PROBLEMAS DE GEOMETRÍA
PROBLEMAS DE GEOMETRÍA
Alejandro García Piedrafita y Sergio Álvarez Mesonero
PROBLEMAS DE GEOMETRÍA
1
EL RADIO DEL CÍRCULO
Teniendo en cuenta la figura,
hallar el radio del círculo.
Solución
Dado que la diagonal de 8 cm.
tiene la misma longitud que el
radio del círculo, la respuesta es
8 cm.
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2
EL LADO DEL ROMBO
En una plaza circular de R=9 m.
se quiere construir un estanque
de forma rómbica, según la
figura. ¿Cuánto mide el lado del
rombo?
Solución
Basta con darse cuenta de
que el lado AC es el radio de
la circunferencia y AE y BD
son diagonales de un
rectángulo.
Por lo tanto, son iguales
en longitud. Lado del rombo
= 9 m.
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3
EL ÁNGULO DE LAS DIAGONALES
¿Cuántos grados mide el
ángulo que forman las dos
diagonales de las caras del
cubo?
Solución
60°. Basta observar de que se
trata de un triángulo
equilátero ABC trazando la
diagonal BC de la otra cara.
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4
GOLPE DE VISTA
Dos circunferencias secantes
tienen por centros P y Q. El
segmento PQ mide 3 cm. Por uno
de los puntos (O) donde se cortan
las circunferencias trazamos una
recta paralela al segmento PQ.
Sean M y N los puntos donde corta
dicha recta a las circunferencias.
¿Cuánto mide MN?
Solución
MN = 6 centímetros. Trazando
desde P y Q perpendiculares
al segmento MN, obtenemos
los puntos R y S. Como
MR=RO y NS=SO y RS=PQ,
surge la respuesta.
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5
EL ÁNGULO OBTUSO
. ¿Cuánto mide el ángulo
obtuso ABC? A, B y C son
los puntos medios de los
lados.
Solución
120°. Sólo hace falta
terminar de dibujar el
hexágono regular
ABCDEF.
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6
EL ÁNGULO EXTERIOR
. En el triángulo isósceles
ABC el ángulo A mide 50
¿Cuál es la medida del
ángulo x?
Solución
Puesto que es isósceles: B =
C = (180°-A)/2 = 130°/2 =
65°.
Por lo tanto: x= 180°-C =
180°- 65° = 115°.
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7
CUADRADOS QUE SE CORTAN
Tenemos dos cuadrados iguales
superpuestos, de manera que un
vértice de uno está siempre en el
centro del otro. ¿En qué posición el
área comprendida entre los dos
cuadrados es la mayor posible?
Solución
El área comprendida entre
ambos siempre es la cuarta
parte de la de un cuadrado.
Los triángulos ABC y CDE
son iguales.
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8
SEMEJANZA DE RECTÁNGULOS
Si el ancho de un marco es igual en
sus dos direcciones, horizontal y
vertical, como sucede casi siempre, el
rectángulo constituido por el cuadro
completo y el rectángulo de la tela
pintada ¿serán semejentes?
Solución
No lo son, puesto que las
fracciones: b/a y
(b+2h)/(a+2h) son siempre
distintas, salvo en el caso
del cuadrado (a=b).
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9
PAQUETE POSTAL
Un hombre quiere enviar por correo un fluorescente que mide
92 cm. de largo, pero las normas de Correos prohíben los
paquetes postales superiores a 55 cm. ¿Cómo podría enviar el
objeto por correo sin romperlo, ni doblarlo ni faltar a las
ordenanzas de Correos?
Solución
Puede utilizar para el envío
una caja en forma de cubo
de 55 cm. de lado, pues una
caja de estas características
tiene una diagonal de 95
cm.
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10
SEMEJANZA DE RECTÁNGULOS
A una circunferencia pueden
inscribirse y circunscribirse
cuadrados como muestra la
figura adjunta.
Sabiendo que el área del
cuadrado inscrito es de cuatro
unidades de superficie, ¿qué área
tiene el cuadrado mayor?
Solución
En lugar de inscribir el
cuadrado como mostraba
la figura anterior,
hagámoslo girar 45 hasta la
posición que muestra la
figura siguiente.
Se observa que el área del
cuadrado mayor es el doble
que la del inscrito; es decir,
8 unidades.
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11
NUEVE ÁNGULOS
Calcula el valor de todos
los ángulos de la figura
sabiendo que el ángulo 1
vale 70.
Solución
El ángulo 2 mide 20°.
Por tratarse de un triángulo isósceles
(dos lados son radios) los ángulos 4 y
5 son iguales.
La suma de los ángulos 2, 3 y 4 es
90°, pues el ángulo total abarca el
diámetro.
De estas dos condiciones se obtiene
que la suma de los ángulos 2 y 4 es
igual al ángulo 7. Y el ángulo 7 es
igual a dos veces el ángulo 4. De
donde el ángulo 2 es la mitad del
ángulo 7.
Por tanto el ángulo 7 mide 40°, los
ángulos 4 y 5 miden 20° cada uno, el
ángulo 6 mide 140°, el ángulo 7 mide
50° y los ángulos 8 y 9 son rectos.
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