DEFINICIÓN DE DERIVADA
INTERPRETACIÓN
GEOMÉTRICA
JAVIER BERENGUER MALDONADO
Hasta el momento, de una función expresada
algebraicamente, y=f(x), podemos conocer:
• Dominio
• Cortes de la gráfica con el eje X y eje Y
•Continuidad
•Asíntotas y ramas parabólicas
Pero en cambio la fórmula es poco útil cuando quiero conocer:
•
Intervalos de crecimiento / decrecimiento
•
Máximos y mínimos relativos
Para estos dos puntos es necesario el estudio de LAS DERIVADAS
La clave para el estudio de las dos cosas que nos proponemos (máximos
mínimos, e intervalos de crecimiento y decrecimiento) son las rectas
tangentes:
m=0
m>0
m<0
m=0
m<0
En los puntos de
máximo o mínimo, la
recta tangente es
horizontal ( es decir,
la pendiente es 0)
En los tramos de
crecimiento la recta
tangente tiene pendiente
positiva, en los de
decrecimiento la tiene
negativa.
Llamamos derivada de la función f en x=a a la pendiente de la
recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa a
La derivada de la función f en a se denota con el
símbolo f’(a), que se lee “f prima de a”
y=3
y=1,2x+1,5
f’( -4,5)= -3/2 porque la tangente
en el punto de abscisa 4,5 tiene
pendiente -3/2.
f’(-2)= 0
f’(2)=1,2
y=-1,3x+13
y=-3/2x-24
y=-4
f’(4)=0
f’(6)=-1,3
(3,2)
(1,-1)
Conocidos dos puntos de
la recta tangente puedo
calcular su ecuación.
Pasa por (1,-1)
y=mx+n
-1=m+n
Pasa por (3,2)
2=m·3+n
Resolviendo el sistema:
y= 3/2 x-5/2
De esta manera f’(3)=3/2
(3,2)=(x1,y1)
(1,-1) )=(x0,y0)
Lo anterior es muy largo
pues lo único que me
interesa saber es la “m”.
Para calcularla hay una
manera muy fácil:
m =
y1 - y 0
x1 - x 0
=
2 - ( - 1)
3- 1
De esta manera f’(3)=3/2
=
3
2
m =
y1 - y 0
x1 - x 0
O LO QUE ES LO MISMO:
m =
f ( x1 ) - f ( x 0 )
x1 - x 0
Nos proponemos ahora calcular la pendiente la recta t
tangente en un punto de abscisa x=a. Pero sólo tenemos el
punto de tangencia A de la recta t, y para hallar su
pendiente necesitamos dos puntos. ¿Qué hacer?
Resolvamos la cuestión en varias etapas.
Recta t
A(a,f(a))
Estamos sobre el eje X en a, abscisa del punto A de
tangencia, y nos desplazamos hacia la derecha o izquierda
una distancia h. Tenemos así el punto x=a+h sobre el eje X y
su correspondiente punto de la gráfica P((a+h), f(a+h))
P(a+h,f(a+h))
A(a,f(a))
Recta t
a
a+h
Calculamos la pendiente de la recta secante AP con las
coordenadas de los dos puntos A y P.
P(a+h,f(a+h))
f(a+h)-f(a)
A(a,f(a))
Recta t
h
a
m =
a+h
f (a + h ) - f (a )
a+ h- a
=
f (a + h ) - f (a )
h
Si h es muy pequeño, a+h está muy cerca de a. De
esta forma:
P
A
h
a
0
a+h
P está muy próximo a A
La secante AP “casi” se confunde con la tangente t
La pendiente de la secante AP es “casi” la pendiente de t
Ahora bien, el valor de h no puede
ser 0, aunque sí todo lo pequeño
que se quiera. Y aquí interviene el
concepto de límite.
P
A
h
a
0
a+h
P está muy próximo a A
La secante AP “casi” se confunde con la tangente t
La pendiente de la secante AP es “casi” la pendiente de t
lim (pendientes de las secantes)= pendien te de la tangente
h® 0
lim
h® 0
f (x + h) - f (x )
h
P
= f '( a )
A
a
Así pues la derivada es un número que se obtiene mediante un límite
a+h
Calcula la derivada de f(x)=x2/4 para a=2
f '(2) = lim
f (2 + h ) - f (2)
h® 0
ìï
ï
ïï f (2 + h ) =
í
ï
ï
ïïî f (2 ) = 1
f '(2 ) = lim
h® 0
2
(2 + h )
=
4 + 4h + h
4
h
2
= 1 + h + 0, 2 5 h
2
4
f (2 + h ) - f (2 )
h
= lim
h® 0
h + 0, 2 5 h
h
2
= lim (1 + 0, 2 5 h ) = 1
h® 0
f(x)=x2/4
f '(2) = 1
* La pendiente de la recta tangente
a la función en el punto x=2 es 1,
por lo que la recta tangente a mi
función en x=2 es:
* Además como la
derivada es +, esto
indica que cerca de
x=2 la función es
creciente.
y = f ( a ) + f '( a )( x - a )
y = 1 + 1( x - 2)
y = x- 1
(x0,y0)
y=y0+m(x-x0)
ACTIVIDADES: 1 Y 2 DE PÁGINA 308
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