Derivadas de una función en un punto.
Derivadas
Cálculo Diferencial e
Integral de Una Variable
Habilidades
1. Describe el concepto de derivada.
2. Interpreta geométricamente la derivada.
3. Define la derivada de una función en un punto.
4. Interpreta la derivada como una razón de cambio.
Cálculo Diferencial e
Integral de Una Variable
La Pendiente de una Curva
¿Una curva tiene pendiente?
Entenderemos por pendiente de una curva a la
pendiente de la recta que más se asemeja (ajusta)
a la curva.
¿y cuál es esta recta?
Cálculo Diferencial e
Integral de Una Variable
El problema de la recta tangente
y
Q
y = f(x)
P
a
Pendiente de la recta secante:
Cálculo Diferencial e
Integral de Una Variable
x
m PQ 
x
f x

 f a 
x - a
El problema de la recta tangente
y
Q
y = f(x)
P
a
Pendiente de la recta secante:
Cálculo Diferencial e
Integral de Una Variable
x
m PQ 
x
f x

 f a 
x - a
El problema de la recta tangente
y
y = f(x)
Q
P
a
x
Pendiente de la recta secante:
Cálculo Diferencial e
Integral de Una Variable
x
m PQ 
f x

 f a 
x - a
El problema de la recta tangente
y
y = f(x)
Q
P
a
x
Pendiente de la recta secante:
Cálculo Diferencial e
Integral de Una Variable
x
m PQ 
f x

 f a 
x - a
El problema de la recta tangente
y
y = f(x)
Q
P
a
x
Pendiente de la recta secante:
Cálculo Diferencial e
Integral de Una Variable
x
m PQ 
f x

 f a 
x - a
El problema de la recta tangente
y
y = f(x)
P
a
x
Pendiente de la recta tangente:
m P  lim
x a
Cálculo Diferencial e
Integral de Una Variable
f x

f a 
x - a
La recta tangente
Definición:
La recta tangente a la curva y=f(x) en el
punto P(a, f(a)) es la recta que pasa por P con
pendiente:
m  lím
xa
f  x   f a 
x -a
siempre que exista este límite.
Observación:
Haciendo h=x-a, luego h tiende hacia 0,
cuando x tiende hacia a. Es decir, la pendiente
de la recta tangente también se puede calcular
como:
f a  h   f a 
m  lím
h0
Cálculo Diferencial e
Integral de Una Variable
h
El problema de la velocidad instantánea
t=a+h
t=a
o
s(a)
Velocidad media en (a, a + h):
Cálculo Diferencial e
Integral de Una Variable
s
s(a + h)
v media 
s( a  h )  s( a)
h
El problema de la velocidad instantánea
t=a+h
t=a
o
s(a)
Velocidad media en (a, a + h):
Cálculo Diferencial e
Integral de Una Variable
s
s(a + h)
v media 
s( a  h )  s( a)
h
El problema de la velocidad instantánea
t=a+h
t=a
o
s(a)
Velocidad media en (a, a + h):
Cálculo Diferencial e
Integral de Una Variable
s
s(a + h)
v media 
s( a  h )  s( a)
h
El problema de la velocidad instantánea
t=a+h
t=a
o
Velocidad media en (a, a + h):
Cálculo Diferencial e
Integral de Una Variable
s
s(a) s(a + h)
v media 
s( a  h )  s( a)
h
El problema de la velocidad instantánea
t=a+h
t=a
o
Velocidad media en (a, a + h):
Cálculo Diferencial e
Integral de Una Variable
s
s(a) s(a + h)
v media 
s( a  h )  s( a)
h
El problema de la velocidad instantánea
t=a
o
s
s(a)
Velocidad instantánea en t = a:
v ( a )  lim
h0
Cálculo Diferencial e
Integral de Una Variable
s( a  h )  s( a)
h
Ejemplo
Suponga que se deja caer una pelota desde
la plataforma superior de la torre de Eiffel,
a 300 m arriba del suelo.
a) ¿Cuál es la velocidad de la pelota
después de 5 segundos?
b) ¿Con qué velocidad choca contra el
suelo?
Cálculo Diferencial e
Integral de Una Variable
La velocidad instantánea
Definición:
La velocidad instantánea v(a) en el instante
t = a se define como el límite de las
velocidades medias:
v ( a )  lim
s( a  h )  s( a)
h0
siempre que exista este límite.
Cálculo Diferencial e
Integral de Una Variable
h
Ejemplo
La posición de una partícula se da con la
1
ecuación del movimiento s  f t  
,
t 1
donde t se mide en segundos y s en
metros. Encuentre la velocidad y la
rapidez después de 2 segundos.
Nota:
• Desplazamiento de una partícula =
Posición Final- Posición Inicial.
•Recorrido = Distancia recorrida.
•Velocidad = s  t 
•Rapidez = s t 
Cálculo Diferencial e
Integral de Una Variable
Definición:
La derivada de f en el número a, denotada como
f ’(a) se define como:
f ' a   lim
h0
f a  h   f a 
h
si el límite existe.
Observación:
1. Si existe la derivada f ’(a), se dice que f es
derivable en a.
2. Si no existe la derivada f ’(a), se dice que f no
es derivable en a.
3. La derivada de una función es un límite.
4. Para hallar el límite se requiere que la función
sea continua en el punto.
Cálculo Diferencial e
Integral de Una Variable
Pag. 156
Derivadas laterales
Derivada por la derecha de a
Derivada por la izquierda de a
f '

f '
-
a 
a 


lim
h0
lim
h0


Pag. 168
 
f a  h  f a
h


 
f a  h  f a
h
y = f(x)
y
m  f  ' (a)
m  f - ' (a)
Teorema:
f ’(a) existe si y solo si
f ' - (a)  f '  (a)
a
Cálculo Diferencial e
Integral de Una Variable
x
Cálculo de derivadas por la definición
Ejemplo :
Si f  x  
x 1
, obtenga f´(1)
Ejemplo :
Considere la función definida por tramos
f
x
 x  1 ,
 
2x ,

¿Existe f´(1)?
Cálculo Diferencial e
Integral de Una Variable
1  x  1
x  1
Interpretaciones de la derivada
Pag. 157
Geométrica:
f ( a )
Pendiente de la recta tangente a la gráfica de
y = f(x) en el punto de abscisa a.
Mecánica:
v(a)
Velocidad de una partícula cuya posición viene
dada por y = s(t) en el instante t = a.
General:
f ( a )
Razón instantánea de cambio de y = f(x) con
respecto a x cuando x = a.
f ' a   lím
Δx  0
Cálculo Diferencial e
Integral de Una Variable
 f a 
x
Bibliografía
“Cálculo de una variable”
Cuarta edición
James Stewart
Sección 2.7. Ejercicios Pág. 154: 2-14, 17-20.
Sección 2.8. Ejercicios Pág. 161: 1-26, 33, 34.
ORIENTAR TAREA 3
Cálculo Diferencial e
Integral de Una Variable
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