Funciones
Presentado por: Tammy Roterman y
Orli Glogower
Presentado a: Patricia Cáceres
Décimo Grado
Funciones
Tipos
Definición
Formas
de expresar
Características
Funciones
Inyectivas,
Sobreyectivas y
Biyectivas
Funciones Pares
e Impares
Función
• Definición
• Una función es una relación entre un
conjunto dado X (el conjunto de
salida) y otro conjunto de elementos Y
(el conjunto de llegada) de manera
que a cada elemento x del conjunto
de salida le corresponda uno y solo un
elemento del conjunto de llegada f(x).
Formas de expresar una
función
Una función se puede expresar de 4 distintas
formas:
Enunciado
Tabla
Gráfica
Algebraicamente
Una función se expresa a través de
una tabla, cuando se dan algunos
valores de X con los valores
correspondientes de Y.
Ejemplo:
X
0
2
8
10
12
Y
3
4
2
8
10
Una función se expresa a través de
un enunciado cuando se describe
verbalmente.
Ejemplo: A cada Y le corresponde el mínimo
+1.
Una función se expresa a través de una
formula o expresión algebraica cuando
se da una ecuación en la que se
relacionan las variables X y Y. Y = f(x)
Ejemplo:
f(x)= X3 + 2X2 – 4X + 3
Una función se expresa a través de una
gráfica, cuando se representan los
pares (x,y) en el plano cartesiano.
Ejemplo:
Elementos y Características
de las funciones
Variable dependiente
Variable independiente
Imagen
Pre Imagen
Conjunto de salida
Dominio
Rango
Conjunto de llegada
Crecimiento
Punto de corte con X
Periodicidad
Punto de corte con Y
Máximos y mínimos
Son los posibles valores del conjunto de llegada.
La variable dependiente se llama Y.
Son los posibles valores del conjunto de
salida. La variable independiente se llama
X.
Características
f
a
1
b
2
Y
X
c
3
4
Imagen: Los valores del conjunto de llegada
que se relacionan con los valores del
conjunto de salida.
Pre Imagen: Los valores del conjunto de
salida que se relacionan con los valores del
conjunto de llegada.
Características
Rango: Conjunto formado por las Imágenes.
Dominio: Conjunto formado por las Pre Imágenes.
Características
Conjunto de Salida: Conjunto de los elementos que
componen al dominio.
Conjunto de Llegada: Conjunto de variables
dependientes.
Características
Punto de corte con X: Se halla cuando Y=0. Se
iguala la función a 0, y se resuelve la ecuación
resultante.
Punto de corte con Y: Se halla cuando X=0. Se
reemplaza X por 0.
Características
Periodicidad:
Una función es periódica, si su gráfica
se repite en intervalos de amplitud
constante.
Periodo: Longitud del intervalo que se
repite.
Máximos y mínimos:
Máximo relativo: Es un punto en el que el
valor de la función es mayor que en los
puntos que están próximos.
Mínimo relativo: Es un punto en el que el
valor de la función es menor que en los
puntos que están próximos.
Crecimiento:
Función creciente: Es creciente cuando al
aumentar los valores de X, aumenta Y. Función
decreciente: Es decreciente, cuando al
aumentar los valores de X, disminuye Y.
Características
• Funciones Inyectivas:
• Funciones Sobreyectivas:
•
•
Una función es Inyectiva si a cada Imágen
le corresponde una única Pre Imágen.
X
Una función es Sobreyectiva si cada
elemento del conjunto de llegada es como
mínimo la imagen de un elemento del
domino.
X
Y
1
D
2
B
3
C
Y
D
1
B
2
C
3
A
4
Función Biyectiva:
• Una función es Biyectiva
cuando todos los elementos
del conjunto de salida
tienen una imagen distinta
en el conjunto de llegada
(inyectiva), sumándole que
a cada elemento del
conjunto de salida le
corresponde un elemento
del conjunto de llegada
(sobreyectiva).
X
Y
1
D
2
B
3
C
4
A
• Función Impar:
• Función Par:
• Se llama función impar a la función
en la que para todo x
perteneciente al Dominio de la
función, se cumple que:
• Se llama función par a la función en
la que para todo x perteneciente al
Domino de la función, se cumple
que:
• Se produce una simetría con
respecto al origen de coordenadas.
• Se produce una simetría con
respecto al eje y.
•
•
•
•
•
•
•
•
Ejemplo:
f(x)= X3
f(2)=8
f(-2)=-8
• Todas las funciones impares
cumplen la ecuación:
Ejemplo:
f(x)= X2
f(-2)= 4
f(2)= 4
• Todas las funciones pares cumplen
la ecuación:
Impar
Par
Tipos de funciones
Polinómicas
Trigonométricas
Racional
Logarítmica
Exponencial
Por Partes o
A Trozos
Valor Absoluto
Funciones polinómicas
Grado Par
Constante
Grado Impar
Cuadrática
Afín
Cúbica
Lineal
Idéntica
Círculo Gonio métrico
Funciones Trigonométricas
Seno
Secante
Cotangente
Coseno
Tangente
Cosecante
Generalidades de una función
Polinómica
• Se llama función polinómica a toda aquella función que está definida por
medio de polinomios.
• Según el grado del polinomio, las funciones polinómicas se pueden
clasificar en:
Grado
0
1
2
3
•
•
•
•
Nombre
Constante
Lineal
Cuadrática
Cúbica
Expresión
y= a
y= ax + b
y= ax2 + bx + c
y= ax3 + bx2 + cx + d
En el conjunto de las funciones polinómicas pueden definirse los siguientes tipos de
operaciones:
Suma de dos funciones f (x) y g (x): produce una nueva función (f + g) (x).
Producto de una función f (x) por un número l: produce una nueva función (l × f) (x).
Producto de dos funciones f (x) y g (x): resulta una nueva función (f × g) (x).
Función Constante
• Es una función polinómica de grado
cero que no depende de ninguna
variable.
• Se define por la ecuación: y= a
Dominio= IR
Rango= {a}
Conjunto de Salida= IR
Conjunto de Llegada= IR
Punto de corte con x= no
existe, cuando a ≠ 0.
Punto de corte con y= a
EJEMPLO
Constante
Análisis:
y= 6
Dominio-Conjunto de salida= IR
Conjunto de llegada= IR
Rango= {6}
Punto de corte con y= 6
Función Afín
• La función afín viene dada por
la ecuación: y= mx+n
• Donde X y Y son las variables
• m es la pendiente
• n es la ordenada en el origen
EJEMPLO
•
•
•
•
•
La m de una recta determina la
inclinación de la misma,
entonces:
Si m<0 decreciente
Si m>0 creciente
Si m=0 constante
m se calcula:
Dominio= IR
Conjunto de Salida= IR
Rango= IR
Conjunto de Llegada= IR
Punto de corte con y= n
Afín
Análisis:
y= 6x +2
Dominio-Conjunto de salida= IR
Rango-Conjunto de llegada= IR
Punto de corte con y= 2
Punto de corte con x= -1/3
Pendiente= 6
Funciones de Grado Par
• Las funciones de grado par son las funciones en las que el
mayor grado del polinomio es par.
• Para las funciones de grado par, el Dominio siempre es
IR y el Rango es (mínimo, ∞) o (- ∞, máximo).
• Se definen por la ecuación:
y= ax(2n) + bx(2n)-1 + cx(2n)-2 + … + dx + e
EJEMPLO
Grado Par
y= 2X4 + 4x3 + 6x2 – x + 8
Función Cuadrática
• Es una función polinómica que se
define mediante un polinomio de
segundo grado como:
• Es una parábola vertical,
orientada hacia arriba o hacia
abajo según sea el signo de a.
• El vértice de una parábola se
halla mediante la ecuación:
EJEMPLO
•
•
•
•
Dominio= IR
Conjunto de salida= IR
Conjunto de llegada= IR
Punto/s de corte con x: y= 0, se
halla/n mediante la formula
cuadrática, o factorizando.
•
Punto de corte con y= c
Cuadrática
Análisis:
y= x2 + 3x – 4
Dominio-Conjunto de salida= IR
Rango= [-5, ∞)
Conjunto de llegada= IR
Punto de corte con y= -4
Punto de corte con x= {-4, 1}
Mínimo relativo: x= -3/2
Funciones de Grado Impar
• Las funciones de grado impar son las funciones en las
que el mayor grado del polinomio es impar.
• Para las funciones de grado Impar, el Dominio y el Rango
siempre son IR.
• Se definen por la ecuación:
y= ax(2n-1) + bx(2n-1)-1 + cx(2n-1)-2 + … + dx + e
EJEMPLO
Grado Impar
y= 3x3 + 2x2 – x + 4
Función Lineal
Es la función que se define
por la ecuación: y= mx
Dominio= IR
Rango= IR
Conjunto de Salida= IR
Conjunto de Llegada= IR
Punto de corte con Y= 0
Punto de corte con X= 0
EJEMPLO
Lineal
Análisis:
y= 4x
Dominio-Conjunto de salida= IR
Rango-Conjunto de llegada= IR
Punto de corte con y= 0
Punto de corte con x= 0
Pendiente= 4
Función Idéntica
• Es la función que asigna como
imagen a cada elemento del
dominio el mismo elemento.
• Se define por la ecuación: y= x
• Su pendiente es m=1
• Su gráfica es la recta bisectriz
de los cuadrantes primero y
tercero.
EJEMPLO
• Dominio= IR
• Conjunto de Salida= IR
• Rango= IR
• Conjunto de Llegada= IR
• Punto de corte con X y Y= 0
Idéntica
Análisis:
y= x
Dominio-Conjunto de salida= IR
Rango-Conjunto de llegada= IR
Punto de corte con y= 0
Punto de corte con x= 0
Función Cúbica
• Función que tiene la forma, o
puede ser llevada a la forma:
con a ≠ 0 , a,b,c,d ∈ IR
Dominio= IR
Conjunto de Salida= IR
Rango= IR
Conjunto de Llegada= IR
Punto de corte con y= d
EJEMPLO
Cúbica
Análisis:
y= x3 + 3x2 + 4x + 6
Domino-Conjunto de salida= IR
Rango-Conjunto de llegada= IR
Punto de corte con y= 6
Punto de corte con x= -2.5
Función Valor Absoluto
• La función de valor absoluto se
define por la ecuación: y= IxI + c
IXI=
• El valor absoluto de un número
real es su valor numérico sin
tener en cuenta su signo, ya sea
positivo o negativo.
X, Si X > 0
-X, Si X < 0
El valor absoluto de X siempre será igual o
mayor que cero, y nunca será negativo.
Propiedades del Valor Absoluto
•
•
•
•
•
•
•
No negatividad : |a| ≥ 0
Definición positiva: |a| = 0 a = 0
Propiedad multiplicativa: |ab| = |a||b|
Propiedad aditiva: |a+b| ≤ |a|+|b|
Simetría: |-a| = |a|
Identidad de indiscernibles : |a-b|= 0 a=b
Desigualdad triangular: |a-b| ≥ |a-c|+ |c-b|
EJEMPLO
Dominio= IR
Conjunto de Salida= IR
Rango= [mínimo, ∞) o ( - ∞, máximo]
Conjunto de Llegada= IR
Punto de Corte con y= c
Valor Absoluto
Análisis:
y= IxI
Dominio= IR
Conjunto de salida= IR
Rango= [0, ∞)
Conjunto de llegada= IR
Punto de corte con x=0
Punto de corte con y=0
No hay desplazamiento
Para un desplazamiento horizontal:
y= Ix + 2I
Dominio= IR
Conjunto de salida= IR
Rango= [0, ∞)
Conjunto de llegada= IR
Punto de corte con x= -2
Punto de corte con y= 2
Desplazamiento horizontal
izquierda= 2
Para un desplazamiento vertical:
y= IxI + 4
Dominio= IR
Conjunto de salida= IR
Rango= [4, ∞)
Conjunto de llegada= IR
Punto de corte con x= No existe
Punto de corte con y= 4
Desplazamiento vertical arriba= 4
Función Logarítmica
• La función logarítmica se define
por la ecuación: y= loga x
• Solo esta definida en los números
positivos.
• Si a>1:
• Dominio= IR +
• Conjunto de Salida= IR +
• Rango= IR
• Conjunto de Llegada= IR
• Puntos que pertenecen a la
gráfica: (1,0) y (a,1)
• Creciente
• Si 0<a<1:
• Dominio= IR +
• Conjunto de Salida= IR +
• Rango= IR
• Conjunto de Llegada= IR
• Puntos que pertenecen a la
gráfica: (1,0) y (a,1)
• Decreciente
Deducciones de los logaritmos
•
•
•
•
•
•
No existe el logaritmo de un
número con base negativa
No existe el logaritmo de un
número negativo
No existe el logaritmo de cero
El logaritmo de 1 es cero
El logaritmo en base a de a es
uno
El logaritmo en base a de una
potencia en base a es igual al
exponente.
Propiedades de los logaritmos
2. El logaritmo de un cociente es
igual al logaritmo del dividendo
menos el logaritmo del divisor.
3. El logaritmo de una potencia es
igual al producto del exponente
por el logaritmo de la base.
4. El logaritmo de una raíz es igual
al cociente entre el logaritmo del
radicando y el índice de la raíz.
5. Cambio de base
1. El logaritmo de un producto es igual a la
suma de los logaritmos de los factores.
EJEMPLO
Logarítmica
Análisis:
y= log x
Dominio= IR +
Conjunto de salida= IR +
Rango= IR
Conjunto de llegada= IR
Punto de corte con x= 1
Punto de corte con y= No hay
Asíntota vertical: x=0
No hay desplazamiento
Para un desplazamiento horizontal:
y= log x (x + 2)
Dominio= IR +
Conjunto de salida= IR +
Rango= IR
Conjunto de llegada= IR
Punto de corte con x= -1
Punto de corte con y= 0.8
Asíntota vertical: x= -2
Desplazamiento horizontal izquierda= 2
Para un desplazamiento vertical:
y= log x (x) + 4
Dominio= IR +
Conjunto de salida= IR +
Rango= IR
Conjunto de llegada= IR
Punto de corte con x= No hay
Punto de corte con y= No hay
Asíntota vertical: x=0
Desplazamiento vertical arriba= 4
Función Racional
•
La función racional está definida por
una expresión algebraica que es el
cociente de dos polinomios:
• En las funciones racionales, la
variable X no puede tomar el valor
que hace cero al denominador, por
eso, el dominio de Y es el conjunto
de todos los números reales excepto
los ceros de q.
Dominio= IR- {asíntotas verticales}
Conjunto de Salida= IR
Rango= R- {asíntotas horizontales}
Conjunto de Llegada= IR
Punto de Corte con x= Se iguala a 0 el numerador,
y se soluciona la ecuación resultante.
Punto de Corte con y= Se sustituye x por 0 en la
ecuación original.
Asíntotas
Las asíntotas son rectas a las cuales se aproxima una función sin llegar a ellas. En las
asíntotas verticales, la función se aproxima mucho a la recta cuando el valor de la
variable dependiente se aproxima mucho al valor de la variable independiente. En las
asíntotas horizontales, la función se aproxima a ∞ y a -∞.
Para:
am x ...a1 x  a0
f ( x) 
n
bn x ...b1 x  b0
m
1) Para m < n, la recta y = 0 (el eje x) es
una asíntota horizontal.
2) Para m = n, la recta y = am/bn, es una
asíntota horizontal.
3) Para m > n, no hay asíntotas
horizontales.
Es el valor que no pertenece al
dominio de la función, pero
tampoco la anula. Se hallan
igualando el denominador a 0.
EJEMPLO
Racional
Análisis:
y= 1/x-4
Dominio= IR- {0}
Conjunto de Salida= IR- {0}
Rango= R- {-2}
Conjunto de Llegada= IR
Punto de corte con x= 2
Punto de corte con y= No existe
Asíntotas verticales: x=0
Asíntotas horizontales: y= -2
Función Exponencial
• La función exponencial se define por
la ecuación: y= ax + b , donde a, x y b
son números reales.
• Cuando a<1, la función es
decreciente.
• Cuando a>1, la función es creciente.
(a debe ser diferente de 1)
• También está la función exponencial
natural definida por la ecuación y=ex,
donde e es el número de Euler,
aproximadamente 2.71828....
Propiedades de los
Exponentes
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Dominio= IR
Conjunto de Salida= IR
Conjunto de Llegada= IR
Punto de Corte con y= 1
Si b=0, Rango= IR + , y el eje X
es asíntota.
Si b=a, Rango= (a,∞), y Y=a es
asíntota.
EJEMPLO
Exponencial
Análisis:
y= 2x
Dominio= IR
Conjunto de salida= IR
Rango= (0, ∞)
Conjunto de llegada= IR
Punto de corte con x= No hay
Punto de corte con y= 1
No hay desplazamiento
Para desplazamientos verticales:
y= 2x + 2
Dominio= IR
Conjunto de salida= IR
Rango= (2, ∞)
Conjunto de llegada= IR
Punto de corte con x= No hay
Punto de corte con y= 3
Asíntota horizontal: y= 2
Desplazamiento vertical= 2
y= 2x + 4
Dominio= IR
Conjunto de salida= IR
Rango= (4, ∞)
Conjunto de llegada= IR
Punto de corte con x= No hay
Punto de corte con y= 5
Asíntota horizontal: y= 4
Desplazamiento vertical= 4
Función A Trozos
La función a trozos o por partes se
define cuando se usan dos o más
ecuaciones.
Para distintos valores de X se deben
usar distintas fórmulas que permitan
calcular la imagen Y que les
corresponde.
Es muy importante conocer qué
formula usar con cada valor de X,
por lo que cada una de las
fórmulas se acompaña
obligatoriamente de una
condición que especifica su
dominio de aplicación.
Así, tiene el siguiente aspecto:
Por ejemplo, para:
Si x toma valores inferiores a -7, el
criterio es x + 1, pero si x toma valores
iguales o mayores a -7, el criterio es 2x +
4.
En la gráfica de una función definida a
trozos se suelen distinguir claramente
varias partes distintas, aunque pueden
estar unidas.
En la función f (x) cada ecuación tiene su
dominio individual; uniendo ambos
dominios se obtiene el dominio de f (x). Por
lo tanto:
Dominio= dominio ₁ U dominio ₂
Los dominios aparecen como intervalos o
puntos.
Conjunto de Salida= dominio ₁ U dominio ₂
Círculo Goniométrico
El círculo goniométrico o círculo
trigonométrico es el círculo con centro en el
origen de coordenadas. Su radio tiene como
medida unitaria el valor de 1.
Está dividido en cuatro partes iguales
llamadas cuadrantes, y se numeran
en dirección opuesta a las manecillas
del reloj. (I, II, III, IV)
• En la medida de los ángulos, se emplean
tres unidades básicamente:
Radián: Se define como el ángulo que limita un
arco de circunferencia cuya longitud es igual al
radio de la circunferencia. Es la unidad más
usada en cuanto a trigonometría.
Grado centesimal: Unidad angular que divide
la circunferencia en 400 grados centesimales.
Grado sexagesimal: Unidad angular que divide
una circunferencia en 360º. Cada grado se
divide en 60’(que se lee 60 minutos de arco) y
cada minuto de arco se divide en 60’’ (que se
lee 60 segundos de arco).
Propiedades de las Funciones
Trigonométricas
• Las funciones seno y coseno están acotadas,
ya que sus valores están contenidos en el
intervalo [-1,1]. La función tangente no está
acotada.
• Las funciones seno, coseno y tangente son de
naturaleza periódica, de manera que el
periodo de las funciones seno y coseno es 2π y
el de la función tangente es π.
• Las funciones seno y tangente son simétricas
respecto al origen, ya que sen (-x) = -sen x; tg (x)=-tg x. En cambio, la función coseno es
simétrica respecto al eje y: cos (-x) = cos x.
• Las funciones seno y coseno están
definidas para todo el conjunto de los
números reales. Ambas son funciones
continuas.
• Cada función trigonométrica
tiene una función recíproca.
Así, la cotangente es recíproca
de la tangente, la cosecante es
recíproca del seno, y la secante
es recíproca del coseno.
EJEMPLO
Función Seno
•
La función seno es periódica, limitada y
continua, y existe para todo el conjunto de los
números reales.
•
Se define por la ecuación: y= sen x, y su inversa
es y= 1/csc x.
•
El seno de un ángulo α se define: sen α= y/r,
siendo r el radio, y Y la coordenada Y.
Dominio= IR
Conjunto de Salida= IR
Rango= [-1, 1]
Conjunto de Llegada= IR
Máximos=
Mínimos=
Punto de Corte con x= (0 + π k)
Punto de Corte con y= (0,0)
Periodo= 2π rad
Creciente= … U( -π/2, π/2) U (3π/2, 5π/2) U…
Decreciente= …U(π/2, 3π/2) U (5π/2, 7π/2) U…
Amplitud= 1
y= sen x
EJEMPLO
Función Coseno
•
La función coseno es periódica y continua, y
existe para todo el conjunto de los números
reales.
•
Se define por la ecuación: y= cos x, y su inversa
es y= 1/sec x.
•
El coseno de un ángulo α se define: cos α= x/r,
siendo r el radio, y X la coordenada X.
Dominio= IR
Conjunto de Salida= IR
Rango= [-1, 1]
Conjunto de Llegada= IR
Máximos=
Mínimos=
Punto de Corte con x= (π/2 + k)
Punto de Corte con y= (0,1)
Periodo= 2π rad
Creciente= … U( -π, 0) U (π, 2π) U…
Decreciente= …U(0, π) U (2π, 3π) U…
Amplitud= 1
y= cos x
EJEMPLO
Función Tangente
•
La función tangente es periódica y asocia a
todo el conjunto de los números reales.
•
Se define por la ecuación: y= tg x, y su razón
recíproca es y= 1/ctg x.
•
La tangente de un ángulo α se define: tg α= y/x,
siendo Y la coordenada Y, y X la coordenada X.
Dominio=
Conjunto de Salida=
Rango= IR
Conjunto de Llegada= IR
Máximos= No tiene
Mínimos= No tiene
Punto de Corte con x= (0 + π k)
Punto de Corte con y= No hay
Periodo= π rad
Creciente= IR
y= tg x
EJEMPLO
Función Cosecante
Dominio=
Conjunto de Salida=
Rango= (- ∞, -1) U ( 1, ∞)
Conjunto de Llegada= IR
Máximos=
Mínimos=
•
La función cosecante es periódica y asocia a todo
el conjunto de los números reales.
•
Se define por la ecuación: y= csc x, y su razón
recíproca es y= 1/sen x.
•
La cosecante de un ángulo α se define: csc α= r/y,
siendo r el radio, y Y la coordenada Y.
Punto de Corte con x= No hay
Punto de Corte con y= No hay
Periodo= 2π rad
Creciente= … U (π/2, π) U (π, 3π/2) U…
Decreciente= … U (0, π/2) U (3π/2, 2π) U…
y= csc x
EJEMPLO
Dominio:
Función Secante
Dominio=
Conjunto de Salida=
Rango= (- ∞, -1) U ( 1, ∞)
Conjunto de Llegada= IR
Máximos=
Mínimos=
•
La función secante es periódica y asocia a todo el
conjunto de los números reales.
•
Se define por la ecuación: y= sec x, y su razón
recíproca es y= 1/cos x.
•
La secante de un ángulo α se define: sec α= r/x,
siendo r el radio, y X la coordenada X.
Punto de Corte con x= No hay
Punto de Corte con y= No hay
Periodo= 2π rad
Creciente= … U (0, π/2) U (π/2, π) U…
Decreciente= … U (π, 3π/2) U (3π/2, 2π) U…
y= sec x
EJEMPLO
Función Cotangente
Dominio=
Conjunto de Salida=
Rango= IR
Conjunto de Llegada= IR
Máximos= No tiene
Mínimos= No tiene
•
La función cotangente es periódica y asocia a todo el
conjunto de los números reales.
•
Se define por la ecuación: y= ctg x, y su razón
recíproca es y= 1/tg x.
•
La cotangente de un ángulo α se define: ctg α= x/y,
siendo X la coordenada X, y Y la coordenada Y.
Punto de Corte con x= (π/2 + k)
Punto de Corte con y= No hay
Periodo= π rad
Decreciente= IR
y= ctg x
Referencias de consulta
•
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•
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•
•
•
•
•
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•
•
http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_impar
http://www.x.edu.uy/lineal.htm
http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd99/ed99-0416-02/indice.htm
http://personal5.iddeo.es/ztt/Tem/T3_Funcion_Logaritmica.htm
http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_par
http://www.slideshare.net/mfatela/3-funcin-par-e-impar
http://www.amschool.edu.sv/Paes/f8.htm
http://matesup.utalca.cl/modelos/2clase/2_1_Funciones.pdf
http://docencia.udea.edu.co/ingenieria/calculo/pdf/1_2.pdf
http://www.vitutor.com/fun/2/c_4.html
http://www.escolared.com.ar/nuevacarpeta/funracional.html
http://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/Funciones_formas_de_expresar/elementos.htm
http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_inyectiva
http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_biyectiva
http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_sobreyectiva
http://bc.inter.edu/facultad/Ntoro/logaw.htm
http://bc.inter.edu/facultad/ntoro/fraciow.htm
http://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/funciones_a_trozos_ejemplos_jbb/definici.htm
http://www.scribd.com/doc/95037/Trigonometria
http://www.vitutor.com/fun/2/c_15.html
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