Expresiones Algebraicas
• Una expresión algebraica es una expresión en
la que se relacionan valores indeterminados con
constantes y cifras, todas ellas ligadas por un
número finito de operaciones de suma, resta,
producto, cociente, potencia y raíz.
• Ejemplos
a ) x  2 xy
2
b)
c)
2x  y x
2
3
x. y  2 x
x 1
2
1
Tipos de Expresiones Algebraicas
Expresiones Algebraicas
Racionales
Enteras
Irracionales
Fraccionarias
2
Expresión Algebraica Racional
• Es racional cuando las variables no están
afectadas por la radicación
• Ejemplo
x  x. y
2
2y 1
2
2
3
3
Expresión Algebraica Irracional
• Es irracional cuando las variables están
afectadas por la radicación
• Ejemplo
x 2xy
4
Expr.Algebraica Racional Entera
• Una expresión algebraicas es racional entera
cuando la indeterminada está afectada sólo
por operaciones de suma, resta,
multiplicación y potencia natural.
• Ejemplo
x 3x y  y
2
4
5
5
Expresión Algebraica Racional
Fraccionaria
• Una expresión algebraicas racional es
fraccionaria cuando la indeterminada aparece
en algún denominador.
• Ejemplo
1
 x y 3
2
x
6
Polinomios
• Son las expresiones algebraicas más
usadas.
• Sean a0, a1, a2, …, an números reales y n
un número natural, llamaremos polinomio
en indeterminada x a toda expresión
algebraica entera de la forma:
a0 + a1 x + a2 x2 + … + an xn
7
Ejemplos de polinomios
a)
1
x
c) 1 
2
x
3
b) 3x 
2
2
x
3
d) 2
3
3x  5x
3
3
A los polinomios en indeterminada x los
simbolizaremos con letras mayúsculas indicando la
indeterminada entre paréntesis: P(x) ; Q(x) ; T(x).
8
Términos
• Monomio : polinomio con un solo término.
• Binomio : polinomio con dos términos.
• Trinomio : polinomio con tres términos.
• Cada monomio aixi se llama término.
• El polinomio será de grado n si el término de mayor
grado es anxn con an0.
• A a0 se lo llama término independiente.
• A an se lo llama término principal.
9
Ejemplos
El polinomio 0 + 0x + 0x2 + … +0xn se llama
polinomio nulo. Lo simbolizaremos por Op(x).
No se le asigna grado.
10
Ejercicio
• Indicar cuáles de las siguientes expresiones
algebraicas son polinomios. En este último caso
indicar su grado.
a) 
1
x  2x 1
3
x2 5
d)
3
b ) ( x  2 )( x  3 )
e) x 
2
3x  1
2

x
4
c)
2
1
3
x
x  2x  3
2
f)
x 1
11
Polinomios iguales
• Dos polinomios son iguales si y sólo si los
coeficientes de los términos de igual grado lo
son.
• Ejercicio: Determinar a, b y c para que P(x)=Q(x)
a) P ( x)  2  5 x
3
;
Q ( x)  a  (a  b) x
b ) P ( x )   5  ( 2  1) x  5 2 x
2
Q ( x )  a  ( b  1) x  ( c  2 b ) x
2
3
12
Suma de Polinomios
• Para sumar dos polinomios se agrupan los
términos del mismo grado y se suman sus
coeficientes.
• Ejemplo: Sumar los siguientes polinomios
P(x) = -2x4 + 5x3 – 3x + 1
Q(x) = 3x3 – 6x2 – 5x - 2
13
Propiedades de la Suma
•
•
•
•
Asociativa
Conmutativa
Existencia de elemento neutro
Existencia de elemento opuesto
14
Resta de Polinomios
• Para restar el polinomio Q(x) del polinomio
P(x) se debe sumar a P(x) el opuesto de
Q(x).
P(x) – Q(x) = P(x) + [ - Q(x) ]
• Ejemplo: Restar los siguientes polinomios
P(x) = -2x4 + 5x3 – 3x + 1
Q(x) = 3x3 – 6x2 – 5x - 2
15
Multiplicación de Polinomios
• Para multiplicar dos polinomios se multiplica cada
monomio de uno de ellos por cada uno de los
términos del otro y luego se suman los términos de
igual grado.
• Ejemplo: Multiplicar los siguientes polinomios
P(x) = -2x4 + 5x3 – 3x + 1
Q(x) = 3x3 – 6x2 – 5x – 2
P(x).Q(x) = P(x) 3x3 + P(x) (-6x2 ) + P(x) (-5x ) + P(x)(-2)
16
Propiedades del Producto
• Asociativa
• Conmutativa
• Existencia de elemento neutro.
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Algunos productos importantes
• (x+a)2 =(x+a)(x+a)= x2 + 2ax + a2
• (x-a)2 =(x-a)(x-a)= x2 - 2ax + a2
• (x+a)3 = x3 + 3ax2 + 3a2x + a3
• (x-a)3 = x3 - 3ax2 + 3a2x - a3
• (x+a)(x-a)= x2 –ax +ax-a2 = x2-a2
18
Ejercicio
• Escribir los desarrollos de
a ) (2  3 x)
2
b) ( x  x )
2
3
d ) (2  3 x)
2
 2 3 1 4
c)   x  x 
3
 3

e) ( x  x )
4
3
3
2
 1 3 2 2
f )  x  x 
3
 2

3
19
Ejercicio: Expresar los siguientes trinomios
cuadrados perfectos como el cuadrado de un
binomio y a los cuatrinomios cubos perfectos
como el cubo de un binomio.
a) 4x  4x  1
d ) x  6 x  12 x  8
b ) x  14 x  49
e ) 8 x  12 x  6 x  1
2
2
c ) 25 x  30 x  9
3
2
3
2
2
f )  8x  6x 
3
4
3
2
x 
5
1
x
8
20
6
Ejercicio: La expresión x2 - a2 es una diferencia
de cuadrados. Escribir las siguientes
diferencias como producto de binomios.
a ) x  100
2
b) x 
2
1
36
c) x  4
4
d ) x  64
8
21
División de polinomios
• Existe una estrecha analogía entre el
cociente de polinomios y la división de
números enteros.
• Recordemos algunas definiciones de la
división entre números enteros.
22
División entre números enteros
• En el conjunto de números enteros, si D
es el dividendo y d0 es el divisor,
existen y son únicos dos enteros c
(cociente) y (r (resto) tales que
D=d.C+r
0 ≤ r < |d|
• Si r=0 se dice que D es divisible por d.
23
División entre números enteros
• Ejemplo: Realizar las siguientes
divisiones enteras:
• 29 dividido 6 será: c= 4 y r=5 pues
29 = 6 . 4 + 5 y 0 ≤ 5 < 6
• 29 dividido -6 será: c= -4 y r=5 pues
29 = (-6) . (-4) + 5 y 0 ≤ 5 < |-6|
¿Podría haber sido c = -5 y r = -1?
24
División de polinomios
• Dados los polinomios
D(x) = 6x3 – 17x2+15x-8
d(x) = 3x – 4
determinar, si es posible, dos polinomios c(x)
y r(x) tales que
D(x) = d(x). C(x) + r(x)
de modo que el grado de r(x) sea menor que
el grado de d(x) o bien r(x)=Op(x)
25
Ejemplo
6x3 – 17x2 + 15x – 8
-6x3 +
8x2 3
0x -
3x – 4
2x2 - 3x + 1
9x2+ 15x
9x2- 12x
0x2+
3x - 8
-3x + 4
0x - 4
6x3-17x2+15x-8 = (3x-4)(2x2-3x+1)-4
26
Ejercicios
a) D(x) = 4x5 + 2x3 – 24x2 + 18x
d(x) = x2 – 3x
b) D(x) = 16x8 + 24x6 + 9x4
d(x) = 4x5 + 4x4 + 3x3 + 3x2
c) D(x) = 2x4 – 6x3 + 7x2 – 3x +2
d(x) = x-2
27
División de Polinomios
• Dados los polinomios D(x) y d(x);
d(x)Op(x), diremos que d(x) divide a
D(x) si y sólo si existe un polinomio c(x)
tal que
D(x) = d(x) . c(x)
28
Ejercicios
•
Dados los polinomios P(x) y Q(x)
indica si alguno de ellos es divisible
por el otro
a) P(x) = x4 -2x3 +x2 -5x + 1
Q(x) = x3 + x2 + x + 1
b) P(x) = x4 +2x3 +4x2 + 8x +16
Q(x) = x5 - 32
29
División de un polinomio por otro
de la forma (x-a)
3x3 – 2x2 – 5x – 9
- 3x3 + 6x2
4x2 – 5x
- 4x2 + 8x
3x – 9
-3x + 6
-3
x–2
3x2 + 4x + 3
Regla de Ruffini
3 -2
-5
-9
6
8
6
2
3
4
3
-3
3x3 – 2x2 – 5x – 9 = ( x – 2)(3x2 + 4x + 3) + (-3)
30
División de un polinomio por otro
de la forma (x-a)
• División de P(x) = 3x3 – 2x2 – 5x – 9 por (x-2)
realizada por la Regla de Ruffini
3
2
3
-2
6
4
-5
8
3
-9
6
-3
1º operación : 3.2 -2 = 4
2º operación : (3.2 -2).2 - 5 = 3
3º operación : [3(2) 2 – 2 . 2 - 5].2 -9 =-3
Por lo tanto 3.(2)2 -2.(2)2 -5.2 -9 = -3
31
Raíces de un polinomio
• Un número real a es raíz de un
polinomio P(x) si y solo si P(a) = 0
• Ejercicio:
Verifique que x=1 es raíz del polinomio
P(x) = 3x2 + 2x – 5
32
Raíces de un Polinomio
• Si un polinomio tiene coeficientes
enteros y a es una raíz entera del
polinomio entonces a divide al término
independiente.
• Ejercicio: Calcular las raíces de
P(x) = 2x3 - 2x2 - 16x + 24
33
Ejercicio: Calcular las raíces de
P(x) = 2x3 - 2x2 - 16x + 24
• Si P(x) tiene alguna raíz entera, ésta debe
ser divisor de 24.
• Probar que 1 y -1 no son raíces de P(x)
Ver x=2 también
es raíz de
2x2 + 2x -12
2x2 + 2x -12 = (x-2)(2x+6)
2x3 – 2x2 – 16x + 24 = ( x – 2)(2x2 + 2x -12)
34
Ejercicio
• Calcular las raíces de
P(x) = x4 - x3 - 6x2 + 4x + 8
P(x) = (x-2)2 (x+1) (x+2)
35
Resolver la siguiente ecuación
2
x 4
2

1
x2

1
x  2x
2
x  x  6x  4x  8
4
3
0
2
( x  4 )( x  2 )( x  2 x )
2
2
0
( x  2 ) ( x  1)( x  2 )
2
( x  2 )( x  2 )( x  2 ) x ( x  2 )

x 1
x( x  2)
0
36
Soluciones de la Ecuación
Fraccionaria
37
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