Cálculo diferencial e integral de una variable
Clase 14.1
Área en
coordenadas
polares
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Cálculo diferencial e integral de una variable
Introducción:
En esta sección deduciremos una expresión para
calcular el área de una región determinada por una
ecuación en coordenadas polares. Para ello recordemos
el área de un sector circular de radio r y ángulo 
A 
r
1
2
r 
2
1

Donde r es el radio y  es el ángulo central en radianes.
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Cálculo diferencial e integral de una variable
Sea R la región que vemos en la figura, limitada por la
curva de ecuación r = f() y los rayos  =a y =b, donde f
es positiva y continua.
r = f()
=b
R
=a
b
O
a
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Cálculo diferencial e integral de una variable
Dividimos la región R en n regiones mas pequeñas
con ángulo central .
r = f()
=b

=a
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Cálculo diferencial e integral de una variable
Por lo tanto, el área de la i-ésima región se aproxima
como un sector circular de radio f() y ángulo .
Así, de la fórmula 1 tendremos:
 Ai 
1
2
 f ( ) 
2

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Cálculo diferencial e integral de una variable
Una aproximación al área total de R estará dada por la
suma de áreas de sectores circulares...
r = f()
=b
=a
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Cálculo diferencial e integral de una variable
Es decir....
n
A
  f ( ) 
2
1
2

i 1
Según se observa en la figura anterior, la aproximación
mejora cuando n. Ya que estas sumas son Sumas de
Riemann, resulta...
n
A  lím
n 
  f ( ) 
1
2
i 1
2
 
  f ( ) 
b
a
1
2
2
d
2
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Cálculo diferencial e integral de una variable
Con frecuencia esta fórmula se escribe...
A

b
a
1
2
r d
2
3
Observe la similitud entre las fórmulas 1 y 3.
NOTA:
Al aplicar la fórmula 3 es necesario imaginar que el
área está barrida por un rayo que sale de O y gira desde
a hasta b.
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Cálculo diferencial e integral de una variable
Ejercicio 1
Calcule el área encerrada por uno de los cuatro pétalos
de la curva r = cos 2
y
x
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Cálculo diferencial e integral de una variable
Ejercicio:
Calcule el área de la región dentro del círculo r = 3 sen 
y fuera de la cardioide r = 1 + sen 
y
x
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