje de
las abscisas se referirá a la variable e en vez de s, y el eje de las ordenadas
se referirá a g/2 en vez de t, y se siguen las mismas convenciones
establecidas anteriormente.
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Sección 9 - Casos de estado plano de esfuerzo y deformación
Casos de estado plano
de esfuerzo y deformación
Recipientes de pared delgada
Designaremos recipientes de pared delgada a todos aquellos
contenedores de forma cilíndrica o circular en los que se cumpla la relación:
r
 10
t
Donde r es el radio interno del recipiente y t el espesor de pared del
mismo.
Ahora centraremos nuestra atención en determinar los esfuerzos
que ocurren en estos elementos.
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Sección 9 - Casos de estado plano de esfuerzo y deformación
En recipientes de forma cilíndrica sometidos a presión interna, se
generan dos esfuerzos normales en los elementos diferenciales distanciados
de los extremos. Uno de estos esfuerzos tiene dirección tangencial (sT), y el
otro tiene dirección longitudinal (sL).
En recipientes esféricos sometidos a presión interna, se generan
también dos esfuerzos, con la diferencia de que en este caso ambos
esfuerzos normales son tangenciales (sT).
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Sección 9 - Casos de estado plano de esfuerzo y deformación
Si tomamos una porción longitudinal de un recipiente cilíndrico,
observaremos que para que ésta se mantenga en equilibrio, debe cumplirse:
P    r  s L  2  t  r
2
Donde P es la presión interna del recipiente. Finalmente puede
plantearse:
r
sL  P
2t
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Sección 9 - Casos de estado plano de esfuerzo y deformación
Al hacer un corte longitudinal en el recipiente cilíndrico,
observaremos que para que se mantenga en equilibrio, debe cumplirse:
P  r  L  sT  t  L
Finalmente :
sT  P 
r
t
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Sección 9 - Casos de estado plano de esfuerzo y deformación
En el caso de recipientes esféricos, para que se mantenga el
equilibrio en una porción del mismo que ha sufrido un corte diametral debe
cumplirse:
P    r  s T  2  t  r
2
Entonces, puede plantearse:
sT  P 
r
2t
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Barras sometidas a esfuerzos combinados
…
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Sección 10 - Rosetas de deformación
Rosetas de deformación
En algunos casos, es muy difícil determinar analíticamente los
esfuerzos a los que está sometido un elemento. Cuando esto ocurre, se
determinan experimentalmente las deformaciones que éste sufre, utilizando
medidores de deformación por resistencia eléctrica. Al disponer estos en un
patrón compuesto por tres medidores, puede estimarse el estado de
deformación plana del elemento utilizando las relaciones:
eq  e x  cos 2 q a  e y  sin 2 q a  g xy  sin q a  cosq a
a
eq  e x  cos 2 qb  e y  sin 2 qb  g xy  sin qb  cos qb
b
eq  e x  cos 2 qc  e y  sin 2 qc  g xy  sin qc  cos qc
c
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Sección 11 - Resumen de ecuaciones
Resumen de ecuaciones
Relación entre carga, fuerza cortante y momento flector:
V
Lim x

x 0
Lim
x 0
M
x
dV
 q( x)
dx

dM
V
dx
V: Fuerza Cortante en una sección transversal
M: Momento Flector en una sección transversal
x: Distancia desde un extremo de la viga
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Sección 11 - Resumen de ecuaciones
Esfuerzo normal debido a momento flector:
s 
My
I
s: Esfuerzo normal en un punto de la sección transversal
M: Momento flector sobre la sección transversal
y: Distancia desde el centroide hasta el punto de interés sobre la sección
transversal
I: Momento de inercia de la sección transversal
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