La distribución normal
Walter López Moreno, MBA, cDBA
Centro de Competencias de la
Comunicación
Universidad de Puerto Rico en Humacao
©Todos los derechos son reservados
2006-07
Tabla de contenido
Introducción
Objetivo general
Objetivos específicos
Instrucciones de cómo usar la presentación
Glosario de términos
La distribución normal
Utilidad
La función
Propiedades de la distribución normal
Teorema del límite central
Tabla de contenido
La distribución normal estándar
Características
Ejemplos y Ejercicios
Área bajo la curva normal estándar
Ejercicios de prueba
Referencias
Introducción
Una de las herramientas de mayor uso en las empresas es la utilización
de la curva normal para describir situaciones donde podemos recopilar
datos. Esto nos permite tomar decisiones que vayan a la par con las
metas y objetivos de la organización.
En este módulo se describe la relación de la Distribución normal con la
Distribución normal estándar. Se utilizan ejemplos y ejercicios donde se
enseña sobre la determinación de probabilidades y sus aplicaciones.
Este módulo va dirigido a todos/as los/as estudiantes de Administración
de Empresas en sus distintas concentraciones.
Objetivos de la presentación
Objetivo general
Esperamos que cuando termines esta presentación puedas
utilizar la distribución normal para obtener probabilidades,
intervalos y cantidades específicas.
Objetivos específicos
Además, esperamos que puedas:
 Identificar las propiedades de una distribución normal.
 Encontrar el área bajo una distribución normal estándar.
 Interpretar áreas bajo la curva normal de acuerdo al problema.
Instrucciones de cómo usar la
presentación
La presentación se inicia con material teórico de los conceptos
generales.
Luego de leer el material que sirve de introducción, podrás
establecer enlaces que demuestran de forma dinámica los
conceptos teóricos.
Te recomiendo que tengas acceso a Internet mientras trabajas
la presentación.
Siempre que se te presente la siguiente figura:
puedes presionarla para navegar adecuadamente a través de
toda la presentación.
Glosario de términos
 Asintótica – Línea que se acerca indefinidamente a un
eje sin llegar a encontrarlo.
 Aleatorias – Que son al azar.
 Tipificada – Que tiene un arreglo uniforme o estándar.
 Morfológicos – Aspecto general de las formas y
dimensiones de un cuerpo.
La distribución normal
La distribución normal fue reconocida
por primera vez por el francés
Abraham de Moivre (1667-1754).
Posteriormente, Carl Friedrich Gauss (1777-1855)
realizó estudios más a fondo
donde formula la ecuación de la curva
conocida comúnmente, como la
“Campana de Gauss".
Utilidad
 Se utiliza muy a menudo porque hay muchas
variables asociadas a fenómenos naturales
que siguen el modelo de la norma.
 Caracteres morfológicos de individuos
(personas, animales, plantas,...) de una
especie, por ejemplo: tallas, pesos, diámetros,
distancias, perímetros,...
 Caracteres fisiológicos, por ejemplo: efecto de
una misma dosis de un fármaco, o de una
misma cantidad de abono
Utilidad
 Caracteres sociológicos, por ejemplo:
consumo de cierto producto por un mismo
grupo de individuos, puntuaciones de examen
 Caracteres psicológicos, por ejemplo: cociente
intelectual, grado de adaptación a un medio,...
 Errores cometidos al medir ciertas magnitudes
 Valores estadísticos muéstrales como la
media, varianza y moda
La función de distribución
 Puede tomar cualquier valor (- , + )
 Hay más probabilidad para los valores cercanos a la
media m
 Conforme nos separamos de m , la probabilidad va
decreciendo de igual forma a derecha e izquierda
(es simétrica).
 Conforme nos separamos de m , la probabilidad va
decreciendo dependiendo la desviación típica s.
La función F(x)
F(x) es el área sombreada
de la siguiente gráfica
Propiedades de la
distribución normal:
El área bajo la curva aproximado del promedio μ a más o
menos una desviación estándar (1σ) es de 0.68, a más o
menos 2σ es de .0 95 y a más o menos 3σ es de 0.99.
(Las propiedades continuan en la próxima lámina)
Propiedades de la
distribución normal:
La forma de la campana de Gauss depende de los parámetros μ y σ.
Tiene una única moda que coincide con su media y su mediana.
La curva normal es asintótica al eje de X.
Es simétrica con respecto a su media μ . Según esto, para este tipo de
variables existe una probabilidad de un 50% de observar un dato mayor
que la media, y un 50% de observar un dato menor.
La desviación estándar (σ )
Compruebe el cambio de la distribución variando la desviación estándar
Nota – cuando llegue al
enlance utilice la gráfica #3
Tipificación de la variable
La media μ
Compruebe el cambio de la distribución variando la media
Nota – cuando llegue al enlance
utilice la gráfica #2
Familiarizándonos con la normal
En resumen
 Podemos concluir que hay una familia de distribuciones con
una forma común, diferenciadas por los valores de su media
y su varianza.
 La desviación estándar (σ ) determina el grado de
apuntamiento de la curva. Cuanto mayor sea el valor de σ,
más se dispersarán los datos en torno a la media y la curva
será más plana.
 La media indica la posición de la campana, de modo que
para diferentes valores de μ la gráfica es desplazada a lo
largo del eje horizontal.
 De entre todas ellas, la más utilizada es la distribución
normal estándar, que corresponde a una distribución de
media 0 y varianza 1.
La distribución normal
estándar
 Z se la denomina variable tipificada de X, y a
la curva de su función de densidad se le
conoce como la curva normal estándar.
 Es una distribución normal con promedio 0 y
una desviación estándar de 1.
 Todas las variables normalmente distribuidas
se pueden transformar a la distribución normal
estándar utilizando la fórmula para calcular el
valor Z correspondiente.
La función F(z)
 En la siguiente gráfica vemos la
representación gráfica de la función de Z.
En resumen
 Podemos decir que el valor de Z es la
cantidad de desviaciones estándar a la
que está distanciada la variable X del
promedio.
 A la variable Z se la denomina variable
tipificada de X, y a la curva de su función
de densidad se le conoce como la curva
normal estándar
Características de la
distribución normal estándar.
 No depende de ningún parámetro.
 Su media es 0, su varianza es 1 y su
desviación estándar es 1.
 La curva f(x) es simétrica respecto del eje
de Y
 Tiene un máximo en el eje de Y.
 Tiene dos puntos de inflexión en z=1 y z=-1
Teorema del Límite Central
Nos indica que, bajo condiciones muy
generales, según aumenta la cantidad de
datos, la distribución de la suma de variables
aleatorias tendera a seguir hacia una
distribución normal.
En otras palabras el Teorema del Límite
Central garantiza una distribución normal
cuando el tamaño de la muestra es
suficientemente grande.
Por ejemplo
En el siguiente histograma podemos observar la distribución de
frecuencias por peso de acuerdo a la edad. De acuerdo a este
teorema según aumenten la cantidad de dato se podrá trazar
una curva que tome cada vez más formación en forma campana.
Área bajo la curva normal estándar
El área bajo la curva normal estándar es útil
para asignar probabilidades de ocurrencia de
la variable X.
Debemos tomar en cuenta que el área total
bajo la curva es igual a 1. Y que, por ser una
gráfica simétrica, cada mitad tiene un área de
0.5.
Obtenga mas información de cómo
asignar probabilidades utilizando las
Tablas.
Pasos para determinar el área bajo la curva
normal estándar
 Paso 1 - Interpretar gráficamente el área de
interés.
 Paso 2 - Determinar el valor Z
 Paso 3 - Buscar en la tabla de probabilidades.
 Paso 4 - Hacer la suma o resta de áreas para
encontrar la probabilidad deseada
Ejemplos y ejercicios
Supongamos que sabemos que el peso de
los/as estudiantes universitarios/as sigue una
distribución aproximadamente normal, con
una media de 140 libras y una desviación
estándar de 20 libras.
Ejemplo 1
Determine la probabilidad de que una persona tenga un
peso menor o igual a 150 libras
Paso 1 Interpretar gráficamente el área de interés.
Gráficamente si decimos que a=150 libras, el área
de la curva que nos interesa es la siguiente:
Ejemplo 1
Determine la probabilidad de que una persona tenga un
peso menor o igual a 150 libras
Paso 2 - Determinar el valor Z:
Z 
X m
s

150  140
 0 . 50
20
Paso 3 - Buscar en la tabla de probabilidades.
Buscamos en la Tabla 1 el valor Z=0.50 y obtenemos el área de 0.6915
Compruebe de forma
interactiva el
valor Z
Paso 4 - Hacer la suma o resta de áreas para encontrar la probabilidad
deseada.
En este ejemplo no es necesario realizar ningún computo adicional ya que
el área es la misma que se representa en la Tabla 1
Ejemplo 2
Si deseamos la probabilidad de que una persona, elegida al
azar, tenga un peso mayor o igual a 150 libras
Paso 1 Interpretar gráficamente el área de interés.
Gráficamente si decimos que a=150 libras, el área de la curva que nos interesa es
la siguiente:
Ejemplo 2
Si deseamos la probabilidad de que una persona, elegida al
azar, tenga un peso mayor o igual a 150 libras
Paso 2 - Determinar el valor Z:
Z 
X m
s

150  140
 0 . 50
20
Paso 3 - Buscar en la tabla de probabilidades.
Buscamos en la Tabla 1 el valor Z=0.50 y obtenemos el área de 0.6915.
Paso 4 - Hacer la suma o resta de áreas para encontrar la probabilidad
deseada.
En este ejemplo el área de 0.6915 no representa el área que nos interesa
sino la contraria. En este caso debemos restarle 1 a la probabilidad
encontrada.
1 - .6915 = 0.3085
Ejemplo 3
Determine la probabilidad de que una persona, elegida al
azar, tenga un peso menor o igual a 115 libras
Paso 1 Interpretar gráficamente el área de interés.
Gráficamente si decimos que a=115 libras, el área de la curva que nos interesa es
la siguiente:
Ejemplo 3
Determine la probabilidad de que una persona, elegida al
azar, tenga un peso menor o igual a 115 libras
Paso 2 - Determinar el valor Z:
Z 
X m
s

115  140
  1 . 25
20
Paso 3 - Buscar en la tabla de probabilidades.
Buscamos en la Tabla 1 el valor Z=-1.25 y obtenemos el área de 0.8944.
Paso 4 - Hacer la suma o resta de áreas para encontrar la probabilidad
deseada.
En este ejemplo el área de 0.8944 no representa el área que nos interesa
sino la contraria. En este caso debemos restarle 1 a la probabilidad
encontrada.
1 - .8944 = 0.2212
Ejemplo 4
Si deseamos la probabilidad de que una persona, elegida
al azar, tenga un peso entre 115 y 150 libras.
Paso 1 Interpretar gráficamente el área de interés.
Gráficamente si decimos que a=115 libras y b=150 libras, el área de la curva que
nos interesa es la siguiente
Ejemplo 4
Si deseamos la probabilidad de que una persona, elegida al
azar, tenga un peso entre 115 y 150 libras.
Paso 2 - Determinar el valor Z
Cuando X=115
Cuando X=150
Z 
Z 
X m
s
X m
s

115  140
  1 . 25
20

150  140
 0 . 50
20
Paso 3 - Buscar en la tabla de probabilidades.
Buscamos en la Tabla 1 el valor Z=-1.25 y obtenemos el área de 0.8944.
Buscamos en la Tabla 1 el valor Z=0.50 y obtenemos el área de 0.6915
Ejemplo 4
Si deseamos la probabilidad de que una persona, elegida al
azar, tenga un peso entre 115 y 150 libras.
Paso 4 - Hacer la suma o resta de áreas para encontrar la
probabilidad deseada.
El área de 0.8944 se le resta la diferencia de 1-.6915.
0.8944 – (1-.6915) = .5859
Ejemplo 5
Determine la probabilidad de que una persona tenga un peso
menor o igual a 150libras
Paso 1 Interpretar gráficamente el área de interés.
Gráficamente si decimos que a=150 libras y b= 160 libras, el área
de la curva que nos interesa es la siguiente:
Ejemplo 5
Determine la probabilidad de que una persona tenga un
peso menor o igual a 150libras
Paso 2 - Determinar el valor Z
Como vimos en el ejemplo 1 y 2 E valor Z cuando X=150 es 0.50.
Para X=160 el valor Z será:
Z 
X m
s

160  140
 1 .0
20
Paso 3 - Buscar en la tabla de probabilidades.
Buscamos en la Tabla 1 el valor Z=0.50 y obtenemos el área de 0.6915.
Cuando Z = 1.0 el área es de 0.8413.
Ejemplo 5
Determine la probabilidad de que una persona tenga un
peso menor o igual a 150libras
Paso 4 - Hacer la suma o resta de áreas para encontrar la
probabilidad deseada.
En este ejemplo se resta el área mayor menos el área menor
como se interpreto en el paso 1.
0.8413 - .6915 = 0.1498
Ejemplo 6
Determine la probabilidad de elegir a una persona que pese
entre 115 y 130 libras.
Paso 1 Interpretar gráficamente el área de interés.
Gráficamente si decimos que a=115 libras y b= 130 libras, el
área de la curva que nos interesa es la siguiente:
Ejemplo 6
Determine la probabilidad de elegir a una persona que pese
entre 115 y 130 libras.
Paso 2 - Determinar el valor Z
Cuando X=115
para X=130
Z 
Z 
X m
s
X m
s

115  140
  1 . 25
20

130  140
  0 . 50
20
Paso 3 - Buscar en la tabla de probabilidades.
Buscamos en la Tabla 1 el valor Z=-1.25 y obtenemos el área de (10.8944.)=0.1056
Para Z = -.050 el área es de (1-.6915)=.3085
Ejemplo 6
Determine la probabilidad de elegir a una persona que pese
entre 115 y 130 libras.
Paso 4 - Hacer la suma o resta de áreas para encontrar la
probabilidad deseada.
En este ejemplo el área será la diferencia de .3085-.1056=.2029.
Ejercicios de prueba
Trabaje los ejercicios de este enlace utilizando la tabla de
probabilidades y luego compruebe los resultados
interaccionando con las gráficas.
Para el primer ejercicio observe la gráfica, manipule los
parámetros m (m) y s (s) y luego redacte una
descripción detallada sobre las características de una
curva normal con media de 0 y desviación estándar de 1.
Referencias
Anderson, S. (2006). Estadísticas para administración y
economía, Thomson,
Newbold, P. (2003). Statistics for Business And Economics,
Prentice Hall.
Altman, D., Bland, J. (1995). Statistics Notes: The Normal
Distribution. BMJ, ; 310: 298-298.
Bluman Allan, G. (2007). Statistics, Mc Graw Hill,
Pértega, D., Pita F. (2001) Representación gráfica en el análisis
de datos. Cad Aten Primaria; 8: 112-117.
Referencias
 http://descartes.cnice.mecd.es/index.html
 http://www.aulafacil.com/CursoEstadistica/Lecc-34est.htm
 http://www.ruf.rice.edu/~lane/stat_sim/sampling_dist/ind
ex.html
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