La Distribución Normal
Walter López Moreno, DBA
Módulo Instruccional Preparado para el
©Todos los derechos son reservados
2013
Tabla de contenido
Introducción
Objetivo general
Objetivos específicos
Instrucciones de cómo usar la presentación
Glosario de Términos
La Distribución Normal
Utilidad
La Función
Propiedades de la Distribución Normal
Teorema del Límite Central
La Distribución Normal Estándar
Características
Ejemplos y Ejercicios
Área Bajo la Curva Normal Estándar
Ejercicios de Prueba
Referencias
Introducción
Una de las herramientas de mayor uso en las empresas es la utilización
de la curva normal para describir situaciones donde podemos recopilar
datos. Esto nos permite tomar decisiones que vayan a la par con las
metas y objetivos de la organización.
En este módulo se describe la relación de la Distribución Normal con la
Distribución Normal Estándar. Se utilizan ejemplos y ejercicios donde se
enseña sobre la determinación de probabilidades y sus aplicaciones.
Este módulo va dirigido a todos los estudiantes de Administración de
Empresas en sus distintas concentraciones.
Objetivos que persigue la presentación
Objetivo General
Esperamos que cuando termines esta presentación puedas
utilizar la distribución normal para obtener probabilidades,
intervalos y cantidades especificas.
Objetivos Específicos
Ademas esperamos aque puedas:
 Identificar las propiedades de una distribución normal.
 Encontrar el área bajo una distribución normal estándar.
 Interpretar áreas bajo la curva normal de acuerdo al problema.
Glosario de Términos
 Asintótica – Línea que se acerca indefinidamente a un
eje sin llegar a encontrarlo.
 Aleatorias – Que son al azar.
 Tipificada – Que tiene un arreglo uniforme o estándar.
 Morfológicos – Aspecto general de las formas y
dimensiones de un cuerpo.
La Distribución Normal
La distribución normal fue reconocida
por primera vez por el francés
Abraham de Moivre (1667-1754).
Posteriormente, Carl Friedrich Gauss (1777-1855)
realizó estudios más profundos
formulando la ecuación de la curva
conocida comúnmente, como la
“Campana de Gauss".
Utilidad
 Se utiliza muy a menudo porque hay muchas variables
asociadas a fenómenos naturales que siguen el
modelo de la normal.
 Caracteres morfológicos de individuos (personas,
animales, plantas,...) de una especie, por ejemplo:
tallas, pesos, diámetros, distancias, perímetros,...
 Caracteres fisiológicos, por ejemplo: efecto de una
misma dosis de un fármaco, o de una misma cantidad
de abono. (continua en el próximo slide)
(La utilidad continua en la próxima lámina)
Utilidad
 Caracteres sociológicos, por ejemplo:
consumo de cierto producto por un mismo
grupo de individuos, puntuaciones de examen.
 Caracteres psicológicos, por ejemplo: cociente
intelectual, grado de adaptación a un medio,...
 Errores cometidos al medir ciertas
magnitudes.
 Valores estadísticos muéstrales como la
media, varianza y moda.
La Función de Distribución
 Puede tomar cualquier valor (- , + )
 Hay mas probabilidad para los valores cercanos a la
media m
 Conforme nos separamos de m , la probabilidad va
decreciendo de igual forma a derecha e izquierda
(es simétrica).
 Conforme nos separamos de m , la probabilidad va
decreciendo dependiendo la desviación típica s.
La Función F(x)
F(x) es el área sombreada
de la siguiente gráfica
Propiedades de la
distribución normal:
El área bajo la curva aproximado del promedio μ a mas o
menos una desviación estándar (1σ) es de 0.68, a mas o
menos 2σ es de .0 95 y a mas o menos 3σ es de 0.99.
(Las propiedades continuan en la próxima lámina)
Propiedades de la
distribución normal:
La forma de la campana de Gauss depende de los parámetros μ y σ los
que se pueden designar utilizando N(μ,σ).
Tiene una única moda, que coincide con su media y su mediana.
La curva normal es asintótica al eje de X.
Es simétrica con respecto a su media μ . Según esto, para este tipo de
variables existe una probabilidad de un 50% de observar un dato mayor
que la media, y un 50% de observar un dato menor.
En Resumen
 Podemos concluir que hay una familia de distribuciones con
una forma común, diferenciadas por los valores de su media
y su varianza.
 La desviación estándar (σ ) determina el grado de
apuntamiento de la curva. Cuanto mayor sea el valor de σ,
más se dispersarán los datos en torno a la media y la curva
será más plana.
 La media indica la posición de la campana, de modo que
para diferentes valores de μ la gráfica es desplazada a lo
largo del eje horizontal.
 De entre todas ellas, la más utilizada es la distribución
normal estándar.
La Distribución Normal
Estándar
 Z se la denomina variable tipificada de X, y a
la curva de su función de densidad se le
conoce como la curva normal estándar.
 Es una distribución normal con promedio 0 y
una desviación estándar de 1. Esto es N(0,1).
 Todas las variables normalmente distribuidas
se pueden transformar a la distribución normal
estándar utilizando la fórmula para calcular el
valor Z correspondiente.
La Función F(z)
En la siguiente gráfica vemos la
representación de la función de Z.
En Resumen
 Podemos decir que el valor de Z es la
cantidad de desviaciones estándar a la
que esta distanciada la variable X del
promedio.
 A la variable Z se la denomina variable
tipificada de X, y a la curva de su función
de densidad se le conoce como la curva
normal estándar
Características de la
Distribución Normal Estándar.
 No depende de ningún parámetro.
 Su media es 0, su varianza es 1 y su
desviación estándar es 1.
 La curva f(x) es simétrica respecto del
eje deY
 Tiene un máximo en el eje de Y.
 Tiene dos puntos de inflexión en z=1
y z=-1
Teorema del Límite Central
Nos indica que, bajo condiciones muy generales,
según aumenta la cantidad de datos, la
distribución de la suma de variables aleatorias
tenderá hacia una distribución normal.
En otras palabras el Teorema del Límite Central
garantiza una distribución normal cuando el
tamaño de la muestra n es suficientemente
grande.
Por ejemplo
En el siguiente histograma podemos observar la distribución de
frecuencias por peso en 15 intervalos. De acuerdo a este
teorema según aumenta la cantidad de datos, la forma de
campana se hará mas evidente.
Area Bajo la Curva Normal Estándar
El área bajo la curva normal estándar es útil
para asignar probabilidades de ocurrencia de
la variable X.
Debemos tomar en cuenta que el área total
bajo la curva es igual a 1. Y que por ser una
gráfica simétrica cada mitad tiene un área de
0.5.
Pasos para determinar el área bajo la curva
normal estándar
 Paso 1 - Interpretar gráficamente el área de
interés.
 Paso 2 - Determinar el valor Z
 Paso 3 - Buscar en la tabla de probabilidades.
 Paso 4 - Hacer la suma o resta de áreas para
encontrar la probabilidad deseada
Ejemplos y Ejercicios
Supongamos que sabemos que el peso del
llenado de un producto sigue una distribución
aproximadamente normal con N(140,20).
Esto es con una media de 140 libras y una
desviación estándar de 20 libras
Ejemplo 1
Determine la probabilidad de que un llenado tenga un peso
menor o igual a 150 libras
Paso 1 Interpretar gráficamente el área de interés.
Gráficamente si decimos que a=150 libras, el área
de la curva que nos interesa es la siguiente:
Ejemplo 1
Determine la probabilidad de que un llenado tenga un peso
menor o igual a 150 libras
Paso 2 - Determinar el valor Z:
Z
X m
s
150  140

 0.50
20
Paso 3 - Buscar en la tabla de probabilidades.
Buscamos en la Tabla 1 el valor Z=0.50 y obtenemos el área de 0.6915
Compruebe de forma
interactiva el
valor Z
Paso 4 - Hacer la suma o resta de áreas para encontrar la probabilidad
deseada.
En este ejemplo no es necesario realizar ningún computo adicional ya que
el área es la misma que se representa en la Tabla 1
Ejemplo 2
Si deseamos la probabilidad de que un llenado, elegido al
azar, tenga un peso mayor o igual a 150 libras
Paso 1 Interpretar gráficamente el área de interés.
Gráficamente si decimos que a=150 libras, el área de la curva que nos interesa es
la siguiente:
Ejemplo 2
Si deseamos la probabilidad de que un llenado, elegido al
azar, tenga un peso mayor o igual a 150 libras
Paso 2 - Determinar el valor Z:
Z
X m
s

150  140
 0.50
20
Paso 3 - Buscar en la tabla de probabilidades.
Buscamos en la Tabla 1 el valor Z=0.50 y obtenemos el área de 0.6915.
Paso 4 - Hacer la suma o resta de áreas para encontrar la probabilidad
deseada.
En este ejemplo el área de 0.6915 no representa el área que nos interesa
sino la contraria. En este caso debemos restarle 1 a la probabilidad
encontrada.
1 - .6915 = 0.3085
Ejemplo 3
Determine la probabilidad de que un llenado, elegido al azar,
tenga un peso menor o igual a 115 libras
Paso 1 Interpretar gráficamente el área de interés.
Gráficamente si decimos que a=115 libras, el área de la curva que nos interesa es
la siguiente:
Ejemplo 3
Determine la probabilidad de que un llenado, elegido al azar,
tenga un peso menor o igual a 115 libras
Paso 2 - Determinar el valor Z:
Z
X m
s
115  140

 1.25
20
Paso 3 - Buscar en la tabla de probabilidades.
Buscamos en la Tabla 1 el valor Z=-1.25 y obtenemos el área de 0.8944.
Paso 4 - Hacer la suma o resta de áreas para encontrar la probabilidad
deseada.
En este ejemplo el área de 0.8944 no representa el área que nos interesa
sino la contraria. En este caso debemos restarle 1 a la probabilidad
encontrada.
1 - .8944 = 0.2212
Ejemplo 4
Si deseamos la probabilidad de que un llenado, elegido al
azar, tenga un peso entre 115 y 150 libras.
Paso 1 Interpretar gráficamente el área de interés.
Gráficamente si decimos que a=115 libras y b=150 libras, el área de la curva
que nos interesa es la siguiente
Ejemplo 4
Si deseamos la probabilidad de que un llenado, elegido al
azar, tenga un peso entre 115 y 150 libras.
Paso 2 - Determinar el valor Z
Cuando X=115
Z
Cuando X=150
Z
X m
s
X m
s

115  140
 1.25
20

150  140
 0.50
20
Paso 3 - Buscar en la tabla de probabilidades.
Buscamos en la Tabla 1 el valor Z=-1.25 y obtenemos el área de 0.8944.
Buscamos en la Tabla 1 el valor Z=0.50 y obtenemos el área de 0.6915
Ejemplo 4
Si deseamos la probabilidad de que un llenado, elegido al
azar, tenga un peso entre 115 y 150 libras.
Paso 4 - Hacer la suma o resta de áreas para encontrar la
probabilidad deseada.
El área de 0.6915 se le resta la diferencia de 1-.8944:
0.6915 – (1-.8944) = .5859
Ejemplo 5
Determine la probabilidad de que un llenado tenga un peso
menor o igual a 150libras
Paso 1 Interpretar gráficamente el área de interés.
Gráficamente si decimos que a=150 libras y b= 160 libras, el área
de la curva que nos interesa es la siguiente:
Ejemplo 5
Determine la probabilidad de que un llenado tenga un peso
menor o igual a 150libras
Paso 2 - Determinar el valor Z
Como vimos en el ejemplo 1 y 2 E valor Z cuando X=150 es 0.50.
Para X=160 el valor Z será:
Z
X m
s

160  140
 1.0
20
Paso 3 - Buscar en la tabla de probabilidades.
Buscamos en la Tabla 1 el valor Z=0.50 y obtenemos el área de 0.6915.
Cuando Z = 1.0 el área es de 0.8413.
Ejemplo 5
Determine la probabilidad de que un llenado tenga un peso
menor o igual a 150libras
Paso 4 - Hacer la suma o resta de áreas para encontrar la probabilidad
deseada.
En este ejemplo se resta el área mayor menos el área menor como se
interpreto en el paso 1.
0.8413 - .6915 = 0.1498
Ejemplo 6
Determine la probabilidad de elegir a un llenado que pese
entre 115 y 130 libras.
Paso 1 Interpretar gráficamente el área de interés.
Gráficamente si decimos que a=115 libras y b= 130 libras, el
área de la curva que nos interesa es la siguiente:
Ejemplo 6
Determine la probabilidad de elegir a un llenado que pese
entre 115 y 130 libras.
Paso 2 - Determinar el valor Z
Cuando X=115
Z
para X=130
Z
X m
s
X m
s

115  140
 1.25
20

130  140
 0.50
20
Paso 3 - Buscar en la tabla de probabilidades.
Buscamos en la Tabla 1 el valor Z=-1.25 y obtenemos el área de
(1-0.8944.)=0.1056
Para Z = -.050 el área es de (1-.6915)=.3085
Ejemplo 6
Determine la probabilidad de elegir a un llenado que pese
entre 115 y 130 libras.
Paso 4 - Hacer la suma o resta de áreas para encontrar la
probabilidad deseada.
En este ejemplo el área será la diferencia de .3085-.1056=.2029.
Referencias
Anderson, Sweeney, Estadísticas para administración y economía, 8tva edición, Thomson, México 2006
Newbold P., Statistics for Business And Economics, Prentice Hall, 5ta edición,New Jersey, 2003.
Altman D., Bland J. Statistics notes: The normal distribution. Londres Inglaterra, BMJ 1995; 310: 298-298.
Bluman, Allan G. Statistics,6ta edición, Mc Graw Hil,New York, 2007.
Pértega D, Pita F., Representación gráfica en el análisis de datos. Cad Aten Primaria España,2001; 8: 112117.
http://descartes.cnice.mecd.es/index.html
http://www.aulafacil.com/CursoEstadistica/Lecc-34-est.htm
http://www.ruf.rice.edu/~lane/stat_sim/sampling_dist/index.html
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Presentación sobre la distribución norma