Unidad III
Ecuaciones e inecuaciones
¿Qué es una igualdad
algebraica?
• Ejemplo
4.3+5=17
4.x+5=17
S={3}
Tratemos ahora de encontrar el
conjunto solución
•x+4=x
•S={ }
•0.x=10
•Las expresiones con
conjunto solución
vacío son
ABSURDOS o
CONTRADICCIONES
¿Qué sucede en los siguientes
casos?
•X+X=2.X •0.X=0
•S={R}
Ecuaciones lineales:
•Aquellas igualdades
algebraicas en el que
el máximo exponente
de la incógnita es 1.
Ecuación lineal es :
a.x + b = c
• Ejemplo:
X+3=10
X+3-3=10-3
S={7}
• Ejemplo
4.x  12
4
.x 
4
x3
12
4
3.x  5  6
• Ejemplo
3.x  5  5  6  5
3.x  11
3
3
.x 
 11
3
 11
S   
 3
Desigualdades
• Sean a y b dos números R
Si
”a es mayor que b” entonces su
diferencia es positiva.
a  b  a b  o
• Sean a y b dos números R
Si
”a es menor que b” entonces
su diferencia es negativa.
a  b  a b  o
• Sean a y b dos números R
Si
”a es igual a b” entonces su
diferencia es cero.
a  b  a b  o
Inecuación Lineal
• Cuando las desigualdades
incluyen incógnitas se
llaman inecuaciones y es
lineal cuando el máximo
exponente de la incógnita
es 1.
Ejemplo
3.x  18
• La solución que
satisface esta
ecuación no es un
único valor , sino
un intervalo, es
decir, un
subconjunto de los
números Reales.
3
.x 
3
18
3
x6
S   ,6
Ejemplo
 4.x  5
x
x
5
4
5
4

5 
S    , 
4 

Presten atención
• Si el número que multiplica a la
incógnita es positivo la
desigualdad conserva el sentido.
• Si el número que multiplica a la
incógnita es negativo la
desigualdad cambia el sentido.
¿Cómo se expresan los
intervalos?
• Cuando
x  a   , a
Intervalo semiabierto
• Cuando


x

a



,
a
Intervalo abierto
• Cuando
x  a  a, 
Intervalo semiabierto
• Cuando
x  a  a, 
Intervalo abierto
Sistemas de
ecuaciones con
dos incógnitas
¿Cuándo encontramos la
solución?
• Cuando se satisfagan al
mismo tiempo las dos
ecuaciones planteadas
Problema
• Un comerciante desea incorporar en su
negocio dos artículos y dispone de
$2000 para invertir. El primer artículo
tiene un costo de $300 y ocupa un
espacio de 4m en su depósito. El
segundo cuesta $400 y necesita un
espacio de 5m. El espacio con que se
cuenta en el depósito es de 26 m.
• ¿Cuántos artículos de cada tipo deberá
adquirir?
• Un comerciante desea incorporar en su
negocio dos artículos y dispone de
$2000 para invertir. El primer artículo
tiene un costo de $300 y ocupa un
espacio de 4m en su depósito. El
segundo cuesta $400 y necesita un
espacio de 5m. El espacio con que se
cuenta en el depósito es de 26 m.
• ¿Cuántos artículos de cada tipo deberá
adquirir?
X : tipo A
y : tipo B
300.x  400. y  2000

4
.
x

5
y

26

a1.x  b1. y  c1

a
.
x

b
.
y

c
2
2
 2
300.x  400. y  2000

4
.
x

5
y

26

a1  300 a2  4
b1  400 b2  5
c1  2000 c2  26
¿Cómo identificar si un sistema
tiene solución?
Tiene solución y es
única
Compatibledeterminado
a1

a2
300
b1
b2

400
4
75  80
5
Infinitas soluciones
Compatible-indeterminado
• Ejemplo
3.x  2 y  1

6.x  4. y  2
b1
b1
a2
b2
b2
c2
3
2
2
1
4
4
a1
6



c1

2
0,5  0,5 0,5  0,5
No tiene solución
Incompatible
• Ejemplo
5.x  2. y  8

5.x  2. y  10
b1
a1
a2
b2
a2
5
2
5
2
5
a1


5
11


c1
c2
8
10
1  0,8
Métodos de
resolución
Método de sustitución
• Consiste en despejar una
incógnita en alguna de las dos
ecuaciones y luego sustituir el
valor de esta incógnita en la
otra ecuación
Método de igualación
• Consiste en despejar la misma
incógnita de ambas ecuaciones
para luego igualarlas y encontrar
el valor de la otra.
Una vez hallado un valor,
reemplazando, encontraremos el
otro.
• Conjunto solución de un
sistema de ecuaciones
lineales con dos
incógnitas: es el único par
ordenado (X;Y) que
verifica ambas ecuaciones
Interpretación gráfica de
un sistema de dos
ecuaciones con dos
incógnitas
¿Cómo graficamos el conjunto
solución?
• Al despejar “y” obtenemos dos RECTAS
de la forma:
Y=a.X+b a: pendiente
b:ordenada al origen
El conjunto solución será la intersección de
las dos rectas que hallamos.
En caso de que las rectas no se corten ,
estaremos en presencia de un sistema
incompatible, es decir , un sistema que no
tiene solución.
Dado el siguiente sistema
 2. x  y  0

x

y

9

y  2. x
y 9 x
Sistemas de
inecuaciones
•Resolución gráfica
• Una editorial va a sacar a la venta una colección
sobre arte y lo hará en dos presentaciones
diferentes, una económica y otra de lujo con una
mejor encuadernación. El gasto que tendrá la
editorial en el material es de $2 por cada libro
de la edición económica y $ 8 por cada uno de
la edición de lujo. Además existe un gasto por el
trabajo del personal que se calcula en $5 y $8
por cada libro respectivamente. La editorial
dispone de $16000 para el material y $24000
para el pago de su personal.
• Con estas condiciones, ¿puede editar 5000
libros de la edición económica y 500 de la de
lujo?
2.x  8. y  16000

5.x  8 y  24000

y

0


x  0
Despejando
2.x  8. y  16000

5.x  8 y  24000

y  0

x  0
y  2000 
1
x
4
y  3000 
5
8
x
• ¿Puede la editorial editar 5000
libros de la edición económica
y 500 de la de lujo?
• La respuesta es NO. El punto
(5000; 500) está fuera del
conjunto solución.
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Unidad III