PROPORCIONALIDAD
2º ESO
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PROPORCIONALIDAD 2º ESO
1.-Razón de dos números
Hasta ahora, el cociente indicado de dos números, por ejemplo 8 y 7, era una
división, 8 : 7 y también una fracción, 8
7
Vamos a añadir un nuevo significado a ese cociente. Es el de razón de dos
números. Diremos que la razón de dos números es su cociente indicado. La
expresaremos en forma de fracción y la leeremos “8 es a 7”.
Ejemplo:
La razón de 5 y 8 es
5
8
“5 es a 8”
En la práctica, podemos considerar a razón y fracción como cosas similares.
Por ello podremos decir que la razón entre 15 y 20 es
fracción equivalente irreducible
15
20
o 3
4
, que es la
Cuando aplicamos la razón de dos números a cantidades estamos expresando la
relación que hay entre ellas. Es decir, si la razón de dos cantidades es 5 significa
8
que por cada 5 unidades de la primera hay 8 de la segunda. Las escalas de planos y
mapas son, en realidad, razones entre las medidas del papel y del terreno.
PROPORCIONALIDAD 2º ESO
2.- Proporción
Proporción es la igualdad de dos razones. Es decir, si dos razones son iguales, puedo
escribir esa igualdad y a la expresión que resulta la llamamos proporción.
Las razones
1
y
2
3
6
son iguales. Puedo escribir por tanto
proporción y la leeremos: “1 es a 2 como 3 es a 6”
1
2

3
6
. Es una
Y como en las fracciones equivalentes, también en una proporción al multiplicar en cruz
se obtiene el mismo resultado. Compruébalo en el ejemplo anterior. En el caso de las
proporciones se dice que “el producto de medios es igual al producto de extremos”.
Al igual que en las fracciones equivalentes, también en una proporción puede haber
algún término desconocido. Lo calcularemos de la misma forma. Fíjate en los ejemplos:
3
4
4
x


6
x
x
9
x 
4·6
3
 8
x  4 · 9  36
2
x 
36  6
PROPORCIONALIDAD 2º ESO
3.- Magnitudes directamente proporcionales y
magnitudes inversamente proporcionales.
Dos magnitudes son directamente proporcionales si al variar una de ellas en un
sentido, la otra varía en el mismo sentido. Es decir:
A doble en la primera magnitud, doble en la segunda
. Número de personas que van en el autobús y recaudación del autobús
. Tiempo que está encendida una bombilla y consumo de energía
. Número de vacas que posee un granjero y pienso que gasta a la semana
Dos magnitudes son inversamente proporcionales si al variar una de ellas en un
sentido, la otra varía en sentido contrario. Es decir:
A doble en la primera magnitud, mitad en la segunda
. Número de obreros y tiempo en hacer un trabajo
. Velocidad de un coche y tiempo en recorrer un trayecto
. Número de vacas y tiempo que durará el pienso
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4.- Tablas en la proporcionalidad directa
A doble en la primera magnitud, doble en la segunda
Naranjas (kg)
2
3
4
5
Precio (€)
4
6
8
10
4
2

6

3
8
4

10

2
(es lo que corresponde a 1)
5
En una tabla de proporcionalidad directa, el cociente de cada pareja de valores correspondientes
es constante. Ello nos sirve para comprobar si una tabla es de proporcionalidad directa y para
completar tablas incompletas. El cociente se llama “razón de proporcionalidad”.
A
2
3
4
5
B
12
18
24
30
A
4
B
20
5
10


50
Es una tabla de proporcionalidad directa
(los cocientes son iguales)
A
4
2
5
10
B
20
10
25
50
PROPORCIONALIDAD 2º ESO
5.- Tablas en la proporcionalidad inversa
A doble en la primera magnitud, mitad en la segunda
Operarios
2
3
4
8
Tiempo (h)
12
8
6
3
2 .12 = 3 . 8 = 4 . 6 = 8 . 3 = 24 (es lo que corresponde a 1)
En una tabla de proporcionalidad inversa, el producto de cada pareja de valores
correspondientes es constante. Ello nos sirve para comprobar si una tabla es de
proporcionalidad inversa y para completar tablas incompletas. El valor del
producto es “la constante de proporcionalidad”.
A
2
3
4
10
B
12
8
6
2,4
A
4
B
9
6
12


18
Es una tabla de proporcionalidad inversa
(los productos son iguales)
A
4
3
6
2
B
9
12
6
18
PROPORCIONALIDAD 2º ESO
6.- Tablas de proporcionalidad y proporciones
Propocionalidad directa
Proprocionalidad inversa
Naranjas
(kg)
Precio
(€)
Operarios
2
2
4
3
3
6
4
8
3
5
10
5

Tiempo
(h)
2
2
12
3
3
8
6
4
6
3
10
6
4
6
4
6

En la proporcionalidad directa, la razón
de dos cantidades de una magnitud
forma proporción con la razón de las
cantidades correspondientes en la otra
magnitud.

8
12

4
8
En la proporcionalidad inversa, la razón
de dos cantidades de una magnitud
forma proporción con la razón inversa de
las cantidades correspondientes en la
otra magnitud.
PROPORCIONALIDAD 2º ESO
7.- Problemas de proporcionalidad directa
En una fábrica, 8 máquinas producen 120 piezas. ¿Cuántas piezas producirán 25 máquinas?
POR REDUCCIÓN A LA UNIDAD
Máquinas
8
25
120 : 8 = 15
Pieza
120
?
POR REGLA DE TRES
Máquinas Piezas
8 -------- 120
25 -------- x
25 . 15 = 375
D
D
8
25
x 

120
x
25 . 120
8
Solución:
375 piezas
Solución:
375 piezas
= 375
PROPORCIONALIDAD 2º ESO
8.- Problemas de proporcionalidad inversa
Doce operarios hacen un trabajo en 6 días. ¿ En cuánto lo harán 8 operarios ?
¿ Y 3 operarios ?
POR REDUCCIÓN A LA UNIDAD
Oper
12
8
3
12 . 6 = 72
Días
6
I
?
?
72 : 8 = 9
72 : 3 = 24
Solución:
9 días
24 días
POR REGLA DE TRES
Operarios Días
12 -------- 6
8 -------- x
3 -------- y
I
12

8
12
3
x
x 
y
6
 9
8
6

12 . 6
y 
12 . 6
3
Solución:
9 días
24 días
 24
PROPORCIONALIDAD 2º ESO
9.- Resolución de problemas de proporcionalidad por regla de tres
Para resolver un problema de proporcionalidad debes seguir los siguientes pasos:
1º.- Determinar si la proporcionalidad entre las magnitudes es directa o inversa
2º.- Plantear la regla de tres señalando si es directa o inversa. Expresa las cantidades de
cada magnitud en la misma unidad.
3º.- Escribir la proporción correspondiente
4º.- Hallar x
Fíjate en los siguientes ejemplos.
Para realizar cierto trabajo 10 obreros emplean 8
horas. ¿Cuánto les hubiera costado a 16
obreros?
(Es inversa porque a doble de obreros mitad de
tiempo)
Nº obreros
Tiempo (h)
10 --------- 8
16 --------- x
10

16
Si por 12 camisetas pago 96 €, ¿cuánto pagaré
por 57 de esas camisetas?
( Es directa porque a doble de camisetas doble dinero)
Camisetas Dinero(€)
12 ------- 96
57 -------- x
x
8
12
57
D
I
x 
10 . 8
16
Solución
5 horas
 5
x 

96
x
57 . 96
12
Solución
456 €
 456
PROPORCIONALIDAD 2º ESO
PORCENTAJES
10.- Concepto de porcentaje
La expresión porcentaje o tanto por ciento equivale a “tantos de cada 100”. Es decir, hablar
del 40% es hablar de 40 de cada 100.
Teniendo en cuenta lo anterior, para hallar un tanto por ciento de una cantidad deberíamos
dividir primero por 100 para ver cuántas cientos hay en la cantidad y después multiplicaríamos
por el tanto por ciento.
Así, para hallar el 35% de 420 haríamos lo siguiente:
420 : 100 = 4,2
4,2 . 35 = 147
En la práctica lo haremos de otras formas pero esta idea nos puede venir bien para calcular
mentalmente –o con cálculos sencillos- tantos por cientos en los que aparecen ceros al final
de las cantidades.
Recuerda que para dividir por 100 un número que acaba en ceros lo que hacemos es quitar
dos ceros. Por ello, para calcular estos porcentajes quitaremos dos ceros y multiplicaremos
las cantidades resultantes:
4% de 600 = 4 . 6 = 24
20% de 60 = 2 . 6 = 12
30% de 50 = 3 . 5 = 15
8% de 2000 =
8 . 20 = 160
40% de 500 = 40 . 5 = 200
4% de 50 = 4 . 0,5 = 2 (*)
(*) En este último ejemplo lo mejor es multiplicar 4 por 5 (sólo hemos quitado un cero) y del
resultado, 20, quitar el segundo cero y llegar al resultado final,2.
PROPORCIONALIDAD 2º ESO
PORCENTAJES
11.- Cálculo de porcentajes : porcentaje como fracción
Hemos visto que 40% es lo mismo que 40 de cada 100. Pero resulta que 40 de cada 100
también lo podemos expresar en forma de fracción: 40/100. Es decir,
40% =
40
100
40
Por ello, hallar el 40% de 600 será lo mismo que calcular
de 600. En la práctica
100
procederemos así:
35 . 60
35 % de 60 =
100
 21
A esta forma de calcular porcentajes se le suele llamar porcentaje como fracción.
28 . 420
28% de 420 =
100
150 . 36
 117,6
150% de 36 =
100
 54
PROPORCIONALIDAD 2º ESO
PORCENTAJES
12.- Cálculo de porcentajes : porcentaje como decimal
Si 40% es
40
100
40
eso equivale a decir que 40% es lo mismo que 0,40 ya que 100
= 0,40
Por ello, para hallar el 40% de 600 podremos hacer lo siguiente:
600 · 0,40 = 240
Así, para hallar un tanto por ciento de una cantidad, multiplicaremos la cantidad por el
decimal que equivale al tanto por ciento.
Ejemplos:
35% de 450 = 450 · 0,35 = 157,5
116 % de 1289 = 1289 · 1,16 = 1495,24
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PORCENTAJES
13.- Cálculo de porcentajes : porcentaje como regla de tres
Podemos interpretar el cálculo de un porcentaje como un problema de proporcionalidad
directa. Por ello, también podremos calcularlos por medio de una regla de tres.
Ejemplo: Calcular 40% de 650
Total
Parte
100 ------ 40
650 ------ x
100
650

40
x
x 
650 . 40
 260
100
Esta forma de calcular los porcentajes es particularmente útil para resolver algunos
problemas.
PROPORCIONALIDAD 2º ESO
PORCENTAJES
14.- Cálculo de porcentajes : con calculadora
Calcular 35% de 60
CALCULADORA NO CIENTÍFICA
Deberás teclear:
CALCULADORA CIENTÍFICA
La secuencia de teclas depende del modelo de
calculadora. Para la Casio es:
60 x 35 %
60 x 35 SHIFT =
y aparecerá el resultado en la
pantalla
SHIFT
21
Tecla =
activa la segunda función de las teclas
contiene % como segunda función
SHIFT + =
%
SHIFT
=
%
PROPORCIONALIDAD 2º ESO
PORCENTAJES
15.- Cálculo rápido de algunos porcentajes:
10% = décima parte (: 10)
50% = la mitad (:2)
10% de 42 = 42 : 10 = 4,2
50% de 36 = 36 : 2 = 18
25% = la cuarta parte (:4)
25% de 40 = 40 : 4 = 10
20% = la quinta parte (:5)
20% de 35 = 35 : 5 = 7
75% = las tres cuartas partes
(:4) y (x3)
75% de 16 = 16 : 4 . 3 = 12
PROPORCIONALIDAD 2º ESO
PORCENTAJES
16.- Cálculo de porcentajes : resumen
50 % de 300
300 . 50
a) Porcentaje como fracción: 50% de 300 =
Total
b) Como regla de tres: 50% de 300
 150
100
Parte
100 ------ 50
100
300

50
300 . 50
x=
x
100
300 ------ x
c) Como decimal => 50% de 300 = 300 · 0,5 = 150
d) Con calculadora: 50% de 300 =>
50 x 300 % = 150
e) Mentalmente (con números que acaban en ceros): 50% de 300 = 50 . 3 = 150
f) Cálculo rápido (sólo en determinados casos): 50% de 300 = 300 : 2 = 150
 150
PROPORCIONALIDAD 2º ESO
PORCENTAJES
17.-Problemas de porcentajes 1
Asignaremos nombres a los diferentes elementos que integran el cálculo de un tanto por
ciento:
30% de 40 = 12
porcentaje
parte
total
A- CÁLCULO DE LA PARTE
En mi clase, el 40% son chicas. Si en total somos 30, ¿cuántas son las chicas?
(El problema se resuelve hallando el 40% de 30 por cualquiera de los métodos que conocemos)
total : 30
40% de 30 = 12
chicas: 40%
Solución:
12 chicas
(Si lo hacemos utilizando porcentaje como decimal)
30 · 0,4 = 12
PROPORCIONALIDAD 2º ESO
PORCENTAJES
18.- Problemas de porcentajes 2
B- CÁLCULO DEL PORCENTAJE
En mi clase, de 30 que somos en total, 12 son chicas. ¿Qué porcentaje representan las chicas?
(Lo resolveremos por regla de tres. Y recuerda que el porcentaje es lo que corresponde a 100)
Total
Chicas
30

100
30 --- 12
12
x
x
100 . 12
 40
30
Solución:
40%
100 --- x
Otra forma de resolverlo utilizando regla de tres
Alumnos
%
30 ------- 100
12 -------
30
12

100
x
x 
12 . 100
30
Solución:
 40
40%
x
Otra forma de resolverlo utilizando decimales
Total: 30
Chicas: 12
Solución:
12 : 30 = 0, 4 = 40%
40%
PROPORCIONALIDAD 2º ESO
PORCENTAJES
19.- Problemas de porcentajes 3
C- CÁLCULO DEL TOTAL
En mi clase hay 12 chicas y representan el 40% del total. ¿Cuántos somos en total?
(Lo resolveremos por regla de tres. Y recuerda que el porcentaje es lo que corresponde a 100)
Total
Chicas
100
100 --- 40
x
x

40
x 
12
100 . 12
Solución:
 30
40
30 alumnos/as
--- 12
Otra forma de resolverlo utilizando regla de tres
%
Alumnos/as
40 ----------
12
100 ---------
x
40
100

12
x
x 
100 . 12
40
 30
Solución:
30 alumnos/as
Otra forma de resolverlo utilizando decimales
Chicas: 12
Chicas: 40%
Solución:
12 : 0,4 = 30
30 alumnos/as
(si para calcular la parte multiplicamos por el decimal, para hacer lo contrario, es decir, para
calcular el total, dividiremos por el decimal)
20.- Problemas de porcentajes 4
PROPORCIONALIDAD 2º ESO
PORCENTAJES
D- AUMENTO PORCENTUAL
Son problemas en los que algo tiene un valor inicial, aumenta en un porcentaje de su valor
y llega a un valor final.
Mi tío gana 1200 € mensuales de sueldo y le van a subir el 12%. ¿Cuánto ganará
después de la subida?
Sueldo: 1200 €
Aumento: 12%
Otra forma de resolverlo
Sueldo: 1200 €
12% de 1200 = 144
Solución:
1200 + 144 = 1344
1344 €
(Si aumenta el 12%, cada 100 de antes se convierten en 112)
112% de 1200 = 1344
Aumento: 12%
Solución:
1344 €
Otra forma de resolverlo utilizando decimales
Sueldo: 1200 €
Aumento: 12%
Solución:
1200 · 1,12 = 1344
1344 €
21.- Problemas de porcentajes 5
PROPORCIONALIDAD 2º ESO
PORCENTAJES
E- DISMINUCIÓN PORCENTUAL
Son problemas en los que algo tiene un valor inicial, disminuye en un porcentaje de su
valor y llega a un valor final.
La camiseta que me gusta vale hoy 30 €. Si en rebajas tiene un descuento del 25%.
¿Cuánto me costará entonces?
Precio: 30€
Descuento: 25%
Otra forma de resolverlo
Precio: 30€
25% de 30 = 7,5
30 – 7,5 = 22,5
Solución:
22,5 €
(Si me descuentan el 25%, pago el 75% del valor)
75% de 30 = 22,5
Descuento: 25%
Solución:
22,5 €
Otra forma de resolverlo utilizando decimales
Precio: 30€
Descuento: 25%
30 · 0,75 = 22,5
Solución:
22,5 €
PROPORCIONALIDAD 2º ESO
PORCENTAJES
22.- Otros problemas de aumento y disminución porcentual (1)
Son problemas en los que se nos pide averiguar el valor inicial conociendo el valor final
y el porcentaje de aumento o disminución.
Mi tío gana 1344 € mensuales de sueldo después de una subida del 12%. ¿Cuánto ganaba antes?
Por regla de tres
Antes
100
x
Después
-----
112
Solución:
100
1344
x

112
x 
100 . 1344
112
1344

1200
1200 €
Otra forma de resolverlo
Sueldo antes: x
Aumento: 12%
100% + 12% = 112%
112 % de x = 1344
Sueldo después: 1344€
x
1344
. 100
112

Solución:
1200 €
1200
Otra forma de resolverlo utilizando decimales
Sueldo después: 1344€
Aumento: 12%
Solución:
1344 : 1,12 = 1200
1200 €
PROPORCIONALIDAD 2º ESO
PORCENTAJES
23.- Otros problemas de aumento y disminución porcentual (2)
He pagado 22,50 € por una camiseta. Si me han descontado el 25%, ¿cuál era el precio antes de
la rebaja?
Por regla de tres
Antes
Después
100
---
75
x
---
22,50
100
x

75
x 
22,50
100 . 22,50
75
 30
Solución:
30€
Otra forma de resolverlo
Precio antes: x
Descuento: 25%
100% - 25% = 75%
75 % de x = 22, 50
Precio después: 22,50€
x
22,50 . 100
75

Solución:
30€
30
Otra forma de resolverlo utilizando decimales
Precio después: 22,50€
Descuento: 25%
Solución:
22,50 : 0,75 = 30
30€
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Proporcionalidad (PowerPoint)