Iniciación a
la Resistencia de los Materiales
CAPITULO II :
Texto de referencia:
TENSIONES Y
DEFORMACIONES EN
MATERIALES ELÁSTICOS
de J.A.G. Taboada
•TRACCIÓN - COMPRESION.
y
•CORTADURA
PARTE 1 : Resistencia
Objeto:
COMPENDIO DE LOS CONOCIMIENTOS BASICOS
DE ELASTICIDAD Y DE RESISTENCIA DE
MATERIALES.
Lección 5 :
2011
Lección 5 :
• 5.1 .- Cortadura: Tensión Cortante pura.
• 5.2 .- Deformaciones producidas por Cortadura.
Módulo de elasticidad trasversal.
• 5.3 .- Energía de deformación en Cortadura.
Teorema de reciprocidad de las
tensiones tangenciales
tzy
=
tyz
tzx
=
txz
txy
=
tyx
Circulo de Mohr de cortadura pura
t
=
s
txy
=
tyx
txy
s1
s3
tyx
Deformaciones en cortadura
Deformaciones en cortadura
ex =
ex =
t
ex =
sx
-m(
E
sx
2
sz
E
sy
) + a.DT +
so
g
2
E
)
E
s
t
E
ex = tag (
g
+
E
+m(
E
=
sy
+m(
g
2
=
t
E
) =
a
)
a
g
2
1+m
a (1+e) a(1-e)
t
E
E
G=
2 (1 + m)
g=t/G
tag (
tag (
a(1-e)
p
g
)=
+
a (1+e)
4
2
1-tag(g/2)
p
g
) = 1+tag(g/2)
+
4
2
Deformaciones en cortadura
t
g=
G
g
Módulo de elasticidad transversal,
Módulo de esfuerzo cortante,
Módulo de rigidez a cortadura
G=
E
2 (1 + m)
Deformación a Cortadura pura
g
2
g
=
g =
1+m
t
E
t
G
Donde
G =
E
2(1 + m )
Módulo de Elasticidad Trasversal acero = 800.000 Kg/cm2
Energía de deformación en cortadura
W=
1
2
F·d
u=
g2  G
t2
=
2
2G
Energía de deformación en tracción
u=
e2  E
s2
=
2
2E
Apéndice Matricial de Deformaciones
Tipos de deformaciones
•
•
•
•
•
•
Deformación de tracción directa
Deformación de tracción indirecta o trasversal
Deformación de cortadura o angular
Deformación de torsión o de giro radial
Deformación de flexión
Deformación de Pandeo
Tracción - Compresión
d = e.L = s .L/E = FL/AE
Deformación Trasversal: Coeficiente de Poisson : m
ey
ez
m=- e =- e
x
x
Ley de Hooke generalizada
ex =
ey =
ez =
sx
E
sy
E
sz
E
-m(
-m(
-m(
sy
E
sx
E
sy
E
+
sz
E
+
sz
E
+
sx
E
) + a.DT +
) + a.DT +
) + a.DT +
Vf -Vi
Vi
e =
ex + ey + ez
sox
E
soy
E
soz
E
= e =
Lx (1+ ex ).Ly (1+ ey ).Lz (1+ ez ) -Lx Ly Lz
Lx Ly Lz
Invariante lineal de Deformaciones
1
Invariante lineal de Tensiones
q=
sx + sy + sz
1
Matriz de tensiones
snx txy t xz
T
=
tyx snytyz
tzx tzy snz
sx
s
= sy
sz
=
s=T*u
snx txy txz
a
tyx sny tyz *
tzx tzy snz
b
g
cosenos directores
Matriz de deformaciones
ex
1/2 gxy
1/2 gyx 1/2 gzx
ey
1/2 gzx 1/2 gzy
1/2 gyz
=D
ez
Matriz de deformaciones
referida a los ejes principales
ex
0
0
0
ey
0
0
0
ez
=D
Ecuaciones de Lamé
Q = sx + sy + sz
e =
e = ex + ey + ez
Q (1 - 2m )
E
Cálculo de las Tensiones conociendo las deformaciones
snx
=
sny
=
snz
=
m.E.e
(1 + m ) (1 - 2 m )
m.E.e
(1 + m ) (1 - 2 m )
+
+
m.E.e
(1 + m ) (1 - 2 m )
+
E ex
(1 + m )
E ey
(1 + m )
Módulo volumétrico de
un cuerpo sumergido
K=
E
3·(1 - 2 m )
E ez
(1 + m )
ex = ey = ez =
-p
K
Ejemplo de Cortadura
F
Sección b x h
a1
a2
Sección 1: b x h1
Sección 2: b x h2
h2
Sección 3: b x a2
h1
Sección 2: trabaja a cortadura tadm = (F/S2)
Sección 1: trabaja a tracción
stadm = (F/S1)
Sección 3: aplastamiento
scadm = (F/S3)
Ejemplo de remache
tadm = (F/n·Sp)
stadm = (F/S1)
scadm = (F/S3)
Ejemplo soldadura
ARTICULO 31º Coeficientes de seguridad
31.1. Estados límites últimos
31.2. Estados límites de utilización
En los métodos de cálculo desarrollados en esta Instrucción y de acuerdo con lo expuesto en el Artículo
30º, la seguridad se introduce a través de los tres coeficientes: dos de minoración de las resistencias del
hormigón y del acero y otro de ponderación de las cargas y acciones en general.
31.1.
Estados límites últimos
Los valores básicos de los coeficientes de seguridad para el estudio de los estados límites últimos, son
los siguientes:
Coeficiente de minoración del acero.....................
g
Coeficiente de minoración del hormigón................
Coeficiente de ponderación de las acciones:
De efecto desfavorable....................
De efecto favorable:
Permanente......................
Variable...........................
g
fg
=
1,15
g c=
1,50
s
=g
fq
=
1,60
g
fg
=
0, 90
g
fq=
0
CUADRO 31.1
Estados límites últimos
Coeficientes de minoración de los materiales
Material
Coeficiente Básico
Acero
.
g
Hormigón
g
s
c
= 1,15
= 1,5
Nivel de control
Corrección
Reducido
+0,05
Normal
0
Intenso
-0,05
Reducido (1)
+0,20
Intenso (2)
-0,10
Restantes casos
0
Se tendrá en cuenta en el caso de soportes u otras piezas hormigonadas en vertical, que la resistencia de proyecto
debe además minorarse en el 10 por 100.
(1) Este nivel de control sólo puede utilizarse para obras de ingenieria de pequeña importancia, para edificios de
viviendas de una o dos plantas, o en aquellos edificios de viviendas de hasta cuatro plantas en los que el hormigón
sólo se destine a elementos trabajando a flexión con luces moderadas. Con este nivel de control, no se adoptará en el
cálculo una resistencia de proyecto mayor de 175 kp/cm
(2) Hormigón para elementos prefabricados en instalación industrial permanente con control intenso.
Los valores de los coeficientes de minoración para el acero y para el hormigón y de ponderación para las acciones
según el nivel de control adoptado y daños previsibles se establecen en los cuadros 31.1 y 31.2. Los valores de los
coeficientes de seguridad gs ,gc y g adoptados y los niveles supuestos de control de calidad de los materiales y de la
ejecución, deben figurar explícitamente en los planos.
f
CUADRO 31.2
Estados límites últimos
Coeficientes de ponderación de las acciones
Coeficiente
g = 1,6
Corrección
Nivel de control en la
ejecución
f
Daños previsibles en
caso de accidente
Reducido
+0,20
Normal
0
Intenso
-0,10
Mínimos y
exclusivamente
materiales
-0,10
Medios
0
Muy importante
+0,20
Se tendrá en cuenta que en el caso de daños previsibles muy importantes no es admisible un control de
ejecución a nivel reducido.
Se podrá reducir el valor final de g en un 5 por 100 cuando los estudios, cálculos e hipótesis sean muy
rigurosos, considerando todas las solicitaciones y todas sus combinaciones posibles y estudiando con el
mayor detalle los anclajes, nudos, enlaces, apoyos, etc.
Deberán comprobarse con especial cuidado y rigor las condiciones de fisuración, cuando el producto
gs.g , resulte inferior a 1,65.
f
f
CUADRO 31.3
Coeficientes de seguridad para los estados límites últimos
Coeficiente de
seguridad
sobre
Acero g
s
Hormigón g
c
Nivel de
control
Valor del coeficiente de seguridad
Reducido
1,20
Normal
1,15
Intenso
1,10
Reducido (1)
1,70
Intenso (2)
1,40
Restantes
casos
1,50
Acciones (3) g
Daños
previsibles (4)
Acción
desfavorable
A
1,70
B
1,80
C
--
A
1,50
B
1,60
C
1,80
A
1,40
B
1,50
C
1,70
f
Reducido
Normal
Intenso
Acción favorable de carácter
Permanente
Variable
0,9
0
31.2. Estados límites de utilización
Para el estudio de los estados límites de utilización se adoptarán los siguientes coeficientes de
seguridad:
Coeficiente de minoración del hormigón.............
g =1
Coeficiente de minoración del acero......
g =1
Coeficiente de ponderación de las acciones:
Acciones de carácter variable con efecto favorable
cuando puedan actuar o dejar de hacerlo..........
g =0
En los demás casos...........
g =1
c
s
f
f
Comentarios
Para los estados límites de utilización, el comportamiento de la estructura no está influido, en
general, por las variaciones locales de las propiedades del hormigón o del acero, sino más bien
por sus características medias. En consecuencia, es suficiente en la práctica adoptar gs = gc = 1.
Por otra parte, el coeficiente gf, se toma igual a la unidad, ya que el comportamiento de la
estructura, en este caso, se estudia para las cargas de servicio de la misma. Sin embargo, si el
proyectista juzga oportuno alcanzar un nivel de seguridad mayor frente a algún estado límite de
utilización -por ejemplo, frente a la posibilidad de deformación excesiva de un elemento
estructura¡ bajo la acción de una determinada carga- se pueden incrementar los valores de los
coeficientes.
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Lección 5 : - Cálculo de estructuras y construcción