Cociente de un polinomio entre un monomio
Para dividir un polinomio entre un monomio,
dividimos cada término del polinomio entre el
monomio.
5
4
2
2
Ej: P( x)  6 x  9 x  27 x
entre 3x
(6 x  9 x  27 x ) : 3x 
5
6 x
5
4
2
 
2
 

: 3x  9 x : 3x  27 x : 3x 
2
2x

3
4
3x
2
2

2
2
9
Q( x)  7 x y  5 xy 3entre  2 x
7 2
5
7 x y 5 xy
3
(7 x y  5 xy) :  2 x  

 x y  y
2
2
 2x  2x
3
Cociente de polinomios
Para dividir un polinomio entre un polinomio,
seguiremos los siguientes pasos:
P( x)  2 x  x  20  11x  30 x
3
4
2
Q( x )  3 x  x  2
2
1º) Ordenamos los términos del dividendo (si falta
algún término, se deja el hueco) y del divisor y los
dispondremos como una división normal.
x  2x  11x  30 x  20
4
3
2
x  3x  2
2
Cociente de polinomios (II)
2º) Se divide el primer término del dividendo con el
primer término del divisor, así se obtiene el primer
término del cociente.
x  2x  11x  30 x  20
3
4
2
 x  3x  2x
4
3
2
x  3x  2
2
x
2
x  3x  2
2
x
2
x  3x  2 x
4
3
3º) Se multiplica el primer término del cociente por
cada término del divisor y el producto pasa restando al
dividendo.
2
Cociente de polinomios (III)
4º) Se suman algebraicamente.
x  2x  11x  30 x  20
4
3
2
 x  3x  2 x
3
2
 5x  9x  30 x  20
3
2
5x  15x  10 x
4
3
2
x  3x  2
2
x  5x
2
x  3x  2
2

 5x
 5 x  15 x  10 x
3
2
5º) Se divide el primer término del nuevo residuo, entre
el primer término del divisor, así obtenemos el segundo
término del divisor. Este segundo término se multiplica
por el divisor y se pasa restando al dividendo.
Cociente de polinomios (IV)
6º) Se repite el procedimiento hasta que
el grado del polinomio resto sea menor
que el grado del polinomio divisor.
x  2x  11x  30 x  20
4
3
2
 x  3x  2 x
4
3
2
 5 x  9 x  30 x
3
2
5 x  15 x  10 x
2
6x  20 x
2
 6x  18 x
2x
3
2
 20
 20
 12
8
x  3x  2
2
x  5x  6
2
Cociente de polinomios
Polinomio dividendo
D(x) 
Polinomio divisor
x  2x  11x  30 x  20
4
3
2
d (x) 
x  3x  2
2
x  5x  6
2
Polinomio cociente
c(x) 
r (x) 
Polinomio resto
2x  8
Cociente de polinomios
Prueba de la división:
D(x)  d (x)  c(x)  r (x)
( x  3x  2) ( x  5 x  6)  (2 x  8) 
2
2
x  5 x  6 x  3 x  15 x  18 x  2 x  10 x  12  2 x  8 
4
3
2
3
2
2
x  2x  11x  30 x  20
4
3
2
Si el resto de la división es 0 (polinomio nulo), la división
se llama exacta y se dice que:
 El polinomio D(x) es divisible por d(x), o múltiplo de d(x).
 El polinomio d(x) es factor por D(x), o divisor de D(x).
Cociente de polinomios
Realiza la siguiente división:
6x3 – 17x2 + 15x – 8
-6x3 +
-
8x2
3x – 4
2x2 - 3x + 1
9x2+ 15x
9x2- 12x
+
3x - 8
-3x + 4
- 4
6x3-17x2+15x-8 = (3x-4)(2x2-3x+1)-4 9
Regla de Ruffini
La regla de Ruffini es un algoritmo que permite
obtener fácilmente el cociente y el resto de la
división de un polinomio por un binomio de la
forma x-a.
D( x )  2 x  x  3 x  5
3
2
d ( x)  x  1
1º) Ordenamos los términos del dividendo y del divisor.
Regla de Ruffini (II)
d ( x)  x  1
D( x)  2 x 1x  3 x  5
3
2
2º) Se colocan los coeficientes
de cada término. Si no
apareciese algún término
entre el de mayor grado y el
de menor se coloca un 0.
2
2
3
3º) A la izquierda se pone el número que se resta a x en d(x),
en nuestro caso 1 y se baja el coeficiente del término de
mayor grado.
4º) Se multiplica el coeficiente que se ha bajado (2) por el
que se ha colocado a la izquierda (1). El resultado del
producto se coloca debajo del coeficiente del término
siguiente y se suman .
Regla de Ruffini (III)
5º) El resultado de la suma
se vuelve a multiplicar por el
número situado a la izquierda
y se repite el proceso.
1
3
5
2
2 3
3
0
0
5
2
1
El último número (recuadro rojo) se corresponde con
el resto de la división mientras que el resto de
números de la fila inferior son los coeficientes del
cociente.
D( x )  2 x  x  3 x  5
d ( x)  x  1
c( x )  2 x  3 x
r ( x)  5
3
2
2
Regla de Ruffini (III)
Realiza las siguientes divisiones, indicando el cociente y el
resto obtenido:
a ) ( 2 x  5 x  30 x  11 ) : ( x  3 )
3
2
2
-5
-3
-6
2 -11
-30
33
3
11
-9
2
Cociente : 2 x  11 x  3
2
Resto: 2
b ) (  x  3 x  22 ) : ( x  2 )
4
-1
0 0 -3 22
2
-2 -4 -8 -22
-1 -2 -4 -11 0
Cociente :  x  2 x  4 x  11
3
2
Resto: 0
NOTA: El polinomio cociente es de un grado menor que el
dividendo
Teorema del resto
Teorema del resto: El resto R de dividir un
polinomio P(x) entre x - a , es igual al valor
numérico del polinomio para x=a.
R = P(a)
Esto se deduce de la definición de división,
cuando el divisor d(x)=x-a:
P ( x)  ( x  a)  C ( x)  R
Cuando x=a:
P (a )  (a  a )  C (a )  R
P (a ) 
0
 C (a )  R
P(a)= R
Teorema del resto
Sin efectuar la división, calcula el resto:
a ) ( 2 x  5 x  30 x  11 ) : ( x  3 )
3
2
R  P (  3 )  2  (  3 )  5  (  3 )  30  (  3 )  11
3
2
R  2  (  27 )  5  9  30  (  3 )  11
R   54  45  90  11
b ) (  x  3 x  22 ) : ( x  2 )
4
R  P ( 2 )   2  3  2  22
4
R   16  6  22
=0
=2
Aplicación del Teorema del resto
El resto de dividir el polinomio P(x)=x3-x2+kx+2
entre x-1 es 6. Halla el valor de k:
Aplicando el teorema del resto: R=P(1)=6
R  P (1)  1  1  k  1  2  6
3
2
11  k  2  6
k 4
P(x)=x3-x2+4x+2
Teorema del factor
Teorema del factor: Un polinomio P(x) tiene
como factor x - a , si el valor numérico del
polinomio para x=a es 0.
Este resultado también proviene de la definición
de división, cuando el divisor d(x)=x-a:
P ( x)  ( x  a)  C ( x)  R
Si el resto R=0:
P ( x)  ( x  a)  C ( x)
Esta relación indica que (x-a) es un factor o
divisor del polinomio P(x).
Aplicación del Teorema del factor
Comprobar si x+3 es un factor del polinomio
P(x)=x3+2x2-6x-9.
Aplicando el teorema del factor, si R=P(-3)=0,
entonces x+3 será un factor de P(x):
R  P (  3)  (  3)  2  (  3)  6  (  3)  9
3
2
R  P (  3 )   27  18  18  9
R  P (  3 )  36  36  0
Entonces x+3 es un factor de P(x) x3+2x2-6x-9
porque el resto es 0.
Comprobar si x+3 es un factor del polinomio
P(x)=x3+2x2-6x-9, aplicando Ruffini:
1
2 -6
-3
-3
3
1 -1 -3
-9
9
0
x  2 x  6 x  9  ( x  3)  ( x  x  3)
3
2
2
D(x)  d (x)  c(x)  r (x)
Raíces de un polinomio
Las raíces de
un polinomio P(x)
son los valores que
lo hacen cero, es decir,
las soluciones de
la ecuación P(x)= 0.
Un polinomio de grado n, tiene como máximo,
n raíces reales.
Si un polinomio tiene raíces enteras, éstas son
divisores del término independiente .
Raíces enteras de un polinomio
Para hallar las raíces enteras de un polinomio, aplicaremos el
teorema del resto a los divisores del término independiente.
Si el resto es 0, diremos que ese número es raíz del polinomio.
EJ: Calcula las raíces enteras del siguiente polinomio:
P ( x)  x  3x  x  3
3
2
Las posibles raíces enteras serán: Div (  3 )   1,  3
3
2
P (1)  1  3  1  1  3  0  1 sí es raíz
3
2
P (  1)  (  1)  3  (  1)  (  1)  3  0  -1 sí es raíz
P ( 3 )  3  3  3  3  3  27  27  6  48  0  3 NO es raíz
3
2
3
2
P (  3 )  (  3 )  3  (  3 )  (  3 )  3  0  -3 sí es raíz
Las raíces enteras de P(x) son 1, -1 y -3.
Raíces enteras de un polinomio
Cuando un polinomio no tiene término independiente,
se debe extraer factor común de x, x2, x3....
La raíz de ese monomio extraído siempre será 0.
EJ: Calcula las raíces enteras del siguiente polinomio:
P ( x)  x  x
4
2
P ( x )  x  ( x  1) 0 sí es raíz
2
2
doble
Q ( x)
Las posibles raíces enteras serán: Div (  1)   1
Q (1)  1  1  0  1 sí es raíz
2
2
Q (  1)  (  1)  1  0  -1 sí es raíz
Las raíces enteras de P(x) son 0, 1 y -1.
Raíces enteras de un polinomio
Existen polinomios que no tienen raíces enteras.
Se llaman polinomios irreducibles.
EJ: Calcula las raíces enteras del siguiente polinomio:
P ( x)  x  2
2
Las posibles raíces enteras serán:
Div ( 2 )   1,  2 
2
P (1)  1  2  0  1 NO es raíz
P (  1)  (  1)  2  0  -1 NO es raíz
2
P (2)  2  2
2
 0  2 NO es raíz
2
P (  2 )  (  2 )  2  0  -2 NO es raíz
P(x) no tiene raíces enteras.
Factorización de polinomios
Factorizar un polinomio es descomponerlo en 2 o más
polinomios de menor grado, de forma que su producto
sea el polinomio dado.
EJ: Factoriza el siguiente polinomio:
P ( x )  x  7 x  11 x  5
3
2
Se busca una raíz mediante la Regla de Ruffini, entre las
posibles raíces enteras: Div ( 5 )   1,  5 
1
1
1
7
1
8
11 5
8 19
19 24
1 NO es raíz
P ( x )  x  7 x  11 x  5
3
2
1
7
-1
-1
1 6
11 5
-6 -5
5 0
-1
-1
-5
P ( x )  ( x  1)  ( x  6 x  5 )
Es necesario volver a probar
si -1 es raíz
-1 sí es raíz
1 5
0
P ( x )  ( x  1)  ( x  1)  ( x  5 )
-1 sí es raíz
2
No existe un método único para factorizar un polinomio.
Lo habitual es buscar una raíz a y expresarlo como x-a
multiplicado por el cociente.
Factorización de polinomios
PASOS PARA FACTORIZAR UN POLINOMIO
1.-Sacar factor común, si se puede.
2.- Buscar las raíces enteras, poco a poco, y vamos
descomponiendo el polinomo, hasta llegar a un polinomio
de 2º grado.
3.- Observar el polinomio de 2º grado y puede pasar:
a) Que sea una identidad notable. Lo factorizo usándola.
b) Que no lo sea. Resuelvo la ecuación de 2º grado que
sale al igualar a cero el polinomio.
4. Escribo la factorización del polinomio, multiplicando
por el coeficiente de mayor grado si es distinto de 1.
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