Funciones
Funciones
Tipos
Definición
Formas
de expresar
Características
Funciones
Inyectivas,
Sobreyectivas y
Biyectivas
Funciones Pares
e Impares
Función
• Definición
• Una función es una relación entre
un conjunto dado X (el dominio) y
otro conjunto de elementos Y (el
rango) de manera que a cada
elemento x del dominio le
corresponda uno y solo un
elemento del rango f(x).
• A cada Pre Imagen le corresponde
una sola y solo una Imagen.
Formas de expresar una
función
Una función se puede expresar de 4 distintas
formas:
Enunciado
Tabla
Gráfica
Algebraicamente
Una función se expresa a través de
una tabla, cuando se dan algunos
valores de X con los valores
correspondientes de Y.
Ejemplo:
X
0
2
8
10
12
Y
3
4
2
8
10
Una función se expresa a través de
un enunciado cuando se describe
verbalmente.
Ejemplo: Una función, es la relación entre
los elementos del dominio y los del rango.
Una función se expresa a través de una
formula o expresión algebraica cuando
se da una ecuación en la que se
relacionan las variables X y Y.
Ejemplo:
f(x)= X3 + 2X2 – 4X + 3
Una función se expresa a través de una
gráfica, cuando se representan los
pares (x,y) en el plano cartesiano.
Ejemplo:
Características de
las funciones
Variable dependiente
Variable independiente
Dominio
Imagen
Pre Imagen
Conjunto de salida
Rango
Conjunto de llegada
Crecimiento
Punto de corte con X
Periodicidad
Punto de corte con Y
Máximos y mínimos
Son los posibles valores del conjunto de llegada.
La variable dependiente se llama Y.
Son los posibles valores del conjunto de
salida. La variable independiente se llama
X.
Características
f
a
1
b
2
Y
X
c
3
4
• Los elementos
principales de una
función son los posibles
valores que pueden
tomar ambas variables.
Estos valores son
llamados Imágenes y Pre
Imágenes.
Imagen: Los valores del conjunto de llegada
que se relacionan con los valores del
conjunto de salida.
Pre Imagen: Los valores del conjunto de
salida que se relacionan con los valores del
conjunto de llegada.
Características
Rango: Conjunto de elementos del conjunto de llegada
que están relacionadas con un valor del conjunto de
salida.
Dominio: Conjunto de elementos del conjunto de salida que
están relacionadas con algún elemento del conjunto de
llegada.
Características
Conjunto de Salida: Conjunto de Pre Imágenes.
Conjunto de Llegada: Conjunto de Imágenes.
Características
Punto de corte con X: Se halla cuando Y=0. Se
iguala la función a 0, o se factorisa.
Punto de corte con Y: Se halla cuando X=0. Se
reemplaza X por 0.
Características
Periodicidad:
Una función es periódica, si su gráfica
se repite en intervalos de amplitud
constante.
Periodo: Longitud del intervalo que se
repite.
Máximos y mínimos:
Máximo relativo: Es un punto en el que el
valor de la función es mayor que en los
puntos que están próximos.
Mínimo relativo: Es un punto en el que el
valor de la función es menor que en los
puntos que están próximos.
Crecimiento:
Función creciente: Es creciente cuando al
aumentar los valores de X, aumenta Y.
Función decreciente: Es decreciente, cuando al
aumentar los valores de X, disminuye Y.
Características
•
Funciones Inyectivas:
•
Funciones Sobreyectivas:
•
Una función es Inyectiva si a cada valor
del dominio le corresponde un valor del
rango. No puede haber dos o mas
elementos del dominio con la misma
imagen.
•
Una función es Sobreyectiva si cada
elemento del rango es como mínimo la
imagen de un elemento del domino.
X
X
Y
1
D
2
B
3
C
Y
D
1
B
2
C
3
A
4
Función Biyectiva:
• Una función es Biyectiva
cuando todos los elementos
del conjunto de salida
tienen una imagen distinta
en el conjunto de llegada
(inyectiva), sumándole que
a cada elemento del
conjunto de salida le
corresponde un elemento
del conjunto de llegada
(sobreyectiva).
X
Y
1
D
2
B
3
C
4
A
•
Función Impar:
• Se llama función impar a la que
para todo x perteneciente al
Dominio de la función, se cumple
que:
• Se produce una simetría con
respecto al origen de coordenadas.
•
•
•
•
Ejemplo:
f(x)= X3
f(2)=8
f(-2)=-8
• Todas las funciones impares
cumplen la ecuación:
•
Función Par:
• Se llama función par a la que para
todo x perteneciente al Domino de
la función, se cumple que:
• Se produce una simetría con
respecto al eje y.
•
•
•
•
Ejemplo:
f(x)= X2
f(-2)= 4
f(2)= 4
• Todas las funciones pares cumplen
la ecuación:
Tipos de funciones
Polinómicas
Trigonométricas
Racional
Logarítmica
Exponencial
Por Partes o
A Trozos
Valor Absoluto
Funciones polinómicas
Grado Par
Constante
Grado Impar
Cuadrática
Lineal
Cúbica
Afín
Idéntica
Generalidades de una función
polinómica
• Se llama función polinómica a toda aquella que está definida por medio de
polinomios.
• Según el grado del polinomio, las funciones polinómicas se pueden
clasificar en:
Grado
0
1
2
3
•
•
•
•
Nombre
Constante
Lineal
Cuadrática
Cúbica
Expresión
y= a
y= ax + b
y= ax2 + bx + c
y= ax3 + bx2 + cx + d
En el conjunto de las funciones polinómicas pueden definirse los siguientes tipos de
operaciones:
Suma de dos funciones f (x) y g (x): produce una nueva función (f + g) (x).
Producto de una función f (x) por un número l: produce una nueva función (l × f) (x).
Producto de dos funciones f (x) y g (x): resulta una nueva función (f × g) (x).
Función Constante
• Es una función polinómica de grado
cero que no depende de ninguna
variable.
• Se define por la ecuación: y= a
Dominio= IR
Rango= a
Conjunto de Salida= IR
Conjunto de Llegada= IR
Punto de corte con x= no
existe
Punto de corte con y= a
EJEMPLO
Constante
Análisis:
y= 6
Dominio-Conjunto de salida= IR
Conjunto de llegada= IR
Rango= {6}
Punto de corte con y= 6
Función Afín
• La función afín viene dada por
la ecuación: y= mx+n
• Donde X y Y son las variables
• m es la pendiente
• n es la ordenada en el origen
EJEMPLO
•
•
•
•
•
La m de una recta determina la
inclinación de la misma,
entonces:
Si m<0 decreciente
Si m>0 creciente
Si m=0 constante
m se calcula:
Dominio= IR
Conjunto de Salida= IR
Rango= IR
Conjunto de Llegada= IR
Punto de corte con y= n
Afín
Análisis:
y= 6x +2
Dominio-Conjunto de salida= IR
Rango-Conjunto de llegada= IR
Punto de corte con y= 2
Punto de corte con x= -1/3
Pendiente= 6
Funciones de grado par
• Las funciones de grado par son las funciones en
las que el mayor grado del polinomio es par.
• Se definen por la ecuación:
y= ax(2n) + bx(2n)-1 + cx(2n)-2 + … + dx + e
EJEMPLO
grado par
y= 2X4 + 4x3 + 6x2 – x + 8
Función Cuadrática
• Es una función polinómica que se
define mediante un polinomio de
segundo grado como:
• Es una parábola vertical,
orientada hacia arriba o hacia
abajo según sea el signo de a.
• El vértice de una parábola se
halla mediante la ecuación:
EJEMPLO
•
•
•
•
•
Dominio= IR
Rango= (máximo o mínimo relativo,
Conjunto de salida= IR
Conjunto de llegada= IR
Punto/s de corte con x: y= 0, se
halla/n mediante la formula
cuadrática:
•
Punto de corte con y= c
Cuadrática
Análisis:
y= x2 + 3x – 4
Dominio-Conjunto de salida= IR
Rango-Conjunto de llegada= IR
Punto de corte con y= -4
Punto de corte con x= {-4, 1}
Mínimo relativo= -3/2
Funciones de grado impar
• Las funciones de grado impar son las funciones
en las que el mayor grado del polinomio es
impar.
• Se definen por la ecuación:
y= ax(2n-1) + bx(2n-1)-1 + cx(2n-1)-2 + … + dx + e
EJEMPLO
grado impar
y= 3x3 + 2x2 – x + 4
Función Lineal
Es la función que se define
por la ecuación: y= mx
Dominio= IR
Rango= IR
Conjunto de Salida= IR
Conjunto de Llegada= IR
Punto de corte con Y= 0
Punto de corte con X= 0
EJEMPLO
Lineal
Análisis:
y= 4x
Dominio-Conjunto de salida= IR
Rango-Conjunto de llegada= IR
Punto de corte con y= 0
Punto de corte con x= 0
Pendiente= 4
Función Idéntica
• Es la función que asigna como
imagen a cada elemento del
dominio el mismo elemento.
• Se define por la ecuación: y= x
• Su pendiente es m=1
• Su gráfica es la recta bisectriz
de los cuadrantes primero y
tercero.
EJEMPLO
• Dominio= IR
• Conjunto de Salida= IR
• Rango= IR
• Conjunto de Llegada= IR
• Punto de corte con X y Y= 0
Idéntica
Análisis:
y= x
Dominio-Conjunto de salida= IR
Rango-Conjunto de llegada= IR
Punto de corte con y= 0
Punto de corte con x= 0
Función Cúbica
• Función que tiene la forma, o
puede ser llevada a la forma:
con a ≠ 0 , a,b,c,d ∈ IR
Dominio= IR
Conjunto de Salida= IR
Rango= IR
Conjunto de Llegada= IR
Punto de corte con y= d
EJEMPLO
Cúbica
Análisis:
y= x3 + 3x2 + 4x + 6
Domino-Conjunto de salida= IR
Rango-Conjunto de llegada= IR
Punto de corte con y= 6
Punto de corte con x= -2.5
Referencias de consulta
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http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_impar
http://www.x.edu.uy/lineal.htm
http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd99/ed99-0416-02/indice.htm
http://personal5.iddeo.es/ztt/Tem/T3_Funcion_Logaritmica.htm
http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_par
http://www.slideshare.net/mfatela/3-funcin-par-e-impar
http://www.amschool.edu.sv/Paes/f8.htm
http://matesup.utalca.cl/modelos/2clase/2_1_Funciones.pdf
http://docencia.udea.edu.co/ingenieria/calculo/pdf/1_2.pdf
http://www.vitutor.com/fun/2/c_4.html
http://www.escolared.com.ar/nuevacarpeta/funracional.html
http://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/Funciones_formas_de_
expresar/elementos.htm
http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_inyectiva
http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_biyectiva
http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_sobreyectiva
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