Departamento de Control, División de Ingeniería Eléctrica
Facultad de Ingeniería UNAM
Estabilidad de sistemas
dinámicos
México D.F. a 20 de Septiembre de 2006
Estabilidad de sistemas dinámicos
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Definición Formal (matemática) de Estabilidad
Se establecerá la estabilidad en el sentido de Lyapunov. Considérese un
sistema representado por la ecuación diferencial
x  f ( x )
(1)
suponga que x (eq )
es un punto de equilibrio de (1). el punto de equilibrio
puede ser cero o ser llevado a un valor cero (como punto de referencia).
El punto de equilibrio x (eq ) es
f ( x ( eq ))  0 .
Estable si, para cada   0 existe un    ( )  0 , tal que
x (0)   
x (t )   ,  t  0
Es Inestable si no es estable
Es Asintóticamente Estable si es estable y  puede ser elegida tal que
x ( 0 )    lim x ( t )  0
t
Estabilidad de sistemas dinámicos
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Por ejemplo en las ecuaciones del péndulo simple:
0
d
dt
0
d


g
dt
l
sen  
k
m

Dos puntos de equilibrio:
1
2
  0,   0
   ,  0
Péndulo simple 1
Péndulo simple 2
Estable
Inestable
 
d
dt

Estabilidad de sistemas dinámicos
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» La estabilidad, desde el punto de vista de control es quizá la característica
más importante de los sistemas dinámicos.
» La estabilidad de un sistema generalmente es analizada en puntos de
equilibrio, aunque puede no ser así.
» El concepto de estabilidad que más se usa es el de estabilidad absoluta,
dice si el sistema es estable o no.
» También se usan los conceptos de estabilidad relativa y error en estado
estacionario.
» La Estabilidad relativa nos indica que tan estable es un sistema en relación
a otro o en relación a algún cambio dentro del mismo.
» El error en estado estacionario es la diferencia entre el valor deseado y el
valor obtenido una vez que el sistema tenga un estado estable. Cabe
destacar que un sistema estable puede tener error en estado estable.
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Estabilidad Absoluta
Es la característica más importante de los sistemas de control, se refiere a
que si el sistema es estable o inestable.
Definicion.Un sistema de control es estable si ante cualquier entrada
acotada, el sistema posee una salida acotada.
La condición de estabilidad se analiza sobre puntos de equilibrio, un
sistema de control se encuentra en un punto de equilibrio si la salida
permanece en el mismo estado en ausencia de cualquier perturbación o
entrada.
Los sistemas tienen puntos de equilibrio estables e inestables. Para
encontrar los puntos de equilibrio en un modelo de un sistema, se
igualan las dinámicas a cero y se despejan las variables de interés.
La estabilidad es una característica propia de cada sistema y no
depende de las entradas
Estabilidad de sistemas dinámicos
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Análisis de Estabilidad en Laplace
La estabilidad de un sistema se puede determinar por la ubicación de los
polos de lazo cerrado en el plano s. Si alguno de los polos de lazo cerrado
de un sistema se encuentra en el semiplano derecho el sistema es
inestable.
Plano s
Región
estable
Región
inestable
Región
estable
Región
inestable
Estabilidad de sistemas dinámicos
Plano s
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Estabilidad de sistemas dinámicos
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Comentarios:
1) Un sistema de lazo abierto también tiene características de estabilidad.
2) Un sistema de lazo abierto no puede cambiar sus características de
estabilidad a menos que se cambien sus parámetros, se agregue otro
elemento dinámico o usando realimentación
3) Un sistema inestable puede estabilizarse usando realimentación.
4) Un sistema
realimentación.
estable
puede
hacerse
inestable
con
una
cierta
Estabilidad de sistemas dinámicos
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Criterio de Estabilidad de Routh
Un sistema realimentado es estable si todos los polos de lazo cerrado se
ubican en el semiplano izquierdo del plano s. Esto es lo mismo a decir que
todas las raíces de la ecuación característica ( q ( s ) ) tienen parte real negativa
C (s)
R (s)

b0 s
m
n
 b1 s
m 1
a 0 s  a1 s
n 1
   b m 1 s  b m
   a n 1 s  a n

p(s)
q(s)
cuando no se tiene forma a encontrar las raíces de la ecuación
característica…
El criterio de estabilidad de Routh permite determinar si hay raíces con
parte real positiva (inestable) sin necesidad de resolver el polinomio.
El criterio de estabilidad de Routh se basa en el ordenamiento de los
coeficientes de la ecuación característica
Estabilidad de sistemas dinámicos
n
q ( s )  a 0 s  a1 s
n 1
 a2s
n2
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   a n 1 s  a n  0
en el siguiente arreglo
s
s
s
s
n
a0
a2
a4
a6



n 1
a1
a3
a5
a7



n2
b1
b2
b3
b4



c1
a3
a5
a7



n3



s
0






h1
…
Estabilidad de sistemas dinámicos
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donde
b1 
c1 
d1 
a1 a 2  a 0 a 3
a1
b1 a 3  a1b 2
b1
c1b 2  b1 c 2
c1
b2 
c2 
d2 
a1 a 4  a 0 a 5
a1
b1 a 5  a1b3
b1
c1b 3  b1 c 3
b1 
c3 
a1 a 6  a 0 a 7
a1
b1 a 7  a1b3
b1




c1
El criterio de Routh establece que el número de raíces de q ( s ) con partes
reales positivas es igual al número de cambios de signo de la primera
columna del arreglo.
Estabilidad de sistemas dinámicos
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Ejemplo 1
Sea el siguiente polinomio
3
2
a 0 s  a1 s  a 2 s  a 3  0
el arreglo es
s
3
s
2
a0
a2
a1
a3
a1 a 2  a 0 a 3
s
a1
s
0
a3
La condiciones para que todas las raíces tengan parte reales negativas son:
a 0 , a1 , a 2 , a 3  0
a1 a 2  a 0 a 3
Estabilidad de sistemas dinámicos
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Ejemplo 2
Sea el siguiente polinomio
4
3
2
s  2 s  3s  4 s  5  0
el arreglo es
s
4
s
s
1
3
5
3
2
4
0
2
1
5
0
6
0
s
s
0
5
Hay un dos cambios de signo en la primera columna por lo tanto existen dos
raíces con partes reales positivas.
Estabilidad de sistemas dinámicos
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Casos especiales
Si un término es cualquier columna es cero y los demás términos no son
cero. El elemento cero puede reemplazarse por un número positivo  y
continuar con el arreglo.
Ejemplo 2
Sea el siguiente polinomio
el arreglo es
5
4
3
s
5
1
2
11
s
4
2
4
10
s
3

6
0
s
2
c1
10
0
d1
0
s
0
2
s  2 s  2 s  4 s  11 s  10  0
c1 
d1 
4   12


6 c1  10 

 12

 6
s
10
Hay un dos cambios de signo en la primera columna por lo tanto existen dos
raíces con partes reales positivas.
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Análisis de error en estado estacionario