Funciones
Presentado por: Tammy Roterman y
Orli Glogower
Presentado a: Patricia Cáceres
Décimo Grado
Funciones
Tipos
Definición
Formas
de expresar
Características
Funciones
Inyectivas,
Sobreyectivas y
Biyectivas
Funciones Pares
e Impares
Función
• Definición
• Una función es una relación entre un
conjunto dado X (el conjunto de
salida) y otro conjunto de elementos Y
(el conjunto de llegada) de manera
que a cada elemento x del conjunto
de salida le corresponda uno y solo un
elemento del conjunto de llegada f(x).
• A cada Pre Imagen le corresponde una
sola y solo una Imagen.
Formas de expresar una
función
Una función se puede expresar de 4 distintas
formas:
Enunciado
Tabla
Gráfica
Algebraicamente
Una función se expresa a través de
una tabla, cuando se dan algunos
valores de X con los valores
correspondientes de Y.
Ejemplo:
X
0
2
8
10
12
Y
3
4
2
8
10
Una función se expresa a través de
un enunciado cuando se describe
verbalmente.
Ejemplo: Una función es la relación entre los
elementos del conjunto de salida y los
elementos del conjunto de llegada.
Una función se expresa a través de una
formula o expresión algebraica cuando
se da una ecuación en la que se
relacionan las variables X y Y.
Ejemplo:
f(x)= X3 + 2X2 – 4X + 3
Una función se expresa a través de una
gráfica, cuando se representan los
pares (x,y) en el plano cartesiano.
Ejemplo:
Características de las
funciones
Variable dependiente
Variable independiente
Imagen
Pre Imagen
Conjunto de salida
Dominio
Rango
Conjunto de llegada
Crecimiento
Punto de corte con X
Periodicidad
Punto de corte con Y
Máximos y mínimos
Son los posibles valores del conjunto de llegada.
La variable dependiente se llama Y.
Son los posibles valores del conjunto de
salida. La variable independiente se llama
X.
Características
f
a
1
b
2
Y
X
c
3
4
Imagen: Los valores del conjunto de llegada
que se relacionan con los valores del
conjunto de salida.
Pre Imagen: Los valores del conjunto de
salida que se relacionan con los valores del
conjunto de llegada.
Características
Rango: Conjunto de elementos del conjunto de llegada
que están relacionadas con un valor del conjunto de
salida.
Dominio: Conjunto de elementos del conjunto de salida que
están relacionadas con algún elemento del conjunto de
llegada.
Características
Conjunto de Salida: Conjunto de Pre Imágenes.
Conjunto de Llegada: Conjunto de Imágenes.
Características
Punto de corte con X: Se halla cuando Y=0. Se
iguala la función a 0, y se resuelve la ecuación
resultante.
Punto de corte con Y: Se halla cuando X=0. Se
reemplaza X por 0.
Características
Periodicidad:
Una función es periódica, si su gráfica
se repite en intervalos de amplitud
constante.
Periodo: Longitud del intervalo que se
repite.
Máximos y mínimos:
Máximo relativo: Es un punto en el que el
valor de la función es mayor que en los
puntos que están próximos.
Mínimo relativo: Es un punto en el que el
valor de la función es menor que en los
puntos que están próximos.
Crecimiento:
Función creciente: Es creciente cuando al
aumentar los valores de X, aumenta Y.
Función decreciente: Es decreciente, cuando al
aumentar los valores de X, disminuye Y.
Características
• Funciones Inyectivas:
• Funciones Sobreyectivas:
•
•
Una función es Inyectiva si a cada Imágen
le corresponde una única Pre Imágen.
X
Una función es Sobreyectiva si cada
elemento del rango es como mínimo la
imagen de un elemento del domino.
X
Y
1
D
2
B
3
C
Y
D
1
B
2
C
3
A
4
Función Biyectiva:
• Una función es Biyectiva
cuando todos los elementos
del conjunto de salida
tienen una imagen distinta
en el conjunto de llegada
(inyectiva), sumándole que
a cada elemento del
conjunto de salida le
corresponde un elemento
del conjunto de llegada
(sobreyectiva).
X
Y
1
D
2
B
3
C
4
A
• Función Impar:
• Función Par:
• Se llama función impar a la que
para todo x perteneciente al
Dominio de la función, se cumple
que:
• Se llama función par a la que para
todo x perteneciente al Domino de
la función, se cumple que:
• Se produce una simetría con
respecto al origen de coordenadas.
•
•
•
•
Ejemplo:
f(x)= X3
f(2)=8
f(-2)=-8
• Todas las funciones impares
cumplen la ecuación:
• Se produce una simetría con
respecto al eje y.
•
•
•
•
Ejemplo:
f(x)= X2
f(-2)= 4
f(2)= 4
• Todas las funciones pares cumplen
la ecuación:
Impar
Par
Tipos de funciones
Polinómicas
Trigonométricas
Racional
Logarítmica
Exponencial
Por Partes o
A Trozos
Valor Absoluto
Funciones polinómicas
Grado Par
Constante
Grado Impar
Cuadrática
Lineal
Cúbica
Afín
Idéntica
Generalidades de una función
Polinómica
• Se llama función polinómica a toda aquella que está definida por medio de
polinomios.
• Según el grado del polinomio, las funciones polinómicas se pueden
clasificar en:
Grado
0
1
2
3
•
•
•
•
Nombre
Constante
Lineal
Cuadrática
Cúbica
Expresión
y= a
y= ax + b
y= ax2 + bx + c
y= ax3 + bx2 + cx + d
En el conjunto de las funciones polinómicas pueden definirse los siguientes tipos de
operaciones:
Suma de dos funciones f (x) y g (x): produce una nueva función (f + g) (x).
Producto de una función f (x) por un número l: produce una nueva función (l × f) (x).
Producto de dos funciones f (x) y g (x): resulta una nueva función (f × g) (x).
Función Constante
• Es una función polinómica de grado
cero que no depende de ninguna
variable.
• Se define por la ecuación: y= a
Dominio= IR
Rango= a
Conjunto de Salida= IR
Conjunto de Llegada= IR
Punto de corte con x= no
existe
Punto de corte con y= a
EJEMPLO
Constante
Análisis:
y= 6
Dominio-Conjunto de salida= IR
Conjunto de llegada= IR
Rango= {6}
Punto de corte con y= 6
Función Afín
• La función afín viene dada por
la ecuación: y= mx+n
• Donde X y Y son las variables
• m es la pendiente
• n es la ordenada en el origen
EJEMPLO
•
•
•
•
•
La m de una recta determina la
inclinación de la misma,
entonces:
Si m<0 decreciente
Si m>0 creciente
Si m=0 constante
m se calcula:
Dominio= IR
Conjunto de Salida= IR
Rango= IR
Conjunto de Llegada= IR
Punto de corte con y= n
Afín
Análisis:
y= 6x +2
Dominio-Conjunto de salida= IR
Rango-Conjunto de llegada= IR
Punto de corte con y= 2
Punto de corte con x= -1/3
Pendiente= 6
Funciones de Grado Par
• Las funciones de grado par son las funciones en
las que el mayor grado del polinomio es par.
• Se definen por la ecuación:
y= ax(2n) + bx(2n)-1 + cx(2n)-2 + … + dx + e
EJEMPLO
Grado Par
y= 2X4 + 4x3 + 6x2 – x + 8
Función Cuadrática
• Es una función polinómica que se
define mediante un polinomio de
segundo grado como:
• Es una parábola vertical,
orientada hacia arriba o hacia
abajo según sea el signo de a.
• El vértice de una parábola se
halla mediante la ecuación:
EJEMPLO
•
•
•
•
•
Dominio= IR
Rango= (máximo o mínimo relativo,
Conjunto de salida= IR
Conjunto de llegada= IR
Punto/s de corte con x: y= 0, se
halla/n mediante la formula
cuadrática:
•
Punto de corte con y= c
Cuadrática
Análisis:
y= x2 + 3x – 4
Dominio-Conjunto de salida= IR
Rango-Conjunto de llegada= IR
Punto de corte con y= -4
Punto de corte con x= {-4, 1}
Mínimo relativo= -3/2
Funciones de Grado Impar
• Las funciones de grado impar son las funciones
en las que el mayor grado del polinomio es
impar.
• Se definen por la ecuación:
y= ax(2n-1) + bx(2n-1)-1 + cx(2n-1)-2 + … + dx + e
EJEMPLO
Grado Impar
y= 3x3 + 2x2 – x + 4
Función Lineal
Es la función que se define
por la ecuación: y= mx
Dominio= IR
Rango= IR
Conjunto de Salida= IR
Conjunto de Llegada= IR
Punto de corte con Y= 0
Punto de corte con X= 0
EJEMPLO
Lineal
Análisis:
y= 4x
Dominio-Conjunto de salida= IR
Rango-Conjunto de llegada= IR
Punto de corte con y= 0
Punto de corte con x= 0
Pendiente= 4
Función Idéntica
• Es la función que asigna como
imagen a cada elemento del
dominio el mismo elemento.
• Se define por la ecuación: y= x
• Su pendiente es m=1
• Su gráfica es la recta bisectriz
de los cuadrantes primero y
tercero.
EJEMPLO
• Dominio= IR
• Conjunto de Salida= IR
• Rango= IR
• Conjunto de Llegada= IR
• Punto de corte con X y Y= 0
Idéntica
Análisis:
y= x
Dominio-Conjunto de salida= IR
Rango-Conjunto de llegada= IR
Punto de corte con y= 0
Punto de corte con x= 0
Función Cúbica
• Función que tiene la forma, o
puede ser llevada a la forma:
con a ≠ 0 , a,b,c,d ∈ IR
Dominio= IR
Conjunto de Salida= IR
Rango= IR
Conjunto de Llegada= IR
Punto de corte con y= d
EJEMPLO
Cúbica
Análisis:
y= x3 + 3x2 + 4x + 6
Domino-Conjunto de salida= IR
Rango-Conjunto de llegada= IR
Punto de corte con y= 6
Punto de corte con x= -2.5
Función Valor Absoluto
• La función de valor absoluto se
define por la ecuación: y= IxI + c
IXI=
• El valor absoluto de un número
real es su valor numérico sin
tener en cuenta su signo, ya sea
positivo o negativo.
X, Si X > 0
-X, Si X < 0
El valor absoluto de X siempre será igual
o mayor que cero, y nunca será negativo.
Propiedades del Valor Absoluto
•
•
•
•
•
•
•
No negatividad : |a| ≥ 0
Definición positiva: |a| = 0 a = 0
Propiedad multiplicativa: |ab| = |a||b|
Propiedad aditiva: |a+b| ≤ |a|+|b|
Simetría: |-a| = |a|
Identidad de indiscernibles : |a-b|= 0 a=b
Desigualdad triangular: |a-b| ≥ |a-c|+ |c-b|
Dominio= IR
Conjunto de Salida= IR
Conjunto de Llegada= IR
Rango= (mínimo, ∞) o ( - ∞, máximo)
EJEMPLO
Función Logarítmica
• La función logarítmica se define
por la ecuación: y= loga x
• Solo esta definida en los números
positivos.
• Si a>1:
• Dominio= IR +
• Conjunto de Salida= IR
• Rango= IR
• Conjunto de Llegada= IR
• Puntos que pertenecen a la
gráfica: (1,0) y (a,1)
• Creciente
• Si 0<a<1:
• Dominio= IR +
• Conjunto de Salida= IR
• Rango= IR
• Conjunto de Llegada= IR
• Puntos que pertenecen a la
gráfica: (1,0) y (a,1)
• Decreciente
Deducciones de los logaritmos
•
•
•
•
•
•
No existe el logaritmo de un
número con base negativa
No existe el logaritmo de un
número negativo
No existe el logaritmo de cero
El logaritmo de 1 es cero
El logaritmo en base a de a es
uno
El logaritmo en base a de una
potencia en base a es igual al
exponente.
Propiedades de los logaritmos
2. El logaritmo de un cociente es
igual al logaritmo del dividendo
menos el logaritmo del divisor.
3. El logaritmo de una potencia es
igual al producto del exponente
por el logaritmo de la base.
4. El logaritmo de una raíz es igual
al cociente entre el logaritmo del
radicando y el índice de la raíz.
5. Cambio de base
1. El logaritmo de un producto es igual a la
suma de los logaritmos de los factores.
EJEMPLO
Función Racional
•
Esta definida por una expresión
algebraica que es el cociente de dos
polinomios:
• En las funciones racionales, la
variable X no puede tomar el valor
que hace cero al denominador, por
eso, el dominio de Y es el conjunto
de todos los números reales excepto
los ceros de q.
Dominio= IR- {asíntotas verticales}
Conjunto de Salida= IR
Rango= R- {asíntotas horizontales}
Conjunto de Llegada= IR
Punto de Corte con x= Se iguala a 0 el
numerador.
Punto de Corte con y= Se sustituye x por
0 en la ecuación original.
Asíntotas
Las asíntotas son rectas a las cuales se aproxima
una función sin llegar a ellas.
am x ...a1 x  a0
f ( x) 
bn x n ...b1 x  b0
m
Para:
1) Para m < n, la recta y = 0 (el eje x) es
una asíntota horizontal.
2) Para m = n, la recta y = am/bn, es una
asíntota horizontal.
3) Para m > n, no hay asíntotas
horizontales.
Es el valor que no pertenece al
dominio de la función, pero
tampoco la anula. Se hallan
igualando el denominador a 0.
EJEMPLO
Función Exponencial
• La función exponencial se define por
la ecuación: y= ax, donde a y x son
números reales.
• Cuando a<1, la función es
decreciente.
• Cuando a>1, la función es creciente.
(a debe ser diferente de 1)
• También está la función exponencial
natural definida por la ecuación y=ex,
donde e es el número de Euler,
aproximadamente 2.71828....
Propiedades de los
Exponentes
1.
2.
3.
4.
5.
Dominio= IR
Conjunto de Salida= IR
Conjunto de Llegada= IR
Rango= (0, ∞)
El eje x es una asíntota
horizontal.
6.
EJEMPLO
Referencias de consulta
•
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http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_impar
http://www.x.edu.uy/lineal.htm
http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd99/ed99-0416-02/indice.htm
http://personal5.iddeo.es/ztt/Tem/T3_Funcion_Logaritmica.htm
http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_par
http://www.slideshare.net/mfatela/3-funcin-par-e-impar
http://www.amschool.edu.sv/Paes/f8.htm
http://matesup.utalca.cl/modelos/2clase/2_1_Funciones.pdf
http://docencia.udea.edu.co/ingenieria/calculo/pdf/1_2.pdf
http://www.vitutor.com/fun/2/c_4.html
http://www.escolared.com.ar/nuevacarpeta/funracional.html
http://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/Funciones_formas_de_
expresar/elementos.htm
http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_inyectiva
http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_biyectiva
http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_sobreyectiva
http://bc.inter.edu/facultad/Ntoro/logaw.htm
http://bc.inter.edu/facultad/ntoro/fraciow.htm
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