2. Probabilidad
Introducción.
La segunda etapa de la estadística es el cálculo de la probabilidad de que
algo ocurra en el futuro. Esta etapa se llama estadística inferencial. La
inferencia estadística maneja las conclusiones acerca de una población con
base en una muestra tomada de esa población.
Como en la toma de decisiones siempre hay incertidumbre, es importante
evaluar científicamente todos los riesgos involucrados, para lo cual resulta
útil la teoría de la probabilidad.
Los conceptos de la probabilidad son muy importantes son muy importantes
en el campo de la inferencia estadística, los cuales forman el lenguaje
básico de la probabilidad.
2. Probabilidad
Probabilidad.
Se define como un valor entre cero y uno que describe la posibilidad
(probabilidad o viabilidad) relativa de que ocurra un evento. Por ejemplo,
si se lanza una moneda al aire, la probabilidad de que caiga águila será de
0.50 ó ½.
Con frecuencia una probabilidad se expresa como un decimal (0.70, 0.25,
0.03, etc), aunque también puede expresarse como una fracción (⅜, ⅓, ⅞,
etc).
Cuando la probabilidad se encuentra muy cerca del 0 significa que el
evento es más improbable, mientras que cuando se acerca al 1 representa a
un evento que seguramente va a ocurrir.
En el estudio de la probabilidad se utilizan tres palabras clave:
experimento, resultado y evento.
2. Probabilidad
Probabilidad.
Un experimento es un proceso que lleva a la ocurrencia de una y sólo una
de varias observaciones posibles. Por lo tanto, un experimento tiene dos o
más resultados posibles y no sabemos cual va a ocurrir.
El resultado es la consecuencia de un experimento en particular. Por
ejemplo, en el experimento de lanzar una moneda al aire hay dos
resultados posibles: sello o águila y no sabemos cual es resultado que
vamos a obtener.
El evento es un conjunto de uno o más resultados de un experimento.
Un ejemplo que nos permite explicar mejor las definiciones anteriores es el
siguiente:
En el experimento de lanzar un dado, el número de resultados posibles es
seis, pero existen muchos eventos posibles (observar un número par,
observar un número mayor que 4, observar un número 3 o menor, etc).
2. Probabilidad
Enfoques para asignar probabilidades.
Con frecuencia se recurre a dos enfoques para asignar probabilidades
tomando como base los puntos de vista objetivos y subjetivos.
La probabilidad objetiva se subdivide en: probabilidad clásica y
probabilidad empírica.
La Probabilidad clásica, se basa en la suposición de que los resultados de
un experimento son igualmente viables. La probabilidad de que un evento
suceda se calcula dividiendo el número de resultados favorables entre el
número de resultados posibles.
Por ejemplo, en el experimento de lanzar un dado, la probabilidad de
obtener un número par en la cara hacia arriba del dado será de tres
resultados favorables de los seis resultados posibles, por lo que
probabilidad será de 0.5 ó ½.
2. Probabilidad
Enfoques para asignar probabilidades.
La probabilidad empírica se basa en las frecuencias relativas. La
probabilidad de que un evento suceda se determina al observar en que
fracción de tiempo sucedieron eventos similares en el pasado.
Por ejemplo, el primero de febrero de 2003 explotó el transbordador
espacial Columbia, siendo el segundo desastre en 113 misiones espaciales
de la NASA. Con base en esta información, podríamos decir que la
probabilidad de que una misión futura se realice con éxito es de 111/113, o
sea, de 0.98.
2. Probabilidad
Enfoques para asignar probabilidades.
La probabilidad subjetiva es la posibilidad de que suceda un evento en
particular que asigna un individuo con base en la información disponible.
Esto curre cuando existe poca o ninguna experiencia anterior o
información sobre la cual basar la probabilidad, por eso se llega a ella en
forma subjetiva.
Por ejemplo, el profesor de probabilidad y estadística puede estimar la
probabilidad de que un alumno obtenga una calificación de 10 basándose
en la entrega oportuna de tareas, la eficiencia en las mismas, la
participación en clase y la entrega mostrada durante el curso.
2. Probabilidad
Ejercicios de aplicación.
1.
Una encuesta a 34 estudiantes de una universidad mostró que tienen las
siguientes especializaciones:
Contabilidad
Finanzas
Sistemas de información
Administración
Mercadotecnia
10
5
3
6
10
a) ¿cuál es la probabilidad de que un alumno esté especializado en
administración?
b) ¿qué concepto de probabilidad utilizaste para hacer este cálculo?
2. Probabilidad
Ejercicios de aplicación.
1.
En cada uno de los siguientes casos, indique si se utilizó la probabilidad
clásica, empírica o subjetiva.
a)
Un jugador de basquetbol comete 30 de 50 faltas. La probabilidad de que
cometa la siguiente falta es de 0.6.
b)
Se forma un comité de estudiantes con siete miembros para estudiar los
problemas del ambiente. ¿cuál es la probabilidad de que cualquiera de
los siete sea elegido vocero del equipo?
c)
Si compras uno de los 5 millones de boletos vendidos para un sorteo
especial de la Lotería Nacional. ¿cuál es la probabilidad de que ganes el
premio mayor?
d)
La probabilidad de que ocurra un terremoto en el norte de california
durante los próximos 10 años es de 0.80 .
2. Probabilidad
Reglas para calcular probabilidades.
1.
Regla general de la adición.
P(A o B) = P(A) + P(B) – P(A y B)
Para la expresión P(A o B), el conectivo o sugiere que puede ocurrir A o
puede ocurrir B. Esto también incluye la posibilidad de que ocurran A y
B. Si los eventos A y B son mutuamente excluyentes (no pueden ocurrir
los dos eventos al mismo tiempo) la probabilidad conjunta P(A y B) es
0.
Ejemplo: ¿cuál es la probabilidad de que una carta elegida de una baraja
estándar sea un rey o un corazón?
P(A) = 4/52 P(B) = 13/52
P(A y B) = 1/52
P(A o B) = 4/52 + 13/52 – 1/52 = 16/52 = 0.3077
2. Probabilidad
Reglas para calcular probabilidades.
2.
Regla del complemento.
P(Ac) = 1 – P(A)
Se utiliza para determinar la probabilidad de que un evento ocurra restando a
1 la probabilidad de que el evento no ocurra. Donde A y Ac son
mutuamente excluyentes.
Ejemplo: Una máquina automática llena bolsas de plástico con una mezcla de
frijoles, brócoli y otras verduras. Debido a la variación en el tamaño de
los frijoles y otras verduras, se hizo una revisión de 4,000 paquetes
obteniendo los siguientes resultados:
Peso
Evento
No. De paquetes
Menos peso
Satisfactorio
Más peso
A
B
C
100
3600
300
2. Probabilidad
Reglas para calcular probabilidades.
2.
Regla del complemento.
a)
¿cuál es la probabilidad de que un paquete esté pasado de peso o le falte
peso?
b)
Use la regla del complemento para mostrar que la probabilidad de una
bolsa satisfactoria es de 0.900.
2. Probabilidad
Reglas para calcular probabilidades.
3.
Regla general de la multiplicación.
P(A y B) = P(A)*P(B/A)
Donde la P(B/A) se conoce como probabilidad condicional, esto es, la
probabilidad de que ocurra B dado que ocurrió A, lo cual aplica cuando
los dos eventos no son independientes entre sí. Si no hay un efecto de un
evento sobre el otro la regla se simplifica a:
P(A y B) = P(A)*P(B)
Ejemplo: Suponga que hay 10 rollos de película en una caja y se sabe que tres
están defectuosos.
a)
¿cuál es la probabilidad de que los dos primeros rollos seleccionados
sean defectuosos?
P(A y B) = 3/10
P(B/A) = 2/9
P(A y B) = (3/10)(2/9) = 6/90 = 0.07
2. Probabilidad
Reglas para calcular probabilidades.
3.
Regla general de la multiplicación.
b)
¿cuál es la probabilidad de que los tres primeros rollos seleccionados
sean defectuosos?
2. Probabilidad
Tablas de contingencias.
Tabla que se utiliza para clasificar las observaciones de las muestras de
acuerdo con dos o más características que se pueden identificar. Es una
tabulación cruzada que resume al mismo tiempo dos variables de interés
y su relación.
Ejemplo: Una encuesta realizada en 150 personas acerca del número de
películas que vieron la semana anterior a la entrevista arrojó los
siguientes resultados:
Género
Películas vistas Hombres
0
1
2 o más
Total
20
40
10
70
Mujeres
40
30
10
80
Total
60
70
20
150
2. Probabilidad
Tablas de contingencias.
Ejercicio: Tomando en cuenta la tabla anterior, encuentre:
a)
La probabilidad de que las personas entrevistadas no hayan visto
ninguna película la semana anterior.
P(0) = 60/150 = 0.400
b)
La probabilidad de que una de las personas entrevistadas que no hayan
visto ninguna película la semana anterior sea mujer.
P(M/0) = 40/60 = 0.6666
c)
La probabilidad de que la persona entrevistada no haya visto ninguna
película y sea mujer .
P(0 y M) = P(0)*P(M/0) = (60/150)(40/60) = 0.2666
2. Probabilidad
Diagrama de árbol.
El diagrama de árbol es una gráfica que resulta útil para organizar los cálculos
que comprenden varias etapas. Cada segmento en el árbol es una etapa
del problema. Las ramas de un diagrama de árbol se ponderan por medio
de probabilidades. Por ejemplo, el lanzar una moneda al aire tres veces
se representaría por medio del siguiente diagrama de árbol.
½ águila 1/8 = 0.125
½
águila
sello 1/8 = 0.125
½
águila
½
½ águila 1/8 = 0.125
½
sello
½ sello 1/8 = 0.125
Inicio
½
águila 1/8 = 0.125
½
águila
½
sello 1/8 = 0.125
½
sello
águila 1/8 = 0.125
½
½
sello
sello 1/8 = 0.125
2. Probabilidad
Ejercicios:
1.
a)
b)
c)
Cada uno de los vendedores de una compañía obtiene una calificación de
superior al promedio, promedio o inferior al promedio en cuanto a su
habilidad para las ventas. Cada uno obtiene también una calificación por
su potencial para avanzar: aceptable, bueno o excelente. Los resultados
se muestran en la siguiente tabla:
Habilidades para la
venta
Potencial para avanzar
Aceptable
Bueno
Excelente
Inferior al promedio
16
12
22
Promedio
45
60
45
Superior al promedio
93
72
135
¿Cómo se llama esta tabla?
¿Cuál es la probabilidad de seleccionar un vendedor que sea superior al
promedio y con excelente potencial?
Elabore un diagrama de árbol mostrando todas las probabilidades.
2. Probabilidad
Ejercicios:
2.
Se entrevistó a algunos consumidores sobre el número relativo de visitas
a un supermercado (a menudo, en forma ocasional y nunca) y si la tienda
tenía una ubicación conveniente (sí y no). Los resultados se muestran en
la siguiente tabla:
Conveniente
a)
b)
c)
visitas
Sí
No
Con frecuencia
60
20
Ocasional
25
35
Nunca
5
50
¿Cómo se llama esta tabla?
¿La frecuencia de las visitas y la conveniencia son independientes? ¿por
qué? Interprete su conclusión.
Elabore un diagrama de árbol y determine las probabilidades conjuntas.
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2. Probabilidad Enfoques para asignar probabilidades.