ÍNDICE






OBJETIVO
OBJETIVO
OBJETIVO
OBJETIVO
OBJETIVO
OBJETIVO
1
2
3
4
5
6







OBJETIVO
OBJETIVO
OBJETIVO
OBJETIVO
OBJETIVO
OBJETIVO
OBJETIVO
7
8
9
10
11
12
13
OBJETIVO 1
ÍNDICE
a.) Identifica con una P si la expresión es
un polinomio y con una X si no lo es:
5
1.)
6x y
6
z
2.)
3.)
(X )
porque la variable z aparece en el denom inador
x- y
x  5x  6
2
(
P
)
(
P
)
2
4.)
x y
4a
3
(X )
porque la variable a aparece en el denominador
b.) Identifica con una M si la expresión es un
monomio, con una B si es un binomio y con una
T si es un trinomio:
1.)
7 a - 9b
2.)
3
3 .)
-71a
3
2
a b -
5
4.)
M )
porque hay un térm ino
(
1
2
2
3
x y a
B
(
)
porque hay 2 térm inos
a b  a b
2
2
T )
porque hay 3 térm inos
(
(
)
M
porque hay un térm ino
ÍNDICE
OBJETIVO 2
ÍNDICE
Determina el grado de los polinomios:
3
1.) x y
La variable x está elevada a la tercera
potencia y la variable y a la primera. El
grado del monomio es 4.
7
2.) 12
La suma de los exponentes de c, p y m es 3
+ 2 + 1. El grado del monomio es 6.
3
2
c p m
P x  x  x  x
4
3
3.)
El término de grado más alto es el
primero, que es de grado 4. El polinomio es de
grado 4.
4.) P x  5
 
En el polinomio solamente aparece una constante,
diferente de cero. El grado es 0.
5.)
x  4 x  6 x y  4 xy
4
3
2
4
5
Los términos que aparecen en el polinomio son,
respectivamente, de grados 4, 3, 6 y 6. El
polinomio es de grado 6.
ÍNDICE
OBJETIVO 3
ÍNDICE
Reduce los términos semejantes:
1.) x  2 x
2.)
1
a
2
 3x
1
a
2
a
3.)  3 x 3  4 x 2 y  3 xy 2  2 x 3  yx 2  y 2 x
Agrupando los términos se obtiene
 3 x  2 x
3
3
   4 x y  x y    3 xy  xy
2
  x  3 x y  4 xy
3
2
2
2
2
2

4.) m n  7 m n  3 nm  m  2
Reacomodando las variables en los
términos queda
2
2
2
3
m n  7 m n  3m n  m  2
2
2
2
3
y agrupando
m   m n  7 m n  3 nm
3
2
2
 m  5m n  2
3
2
2
2
5.)
  2 xy
2
 4     7 xy  12 
2
Quitando paréntesis y reagrupando queda
 2 xy  4  7 xy  12
2
2
   2 xy  7 xy
2
2
   4  12 
 5 xy  8
2
ÍNDICE
OBJETIVO 4
ÍNDICE
Identifica, si lo hay, cuál polinomio de la
columna izquierda es igual al de la columna
derecha:
1.) 3 x  6 xy
2
2.) x y  9 xy  xyz
2
2
4
2
2
3 4
4
3x y  6x y  3x y
 
6 yx  3 x
1 
2
2
3 7
2
5.) 6 x y  6 x y  12 x y
3 7
3
2
2
4.) xy  4 xy  5 x y
3
4 5
 5 x y  4 xy  yx
3
3.) 6 x y  2 x y  7
5
3 
 2x y  6 y x  7
2
4
4
4
4
3 4
2
 7  6 y x  2 yx
4 5
2
3 
ÍNDICE
OBJETIVO 5
ÍNDICE
a) Sumas:
1.) Suma los monomios: 2 xy, 5xy , 8xy, 3xy , z
Solución:
2
2 xy  5 xy  8 xy  3 xy  z
2
2
2
2
Se reducen los términos semejantes:
(2 + 8)xy + (5 + 3)xy2 + z2
El resultado final es:
10 xy  8 xy  z
2
2
2
2.) Suma los monomios:
2
2
5
x ,
3
4
2
xy ,
2
2
2
y ,  1 xy , 3 x ,  1 y
3
2
10
3
Solución:
  2 5 x   3 4 xy  2 3 y    1 2 xy   3 10 x    1 3 y 
Se reducen los términos semejantes:
2

2
5
 3
2
10

x 
2
El resultado es:

3
4
1
2
 1
2


xy  2
2
3
 1
2
2
x  1 xy  1 y
10
4
3
3

y
2
3.) Suma los polinomios:
3x y  5 xy , 3xy  5x y, 8 xy  2 x y
2
Solución: 3x
2
2
y  5 xy
2
2
2
   3xy
2
2
2
 5 x y    8 xy  2 x y 
2
2
2
Se escriben todos los términos de los
polinomios, unos a continuación de los
otros, con sus propios signos:
3x y  5 xy  3xy  5x y  8xy  2 x y
2
2
2
2
2
2
El resultado se obtiene al reducir los
términos semejantes:
4 x y  6 xy
2
2
4.) Suma los polinomios:
3x y  4 xy  y, x y  2 xy  3 y  2
2
2
Solución:
3 x y  4 xy  y
2
x y  2 xy  3 y  2
2
_______________
4 x y  2 xy  4 y  2
2
5.) Suma los polinomios:
4 x  6 x  3, 5 x  2 x  1,  2 x  4 x  12, 4  x  2 x
2
2
Solución:
2
4x  6x  3
2
2 x  5x 1
2
2 x  4 x  12
2
 x  2x  4
2
____________
3x  x  6
2
2
b) Restas:
1.) Resta: – 4xy, de – 2xy.
Solución:
2 xy  ( 4 xy)
Es decir:
2 xy 
4 xy
Se reducen términos semejantes y se
obtiene:
2xy , que es el resultado final.
2.) Resta:
Solución:
4 x y , de 3x y
2
2
2
2
3x y   4 x y
2
Es decir:
2
2
3x y
2
2
2

 4x y
2
2
Se reducen términos semejantes y se obtiene:
2
7x y
2
, que es el resultado final.
3.)
Resta:
2 x  4 x  4, de 3x  4 x  3
2
2
Solución:
3x  4 x  3   2 x  4 x  4 
Es decir:
3x  4 x  3  2 x  4 x  4
2
2
2
2
Se reducen términos semejantes y se obtiene:
x
2
 7 , que es el resultado final.
4.) Resta:
2 x y  3 y  4, de x y  4 xy  5
2
2
2
2
Solución:
x y  4 xy
2
2 x y
2
5
2
 3y  4
2
__________________
 x y  4 xy  3 y  1
2
2
2
5.) Resta:
6 y  3 y  4, de 9 y  3 y
2
2
Solución:
9 y  3y
2
6 y  3y  4
2
__________
15 y  6 y  4
2
ÍNDICE
OBJETIVO 6
ÍNDICE
Multiplica los monomios que se
dan:
1.) (3a5b4) (– 2a2b)
= – 6a5+2b4+1
= – 6a7b5.
3.) (2x4) (4x3)
= 8x4+3
= 8x7.
2.) (– 2xy2z) (– x3yz2)
= 2x1+3y2+1z1+2
= 2x4y3z3.
ÍNDICE
OBJETIVO 7
ÍNDICE
Efectúa los productos indicados:
1.) 3x
3x
2
2
6x
por
6x
3
  3x
 5x
3
2
 5x
 18 x  15 x
3
2.)  x por
2


3.)  6a b c  2a b c  por 2ab c
2 4 3
4
 3x  2 yz
 x  3 x   x  2 yz
 4 x  2 xyz
2
2
2

2 3
 6a b c  2ab c   2a b c  2ab c
2 4 3
2 2
2 3
2 2

12a b c  4a b c
3
2
2 2
6 5
3
5 3
ÍNDICE
OBJETIVO 8
ÍNDICE
Efectúa las multiplicaciones indicadas:
1.)
 4  x  por 3  2 x
 4  x  3  2x
2
2
2.)
x 2 

 4 3  2 x   x 3  2 x
2

por
 4x
2
 9x  2
4x  9x  2
2
x2
2

_____________
 8 x  18 x  4
2
 4  3  4  2 x   x  3  x  2 x
2
2

4x  9x  2x
3
2
________________
 12  8 x  3x  2 x
2
3
 2 x  8 x  3x  12
3
2
4 x  x  20 x  4
3
2
Efectúa la multiplicación indicada:
 5xy
3.)
2
 3xy 
por
 5 xy
2
 3 xy 
5 xy  3xy
2
5 xy  3xy
2
_____________
15 x y  9 x y
2
25 x y 15 x y
2
4
2
3
2
2
3
_____________________
2
25 x y
4
9 x y
2
2
ÍNDICE
OBJETIVO 9
ÍNDICE
Efectúa las divisiones indicadas:
1.)
3
2
22 x y z
entre 4 xyz
3
2
22 x y z
4 xyz
2
3
2



 z 
22
x
y




 2 

 4  x  y  z 
2
2.)
 12 a b

2
z
3 2
 12 a b
7
 3 ab c
2
5
3
5
7



b  1 
  12  a

  3  2 
 3   a   b   c 
2
11 x y
entre  3 ab c
5 7
4

4a b
c
2
4
Efectúa la división indicada:
3.)
3
2 3
3
2 3
18 p r t
entre  3 p r t
2
2 2
18 p r t
3 p r t
2
2 2
3
2
3






18
p
r
t



 2  2  2 
 3   p   r   t 
  6 pt
ÍNDICE
OBJETIVO 10
ÍNDICE
Efectúa las divisiones indicadas:
1.)
a  ab
2
entre a
2.)
3 x y  5a x
2 3
a  ab
entre  3 x
2 4
2
3 x y  5a x
2
3
a

a
2
3 x
2

ab
a
 ab
a
2

3x y
3 x
3
2
2
5a x
2

 y 
3
4
5
3
3 x
2
2
2
a x
4
2
Efectúa las división indicada:
3.)
x
x
m2
m2
 5x  6x
m
 5x
 6x
m
x

x
x
m2
m2

5x
x
m 1
m 1
entre x
x
m2
m 1
m2
m
m2
x
m 1

6x
x
m 1
m2

x
x
m 1
m2
 x  5x  6x  x
4
2
3
ÍNDICE
OBJETIVO 11
ÍNDICE
1.) Divide: a2 + 2a – 3, entre a + 3.
a
1
a  3 a  2a  3
2
 a  3a
2
___________
a3
a3
________
0
2.) Divide: f(x)
g(x) = x 2  2 x  5
= x  12 x  5 x
5
2
3
x 2 x 2
, entre
x
x  2 x  5 x  0 x  0 x  12 x  5 x
2
5
4
3
 x  2x  5x
5
4
2
3
_______________________
2 x  5 x  12 x
2
 2 x  4 x  10 x
2
4
3
4
3
______________________
 x  2x  5x
3
2
x  2x  5x
3
2
_________________
0
3.)Divide: p(a)=
a
a
x2
a 1 a
a
x3
x3
x3
a
x 1
 0a
 a
a
x
,entre q(a) = a  1
a
x2
x
 0a
x 1
a
x2
____________________
 a
a
x2
x2
 a
x 1
________________
a
a
x 1
x 1
 a
 a
x
x
____________
0
x
4.)
1
Divide: 6
5
a 
2
ab 
36
1
3
a
1
b
2
1

a
1
6
entre
2
1
1
3
a
1
b
2
b
3
5
a 
2
6

b
6
2
1
1
1
ab 
36
a 
2
1
b
2
6
ab
4
_________________

1
ab 
9
1
9
1
b
2
6
ab 
1
b
2
6
___________
0
ÍNDICE
OBJETIVO 12
ÍNDICE
Obtén el resultado de las operaciones indicadas:
1.)
 2 a 2 b  3 ab 2 

   3 ab  b   2 a  3 ab  
ab


2 a b  3 ab
2
2
ab
 3 ab  b   2 a  3 ab 
 2 a  3b
 6 a b  9 a b  2 ab  6 ab
2
2
2
2
P or tanto:
 2 a 2 b  3 ab 2 

   3 ab  b   2 a  3 ab  
ab


2
2 2
2
  2 a  3 b   6 a b  9 a b  2 ab  6 ab 
 12 a b  18 a b  4 a b  12 a b
3
3 2
2
2 2
 18 a b  27 a b  6 ab  18 ab
2 2
2 3
2
3
 12 a b  18 a b  4 a b  30 a b  27 a b  6 ab  18 ab
3
3 2
2
2 2
2 3
2
3
Obtén el resultado de las operaciones indicadas:
2.)
  a b  a  3 ab  2 a b  2 b  b  4 ab  
2
2
2
2
2
2
 a 2 b  a 3  4 a 2 b 2  4 ab 3  2 ab  6 ab 2  a 3 b  4 b 2 


a  2b


S olución:
  a b  a  3 ab  2 a b  2 b  b  4 ab  
2
2
2
2
2
2
 a 2 b  a 3  4 a 2 b 2  4 ab 3  2 ab  6 ab 2  a 3 b  4 b 2 


a  2b


  a  2 a b  a b  4 ab  3 ab  2 b  b
2
2
2
2
2
2

  a 3  a 3 b  a 2 b  4 a 2 b 2  2 ab  6 ab 2  4 ab 3  4 b 2 


a  2b


Como:
a
2
 a b  3a b  2 ab 2  2b
2
a  2 b  a  a b  a b  4 a b  2 ab  6 ab  4 ab  4 b
3
a
3
2
2
2
2
3
2
 2a b
3
2
___________________________________________
a b  3 a b  4 a b  2 ab  6 ab  4 ab  4 b
3
2
2
a b
2a b
3
2
2
2
3
2
________________________________________
3 a b  2 a b  2 ab  6 ab  4 ab  4 b
2
2
2
 3a b
2
 6 ab
2
3
2
__________________________________
2 a b  2 ab
2 2
2a b
2
2
 4 ab  4 b
3
 4 ab
3
2
_________________________
2
2 ab
 4b
2ab
 4b
2
___________________
0
2
2
E ntonces:
 a  2 a b  a b  4 ab  3 ab  2 b  b
2
2
2
2
2
2

  a 3  a 3 b  a 2 b  4 a 2 b 2  2 ab  6 ab 2  4 ab 3  4 b 2 


a

2
b


  a  2 a b  a b  4 ab  3 ab  2 b  b
2
2
2
2
2
  a  a b  3 ab  2 ab  2 b
2
2
2
2


 3 a b  a b  ab  5 ab  b .
2
2
2
2
2
Obtén el resultado de las operaciones indicadas:
3.)
3
2


x

5
x
 5x  2
2
3
2
2
 2 x  3 x  1   x  2 x  3 x  2   
  x  4 x  3


x2


y:
S olución:
3x
-1
x  2 x  5x  5x  2
3
C om o:
2x
2
x
2
 3 x  1   x  2 x  3 x  2 
3
2
 2 x  3x  1  x  2 x  3x  2
2
3
2
2
 x  2x
3
2
_________
2
3x  5x  2
 3x  6x
2
____________
 x  3
3
x2
x2
______
0
entonces:
x  5x  5x  2
3
2
x2
  x  4 x  3
2
 x  3x -1   x  4 x  3
2
2
 x  3x -1  x  4 x  3
2
2
 x  4
y queda:
3
2


x

5
x
 5x  2
2
 2 x 2  3 x  1   x 3  2 x 2  3 x  2   
  x  4 x  3


x2


3
   x  3    x  4 
 x  4 x  3 x  12
4
3
Obtén el resultado de las operaciones indicadas:
4.)
 2 xy  3 x  y   x  z  1    2 x 2 y  xy  zy 
x  y  z 1
Solución:
2 xy  3 x  y
x  z 1
__________
 2 xy  3 x  y
2 xyz  3 xz  yz
2 x y  3x
2
2
 yx
______________________________
2 x y  3 x  2 xyz  3 xz  yz  yx  3 x  y
2
2
P or lo que:
 2 xy  3 x  y   x  z  1    2 x
2
y  xy  zy 
  2 x y  3 x  2 xyz  3 xz  yz  yx  3 x  y 
2
2
  2 x y  xy  zy 
2
 2 x y  3 x  2 xyz  3 xz  yz  yx  3 x  y  2 x y  xy  zy
2
2
2
  3 x  2 xyz  2 xy  3 xz  3 x  y  2 yz
2
y como:
 2 yz
3x
5 y
x  y  z  1  3 x  2 xyz  2 xy  3 xz  3 x  y  2 yz
2
3x
 3 xy  3 xz  3 x
2
_______________________
2 xyz  5 xy
 2 xyz
 y  2 yz
2 y z
2
 2 yz  2 yz
2
_________________________________
 5 xy  2 y z
2
 y  4 yz  2 yz
 5 y  5 yz
5 xy
2
 5y
2
____________________________
2
2y z
 6 y  9 yz  2 yz  5 y
2
2
queda:
 2 xy  3 x  y   x  z  1    2 x
2
y  xy  zy 
x  y  z 1
2 y z  6 y  9 yz  2 yz  5 y
2
  3 x  2 yz  5 y 
2
2
x  y  z 1
ÍNDICE
OBJETIVO 13
ÍNDICE
1.)
En una comisión del Congreso los diputados del PRD
son la mitad que los
del PRI. Los del PRI con los del
PAN suman 8 y los del PT son la mitad que
los del PAN
¿Cuántos diputados forman la comisión?
Solución:
PRD = ½ PRI
PRI + PAN = 8 →
PT = ½ PA
PRI = 8 – PAN
PRD + PRI + PAN + PT = ½ PRI + (8 – PAN) + PAN + ½ PAN
=
=
=
=
½ (8 – PAN) + (8 – PAN) + PAN + ½ PAN
4 – ½ PAN + 8 – PAN + PAN + ½
8+4
12
La comisión tiene 12 miembros.
2.)
Una persona camina a un ritmo de 2 kilómetros por
hora al subir una cuesta y al de 4 kilómetros por hora al
bajarla. ¿Cuál es la velocidad media para el recorrido total?
Solución:
Sea L la longitud de la cuesta. El tiempo que tarda
en subirla es L/2; mientras que el tiempo que
tarda en bajarla es L/4; entonces el tiempo total
será:
T = L  L  3L
2
4
4
Como el recorrido total es de 2L, la velocidad
media es:
2L
8
2L
Vm =

  2.666 km/h
T
3L
4
3
3.)
El depósito del anticongelante de un autobús
contiene 8 litros de una mezcla de 60% de agua y 40% de
anticongelante puro. Sin embargo, las bajas temperaturas
invernales requieren que la mezcla contenga 60% de
anticongelante. ¿Qué cantidad de la mezcla actual deberá
desecharse y reemplazarse por anticongelante puro para
que se obtenga la cantidad requerida?
Solución:
Si x es el número de litros que deben
desecharse, x es también la cantidad de
anticongelante puro que debe agregarse.
La cantidad de anticongelante puro en la mezcla actual es
el 40% de 8 litros:
0.4(8) = 3.2 litros;
La cantidad que debe tener la nueva composición es:
0.6(8) = 4.8 litros.
Cuando se desechan x litros de la mezcla actual se
pierden 0.4x litros de anticongelante; entonces la
cantidad x que debe agregarse para obtener una
mezcla con el 60% de anticongelante se obtiene de la
expresión:
3.2 + x – 0.4x = 4.8
x(1 – 0.4) = 4.8 – 3.2
0.6 x  1.6
x=
1.6
0.6
 2.666 litros
4.)
Un padre al morir dejó establecido que el hijo mayor
recibiría $100,000 más la quinta parte del resto. El
siguiente recibiría $200,000 más la quinta parte del nuevo
resto. Y en la misma forma cada hijo iría recibiendo
$100,000 más que el anterior y la quinta parte del resto.
Con esta forma de repartir la herencia, el padre se aseguró
que todos recibieran la misma cantidad. ¿Cuántos
herederos había y qué cantidad recibió cada uno?
Solución:
Sea H el importe total de la herencia. El
primer hijo recibió
100,000 + H  100,000
5
El segundo hijo recibió $200,000 más la quinta parte de lo
que quedaba después de que el primero recibió su parte
y de los 200,000 que le correspondían a él:
1
H  100,00

H

100
,
000


200
,
000

5 
5

200,000 +
Como cada hijo debe recibir la misma cantidad, se igualan los dos
polinomios para obtener el valor de H:
100,000 +
H  100,000
=200,000 +
5
100,000 
H
5
H
 20,000  200,000 
H
5
 20,000 
1
H  100,00

H

100
,
000


200
,
000

5 
5

H
 4,000  40,000
25
 200,000  20,000  4,000  40,000  100,000  20,000
25
Entonces, dado que la herencia era de $1,600,000 y cada hijo recibió la
misma cantidad, eran 4 hijos y cada uno recibió $400,000.
5.) La edad de Juan es el doble de la que tenía
Pedro cuando Juan tenía la que
ahora tiene
Pedro. En total suman 49 años. ¿Cuáles son sus
edades?
Solución:
Sea x la edad actual de Juan. Dado que la suma
de las edades de ambos es 49, la edad actual de
Pedro será (49 – x).
La expresión algebraica sobre la comparación de
las edades: “la edad actual de Juan es el doble
de la que Pedro tenía cuando Juan tenía la que
tiene ahora Pedro” se obtiene como sigue:
Pedro es menor que Juan y la diferencia de edades entre
ellos es
[x – (49 – x)].
En aquel momento, la edad de Juan era la edad actual
de Pedro: (49 – x); al restar a ésta la diferencia de
edades entre ambos, se obtiene la edad que tenía Pedro
cuando Juan tenía (49 – x) y, como la edad actual de
Juan es el doble de ésta entonces:
x = 2{(49 – x) – [x – (49 – x)]}
x = 2 {(49 – x) – x + (49 – x)}
x = 2 [2(49 – x) – x]
x = 196 – 4 x – 2 x
7 x = 196
x = 28
Y la edad de Pedro es: 49 – 28 = 21
6.) Encuentra tres números enteros
consecutivos tales que cuando se forman las 6
fracciones posibles tomados de dos en dos, la
suma de ellas es un número entero.
Solución:
Sean x – 1, x y x + 1 los tres números enteros
consecutivos que se buscan. Las 6 fracciones
que se pueden formar con ellos, tomados de dos
en dos son:
x 1
x
,
x
x 1
,
x 1
x 1
,
x 1
x 1
,
x
x 1
,
Y la suma de las seis fracciones será:
x 1
x
( x  1) ( x  1)  x ( x  1)  x( x  1)  x( x  1)  x ( x  1)  ( x  1)( x  1)
2

2
2
2
2
2
x( x  1)( x  1)
x  x  x  1  x  x  x  2x  x  x  2x  x  x  x  x  x  x  1
3
=
2
3
2
3
2
3
2
3
2
3
2
x( x  1)( x  1)
=
6x
3
x( x  1)
2

6x
2
x 1
2
Ahora bien, x2 y x2 – 1 son números primos entre sí
porque difieren en una unidad, por lo tanto esta fracción
será un número entero sólo si (x2 – 1) divide a 6, lo que
ocurre para x = 2, por lo tanto, los tres números
buscados son: x – 1 =1; x = 2; x + 1 = 3.
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UNIDAD 4 - FES Acatlán - Matemáticas e Ingeniería