Proporcionalidad. Regla de tres
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Razón y proporción numérica
Magnitudes directamente proporcionales
Regla de tres simple directa
Magnitudes inversamente proporcionales
Regla de tres simple inversa
Problemas de porcentajes
Razón y proporción numérica
Proporcionalidad. Regla de tres
La razón entre los números 10 y 2 es 5, su cociente:
La razón entre 0,15 y 0,3 es
0 ,15
0 ,3

15

30
10
5
2
1
2
Razón entre dos números a y b es el cociente
a
b
Los números 2, 5 y 8, 20 forman una
proporción, pues sus razones son iguales.
Es decir:
2
5
Los números a, b y c, d forman una proporción si la razón entre
a y b es la misma que entre c y d.
Es decir:
a
b

c
Se lee “a es a b como c es a d”
d
A a y d se les llama extremos.
A b y c se les llama medios.
a
b

c
d
ad = bc
El producto de los extremos es igual al producto de los medios.

8
20
Magnitudes directamente proporcionales (I)
Proporcionalidad. Regla de tres
Ejemplo: Un saco de patatas pesa 20 kilogramos. ¿Cuánto pesan 2 sacos?
Un cargamento de patatas pesa 520 kg. ¿Cuántos sacos se podrán hacer?
Observa:
Sacos:
Fíjate:
Kilos:
1 saco
2 sacos 3 sacos
? sacos
1
2
3
??
20
40
60
520
20 kg
40 kg
1

60 kg
2

3
520 kg
 ... 
?
? 
520
 26
20
40
60
520
20
Las magnitudes número de sacos y peso en kilogramos son directamente proporcionales.
La constante de proporcionalidad para pasar de sacos a kilogramos es 20.
Habrás advertido que:
En general, si dos magnitudes son tales que a doble, triple… cantidad de la
primera corresponde doble, triple… de la segunda, entonces se dice que
esas magnitudes son directamente proporcionales.
Recuerda: El producto de los extremos es igual al producto de los medios.
Proporcionalidad. Regla de tres Magnitudes directamente proporcionales (II)
Ejercicio
Si un dólar vale 0,95 euros, ¿cuánto costarán 6 dólares?
¿Cuántos dólares podremos comprar con 20 euros?
Las magnitudes dólares y euros son directamente proporcionales, luego:
Dólares:
1
2
3
En definitiva:
doláres
Euros:
0,95
2 · 0,95 3 · 0,95
= 1,9
= 2,85

euros
1
0 ,95
(dólares) · 0,95 = euros.
Por tanto, 6 dólares cuestan 6 · 0,95 = 5,7 euros
Para pasar de dólares a euros
se multiplica por 0,95.
Para pasar de euros a dólares
se divide por 0,95
Por lo mismo, 20 euros = 0,95 · (x dólares),
luego
x = 20 : 0,95 = 21,05
20Eleuros
= 21,05
dólares
Recuerda:
producto
de los
extremos es igual al producto de los medios.
Regla de tres simple directa
Proporcionalidad. Regla de tres
Ejemplo. En 50 litros de agua de mar hay 1300 g de sal.
¿Cuántos litros de agua de mar contendrán 5200 g de sal?
La cantidad de agua y la cantidad de sal son directamente proporcionales.
La proporción establecida es:
litros de agua

gramos de sal
50
1300
Si representamos por x el número de litros que contendrán 5200 g de sal, se
verifica la proporción:
50
1300

x
5200
50 · 5200 = 1300 x
x 
50 · 5200
 200
1300
Disposición práctica
En 50 litros hay 1300 g de sal
En x litros habrá 5200 g de sal
50 l
x l
1300 g
5200 g
x 
50 · 5200
 200
1300
Esta forma de plantear y resolver problemas sobre proporciones se conoce con el nombre
de regla de tres simple directa.
Proporcionalidad. Regla de tres Magnitudes inversamente proporcionales
Ejemplo:
Si 3 hombres necesitan 24 días para hacer un trabajo, ¿cuántos
días emplearán 18 hombres para realizar el mismo trabajo?
Observa:
Doble de 3
Hombres: 3
Fíjate:
Días:
6
3 · 24 = 72
24
Triple de 3
9
6 · 12 = 72
12
Mitad de 24
18
9 · 8 = 72
8
? = 72
18 · 24
?
Un tercio de 24
Si dos magnitudes son tales que a doble, triple… cantidad de la primera
corresponde la mitad, la tercera parte… de la segunda, entonces se dice
que esas magnitudes son inversamente proporcionales.
Pero aún no hemos contestado la pregunta inicial: ¿cuántos días emplearán 18 hombres?
Si 18 · ? = 72, entonces ? = 72 : 18 = 4 días
Regla de tres simple inversa
Proporcionalidad. Regla de tres
Ejemplo. Un ganadero tiene alimento suficiente para alimentar 220 vacas durante
45 días. ¿Cuántos días podrá alimentar con la misma cantidad de alimento a 450
vacas?
Fíjate en que, con el mismo pienso, si el número de vacas se duplica, tendrá para la
mitad de días; y si las vacas se triplican, para un tercio de los días, etc.
Por tanto, las magnitudes número de vacas y número de días son
inversamente proporcionales.
Vacas:
Días:
220
450
45
x
220 · 45 = 450 · x
x = 22
Disposición práctica
220 vacas tienen para 45 días
450 vacas tendrán para x días
220 vacas
450 vacas
45 días
x días
x 
220 · 45
450
Esta forma de plantear y resolver problemas sobre magnitudes inversamente
proporcionales se conoce con el nombre de regla de tres simple directa.
 22
Problemas de porcentajes (I)
Proporcionalidad. Regla de tres
Ejemplo1. En las rebajas de enero el descuento de una tienda es del
20% sobre el precio indicado. Un señor compra un juego de toallas
etiquetado con 90 euros. ¿Cuánto tiene que pagar?
Un descuento del 20% quiere decir que de cada 100 euros pagamos 80.
Aplicando la regla de tres, se tiene:
Si de 100 euros pagamos 80
De
90 euros pagaremos x
100
80
90
x
x 
80 · 90
 72
100
Tendrá que pagar 72 euros por el juego de toallas.
En la práctica
Un descuento del 20% equivale a multiplicar por 0,20. La cantidad
resultante es lo rebajado.
Rebaja: 90 · 0,20 = 18.
Se paga: 90 – 18 = 72 euros
Directamente. Si descuentan el 20%, se pagará el 80%.
Se pagarán 90 · 0,80 = 72 euros
Problemas de porcentajes (II)
Proporcionalidad. Regla de tres
Ejemplo 2. Una señorita compra un coche cuyo precio de fábrica es de
8200 euros. A este precio hay que añadirle un16% de IVA (impuesto
sobre el valor añadido). ¿Cuál será el precio final del coche?
Si el impuesto es del 16%, quiere decir que por cada 100 euros debemos pagar 116.
Aplicando la regla de tres simple se tiene:
Si por 100 euros pagamos 116
Por 8200 euros pagaremos x
100
8200
116
x 
116 · 8200
x
 9512
100
Por tanto, tendrá que pagar 9512 euros por el coche.
En la práctica
Un incremento del 16% equivale a multiplicar por 0,16. La cantidad
resultante es el incremento total.
Incremento: 8200 · 0,16 = 1312. Se paga: 8200 + 1312 = 9512 euros
Directamente. Si se incrementa el 16%, se pagará el 116%.
Se pagarán 8200 · 1,16 = 9512 euros
PROPORCIONALIDAD
Proporcionalidad. Regla de tres
1.- Proporcionalidad directa
A doble en la primera magnitud, doble en la segunda
Naranjas (kg)
2
3
4
5
Precio (€)
4
6
8
10
4
2

6

3
8
4

10

2
(es lo que corresponde a 1)
5
En una tabla de proporcionalidad directa, el cociente de cada pareja de valores correspondientes
es constante. Ello nos sirve para comprobar si una tabla es de proporcionalida directa y para
completar tablas incompletas
A
2
3
4
5
B
12
18
24
30
A
4
B
20
5
10


50
Es una tabla de proporcionalidad directa
(los cocientes son iguales)
A
4
2
5
10
B
20
10
25
50
PROPORCIONALIDAD
Proporcionalidad. Regla de tres
2.- Proporcionalidad inversa
A doble en la primera magnitud, mitad en la segunda
Operarios
2
3
4
8
Tiempo (h)
12
8
6
3
2 ×12 = 3 × 8 = 4 × 6 = 8 × 3 =24 (es lo que corresponde a 1)
En una tabla de proporcionalidad inversa, el producto de cada pareja de valores
correspondientes es constante. Ello nos sirve para comprobar si una tabla es de
proporcionalidad inversa y para completar tablas incompletas.
A
2
3
4
10
B
12
8
6
2,4
A
4
B
9
6
12


18
Es una tabla de proporcionalidad inversa
(los productos son iguales)
A
4
3
6
2
B
9
12
6
18
PROPORCIONALIDAD
Proporcionalidad. Regla de tres
3.- Fracciones equivalentes en las tablas de proporcionalidad
Propocionalidad directa
Propocionalidad inversa
Naranjas
(kg)
Precio
(€)
Operarios
2
2
4
3
3
6
4
8
3
5
10
5

Tiempo
(h)
2
2
12
3
3
8
6
4
6
3
10
6
4
6
4
6

En las tablas de proporcionalidad directa,
la fracción formada con un par de valores
de la primera magnitud es equivalente a la
fracción formada con los valores
correspondientes en la otra magnitud.

8
12

4
8
En las tablas de proporcionalidad inversa,
la fracción formada con un par de valores
de la primera magnitud es equivalente a la
inversa de la fracción formada con los valores
correspondientes en la otra magnitud.
PROPORCIONALIDAD
Proporcionalidad. Regla de tres
4.- Problemas de proporcionalidad directa
En una fábrica, 8 máquinas producen 120 piezas. ¿Cuántas piezas producirán 25 máquinas?
POR REDUCCIÓN A LA UNIDAD
Máquinas
8
25
120 ÷ 8 = 15
Pieza
120
?
POR REGLA DE TRES
Máquinas Piezas
8 -------- 120
25 -------- x
25 × 15 = 375
D
D
8
25
x 

120
x
25 . 120
8
Solución:
375 piezas
Solución:
375 piezas
= 375
PROPORCIONALIDAD
Proporcionalidad. Regla de tres
5.- Problemas de proporcionalidad inversa
Doce operarios hacen un trabajo en 6 días. ¿ En cuánto lo harán 8 operarios ?
¿ Y 3 operarios ?
POR REDUCCIÓN A LA UNIDAD
Oper
12
8
3
12 x 6 = 72
Días
6
I
?
?
72 ÷ 8 = 9
72 ÷ 3 = 24
Solución:
9 días
24 días
POR REGLA DE TRES
Operarios Días
12 -------- 6
8 -------- x
3 -------- y
I
12

8
12
3
x
x 
y
6
 9
8
6

12 . 6
y 
12 . 6
3
Solución:
9 días
24 días
 24
PROPORCIONALIDAD
Proporcionalidad. Regla de tres
6.-¿Cómo resolver problemas por regla de tres?
Para resolver un problema de proporcionalidad debes seguir los siguientes pasos:
1º.- Determinar si la proporcionalidad entre las magnitudes es directa o inversa
2º.- Plantear la regla de tres señalando si es directa o inversa. Expresa las cantidades de
cada magnitud en la misma unidad.
3º.- Escribir la pareja de fracciones equivalentes.
4º.- Hallar x
Fíjate en los siguientes ejemplos.
Para realizar cierto trabajo 10 obreros emplean 8
horas. ¿Cuánto les hubiera costado a 16
obreros?
(Es inversa porque a doble de obreros mitad de
tiempo)
Nº obreros
Tiempo (h)
10 --------- 8
16 --------- x
10

16
Si por 12 camisetas pago 96 €, ¿cuánto pagaré
por 57 de esas camisetas?
( Es directa porque a doble de camisetas doble
dinero)
Camisetas Dinero(€)
12 ------- 96
57 -------- x
x
8
12
57
D
I
x 
10 . 8
16
Solución
5 horas
 5
x 

96
x
57 . 96
12
Solución
456 €
 456
Proporcionalidad. Regla de tres
GRAFICO
Con la tabla anterior divide cada par de
valores (x e y)
Proporcionalidad. Regla de tres
Cantidad de latas (x)
Costo en dinero (y)
Cuociente y/x=c
Constante de
proporcionalidad (c)
1
350
350/1
350
2
700
700/2
350
3
1050
1050/3
350
4
1400
1400/4
350
5
1750
1750/5
350
6
2100
2100/6
350
7
2450
2450/7
350
8
2800
2800/8
350
9
3150
3150/9
350
10
3500
3500/10
350
Proporcionalidad. Regla de tres
ALGUNOS EJERCICIOS PARA PRACTICAR
•
Tres metros de género valen $ 800. ¿Cuánto
valen ocho metros del mismo género?
•
Una moto recorre 120 metros en 4
segundos. ¿Qué distancia recorre en 52
segundos, si mantiene su rapidez constante?
Proporcionalidad. Regla de tres
•
Seis operarios cavan en 1 día una zanja de 80
metros de longitud. ¿Cuántos metros
cavarán, en un día, 42 operarios trabajando
las mismas condiciones?
•
Teresa trabajó 3 horas y ganó $ 8.100. A esa
razón, ¿cuánto tiempo le tomará ganar $
27.000?
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5 Proporcionalidad-regla3