Proyecto de Matemáticas:
Funciones
Presentado por:
Jonathan Guberek
Daniel Croitoru
Mark Guberek
Presentado a:
Patricia Cáceres
COLEGIO COLOMBO HEBREO
AREA DE MATEMATICA
Bogota D.C
Mayo 2010
GENERALIDADES
• Una función es una correspondencia entre conjuntos que se produce
cuando cada uno de los elementos del primer conjunto se halla
relacionado con un solo elemento del segundo conjunto. Estamos en
presencia de una función cuando de cada elemento del primer
conjunto solamente sale una única flecha.
• No es una función cuando:
• De algún elemento del conjunto de partida no sale ninguna flecha.
• De algún elemento del conjunto de partida salen dos o más flechas.
• Una función se puede representar tanto de forma visual, algebraica,
numérica y verbal.
• Una imagen es el conjunto de elementos y para los cuales existe un
elemento x tal que y=f(x).
Punto de corte con Y
Para hallar el punto de corte con Y, se debe
reemplazar en la ecuación a X por 0.
Punto de corte con X
Para obtenerlo se iguala la función a 0.
Soluciono la ecuación hasta obtener el valor de
x.
Rango:
Conjunto formado por las imágenes.
Dominio:
Es el conjunto formado por las pre imágenes
que debe ser igual al conjunto de salida.
Función Inyectiva
• En este tipo de función se
cumple la condición de que
cada valor del conjunto A
(dominio) le corresponde un
valor distinto en el conjunto B.
De tal manera que en el
conjunto A no pueden haber
dos o más elementos con la
misma imagen.
Función Sobreyectiva
• Es el tipo de función que
cumple la condición de
que cada elemento de Y
es la imagen de mínimo
un elemento de X.
Función Biyectiva
• Función dada cuando, se
cumple que es a la vez
Sobreyectiva e Inyectiva.
• Cuando todos los elementos
del conjunto de partida en este
caso (x) tienen una imagen
distinta en el conjunto de
llegada, que es la regla de la
función Inyectiva y que cada
elemento del conjunto de
salida le corresponde un
elemento del conjunto de
llegada, en este caso (y) que es
la característica de la
Sobreyectiva.
Función Par
Es un tipo de función que satisface o que cumple la
condición de que para todo x que pertenece al
dominio. f(x)=f(-X)
Podría ser una función cuadrática o Polinómica de
grado par incompleta que solo tiene c . Un
ejemplo de esta sería:
f(x) = x4 + 2
f(x) = x4 + 2
corte con y 2
mínimo relativo (0,2)
eje de simetría x=0
dominio=Reales
rango= /2,00\
conjunto salida= Reales
conjunto llegada= Reales
Función Impar
• Función en la que todo x perteneciente al dominio
Podría ser una Función cúbica o
Polinómica de grado par incompleta
que solo tiene c . Un ejemplo de esta
sería:
f(x) = x3
f(x) = x3
dominio= Reales
rango=Reales
conjunto salida=Reales
conjunto llegada=Reales
corte con x= 0
corte con y=0
Función Polinómica
Generalidades
• Según su grado se pueden clasificar como:
Grado Nombre
Expresión
0
función constante
y=a
1
función lineal
y = ax + b (Binomio, 1er Grado)
2
función cuadrática
y = ax² + bx + c (Trinomio, 3er Grado)
3
función cúbica
Dominio= Conjunto de Salida= R
Conjunto de llegada=R
Racional
Función a Trozos
Valor Absoluto
Polinómica
Clases de funciones.
Logarítmica
Función trigonométrica
Exponencial
Función Polinomica.
Función de
Grado impar.
Función de
Grado par.
Función
lineal.
Función
Cuadrática.
Constante.
Función
Cubica.
MAPA CLASES
FUNCIONES
Funciones Lineales
Generalidades
Lineal
Afín
Idéntica
MAPA
POLINÓMICAS
Mapa lineales
Función lineal
Generalidades
• Y= variable dependiente
• X= variable independiente
• M=pendiente (grado de inclinación de la recta con
respecto al eje horizontal)
• B= punto de corte con el eje y.
• Punto de corte con x
• Dominio=reales
• Conjunto de Salida= Reales
• Rango=Reales(con excepción a la función constante)
• Conjunto de llegada= Reales
•Si , m > 0 la función es creciente.
•Si m < 0 la función es decreciente.
•Si m=0 la función es constante (recta
horizontal).
•Ecuación para hallar la pendiente:
Mapa lineales
Función lineal Afín
Es una función cuya ecuación matemática viene dada por:
Y=mx+b
Donde b es una constante que determina el punto de corte con Y,
y hace el desplazamiento vertical.
El punto de corte con y es distinto a 0
Y=5x+5
Dominio: Reales
Rango: Reales
Conjunto Salida: Reales
Conjunto llegada: Reales
Pendiente=5
corte con x= -1
corte con y= 5
Mapa lineales
Función lineal
Es una función cuya ecuación matemática es:
Y=mx
Su corte con y siempre va a ser 0 puesto que no tiene un
desplazamiento vertical .
Y=5x
Dominio=Reales
Rango= Reales
Corte con x= 0
Corte con y=0
Conjunto Salida= Reales
Conjunto Llegada= Reales
Mapa lineales
Función lineal idéntica
•
•
•
•
Es una función expresada con la fórmula:
Y=x
Donde y adquiere el mismo valor que x.
La pendiente es igual a 1.
Dominio=Reales
Rango=Reales
Conjunto Salida=Reales
Punto de corte con Y=0
Punto de corte con X=0
Conjunto Llegada=Reales
Mapa lineales
Función lineal constante
• Y=a
• Siendo a cualquier número.
• No tiene una pendiente por lo que su rango
siempre va a ser a.
• Su corte con y es igual al a.
Y=4
Dominio=Reales
Rango={4}
Conjunto Salida=Reales
corte con y=4
Conjunto Llegada=Reales
MAPA POLINÓMICAS
Función Grado Par
• Es el tipo de función que se rige según la
condición de que:
• El mayor grado de la función es par
• Si todos los terminos son de grado par, la
funcion es simetrica con respecto al eje X
• Se rigen según la ecuación:
Corte con y =2
No tiene corte con x
Vértice (0,2)
Dominio= Reales
Rango=(2,00)
Conjunto salida=Reales
Cll=Reales
MAPA POLINÓMICAS
Función Grado Impar
• Es el tipo de función que se rige según la
condición de que:
• El mayor grado de la función es impar.
• Se rigen según la ecuación:
Dominio =conjunto salida=Reales
rango =conjunto llegada=Reales
corte en x≈2
corte con y=3
Es creciente en(-00,3)u(2.9,00)
es decreciente en(3,2.9)
MAPA POLINÓMICAS
Función Polinómica cuadrática
• Es una función que se define mediante un
polinomio de segundo grado. Esto quiere decir
con un elemento elevado al cuadrado como
máximo exponente.
• Donde a no se puede ser igual a 0
• Su representación gráfica, representaría una parábola
vertical
• Siendo a negativo, estaría hacia abajo.
• Siendo a positivo, estaría hacia arriba.
• Corte con el eje Y, al reemplazar las x por 0
• Corte con el eje X, al igualar la función con 0. La ecuación se
soluciona por factorización o por fórmula general.
• El máximo relativo o mínimo relativo existe dependiendo
del signo de a.
• Con a negativo y parábola hacia abajo habría, un máximo
relativo
• Con a positivo y parábola hacia arriba, habría
un mínimo relativo.
• Tanto el Dominio como el Conjunto de Salida
son Reales. El Conjunto de llegada es Reales,
mientras el Rango va desde el mínimo relativo
hasta infinito o desde el máximo relativo hasta
infinito negativo.
Y=x^2+2x+1
corte con y= 1
Conjunto Salida=Reales
corte con x=-1
Conjunto Llegada=Reales
mínimo relativo x=-1
Dominio=Reales
Creciente en=(-1, ∞)
Reales=Reales positivos Decreciente en=(- ∞, -1)
MAPA POLINÓMICAS
Función Polinómica cúbica
• Se denomina función cúbica a toda función
que le rige la ecuación:
3
2
• Y=ax +bx +cx+d
• Donde a,b,c,d son números reales
• Es una ecuacion de tercer grado, ya que tiene
un maximo elemento elevado a la tres o al
cubo
Corte con x= -1
Corte con y= 1
Conjunto Salida=Reales
Conjunto Llegada=Reales
D=Reales
R=Reales positivos
MAPA POLINÓMICAS
Función Valor absoluto
• Las funciones en valor absoluto se transforman
en funciones a pedazos, siguiendo los siguientes
pasos:
• 1. Se iguala a cero la función, sin el valor
absoluto, y se calculan sus raíces.
• 2. Se forman intervalos con las raíces y se evalúa
el signo de cada intervalo.
• 3. Definimos la función a trozos, teniendo en
cuenta que en los intervalos donde la x es
negativa se cambia el signo de la función.
• 4 Representamos la función resultante.
Gráfica
• Decreciente si a<1
• Creciente si a>1
• El valor absoluto de un número real es su valor numérico sin
tener en cuenta su signo.
• Su dominio, CS y CLL son Reales.
• Su rango depende de hacia donde se
desprenda, puede ser de – infinito al máximo
relativo o del mínimo relativo a infinito.
Y=|x|
Punto corte con x= 0
Punto corte con y= 0
Dominio=Conjunto salida=Conjunto llegada= Reales
Rango= (0, ∞)
Decreciente en= (-∞,0)
Creciente en= (0, ∞)
MAPA CLASES
FUNCIONES
Función racional
• La función racional es una función
matemática expresada de la forma
• Donde p , q son polinomios , x es una variable
desconocida
• Q≠0
• Su dominio consiste en los números reales x
excepto aquellos para los que el denominador es
0.
• Todas las funciones racionales, tienen una
asíntota vertical y horizontal, que es una línea
a la que la gráfica de la función se aproxima
cada vez más, pero que nunca toca .
• Todas sus funciones racionales son de clase
infinita, es decir, que su gráfica, al igual que
sus soluciones, no tienen final.
• Para obtener las raíces se factoriza tanto el
denominador como el numerador y se igualan
cada uno de los factores a 0. Las raíces del
numerador serían cortes con x mientras los del
denominador cortes con y.
• Asíntotas Verticales: Las asíntotas verticales
ocurren donde el denominador es cero, es decir,
donde la función no esta definida.
• Para determinar cuando la función es en Y mayor
o menor que 0, se realiza el análisis intervalo por
intervalo por el proceso del cementerio.
Corte con x= 3
Corte con y= 3
Asintota en y=1
Dominio=conjunto salida=reales
Rango= reales-(1)
Conjunto llegada=reales
creciente
MAPA CLASES
FUNCIONES
Función exponencial
•
•
•
•
•
La función exponencial es del tipo:
Y= ax
Sea a un número real positivo.
Y= ax se llamaría función exponencial de base a y exponente x.
a no puede ser igual a 0, ya que 0 elevado a cualquier número
sería igual a 0 ni a 1. ya que siendo 1, sería constante.
• La función exponencial natural es la que tiene como base a e,
que es igual a 2.718
• Cuando se desplaza verticalmente se le sumaría un valor c,
x
quedando así: y  a  c
f ( x)  e
X
Dominio=conjunto salida=reales
conjunto llegada=reales
rango=(1,00)
asíntota x=1
Es creciente
corte en y=2
Esta desplazada
verticalmente 2
hacia arriba.
MAPA CLASES
FUNCIONES
Función Logarítmica
• Una función logarítmica la que se expresa
como f (x) == logax
• Siendo a la base de esta función, que ha de
ser positiva y distinta de 1.
• También cumpliría que a  x
• Se llama logaritmo común al logaritmo en
base 10.
• Se llama logaritmo natural al que tiene como
base a e=2.781
y
•
•
Propiedades logarítmicas:
1. El logaritmo de una potencia de un numero es el exponente multiplicado
por el numero.
•
2. El logaritmo de un cociente de números es la diferencia de los logaritmos de
los números.
•
3. El logaritmo de un producto de números es la suma de los logaritmos de los
números.
•
Para cambiar de base se utiliza la fórmula
Creciente
dominio=cs=reales positivos
cll=reales
rango=reales
asintota x=0
corte con x≈0.3
MAPA CLASES
FUNCIONES
Función a Trozos
• En matemáticas, una función definida a trozos es una función
cuya definición cambia dependiendo del valor de la variable
independiente. Matemáticamente, una función real f
(definida a trozos) de una variable real x es la relación cuya
definición está dada por varios conjuntos distintos de su
dominio o subdominios.
• Su definición varía según los intervalos que se tomen en
cuenta.
• Se dividen en función mantisa y función signo.
Función Mantisa
•
•
•
•
•
La función mantisa consiste en la parte decimal de un número. Su fórmula es:
mant (x) = x - [x]
Es decir, al número se le resta su parte entera, así la mantisa de los siguientes
números serán:
mant(20,918) = 0,918
mant(27,465) = 0,465
Dominio= IR
Conjunto de salida= IR
Rango= (0, 1)
Conjunto de llegada= IR
Función signo
•
•
Función que obtiene el signo de cualquier número real que se tome por entrada.
Se representa generalmente mediante sgn(x).
Su dominio de definición es R y su conjunto imagen {-1;0;1}.
f(x)=
 1 Si x<1
Si x=1
0
1
Si x>1
Dominio= IR
Conjunto de salida= IR
Rango= {-1; 0; 1)
Conjunto de llegada= IR
MAPA CLASES
FUNCIONES
Función trigonométrica
•
•
•
Son el tipo de funciones que guardan relación con el estudio de la geometría de
los triángulos.
Se definen como el cociente entre dos lados de un triángulo rectángulo asociado a
sus ángulos.
Existen seis tipos de funciones trigonométricas:
•
La función del seno se define como la razón entre el cateto opuesto y la
hipotenusa.
•
La función del coseno se define como la razón entre el cateto adyacente y la
hipotenusa:
•
•
La función de la tangente se define como la razón entre el cateto opuesto y el
adyacente:
• La función de la cotangente se define como el inverso multiplicativo de la
tangente.
• La función secante se define como el inverso multiplicativo del coseno
• La función cosecante se define como el inverso multiplicativo del seno:
Graficas de todas las funciones
trigonométricas
MAPA CLASES
FUNCIONES
Seno
Dominio=Conjunto llegada=Reales
Conjunto salida= Reales
Rango= [-1,1]
Pto corte con y=0
Pto corte con x=πn
coseno
Dominio=Conjunto salida=Reales
Conjunto llegada= Reales
Rango= [-1,1]
Pto corte con Y=1
Pto corte con X=  (2n  1)
2
tangente
Rango=Conjunto llegada=Reales
Conjunto salida= Reales
Pto corte con y=0
Pto corte con x= πn
Dominio
cotangente
Dominio=
Conjunto salida= Conjunto llegada=Reales
R= Reales
Pto corte con y=No hay
Pto corte con x=
cosecante
Conjunto de salida=Dominio=IR
Conjunto de llegada= IR
Rango= (IR – (-1,1))
Asíntotas en x=n π
Punto de corte con x no tiene
Punto de corte con y no tiene
secante
Conjunto de salida=Dominio=IR
Conjunto de llegada= IR
Rango= (IR – (-1,1))
Asíntotas en x= π/2(2n-1)
Punto de corte con x no tiene
Punto de corte con y = 1
Bibliografía
• http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_line
al
• http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd98/Matemati
cas/05/definicion.html
• http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_con
stante
• http://www.mitecnologico.com/Main/Funciones
• http://cnx.org/content/m12960/latest/#eq_rf
• http://www.vitutor.com/fun/2/c_13.html
Bibliografía
• http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_cuadr%C3%A
1tica
• http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_inyectiva
• http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_sobreyectiva
• http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_biyectiva
• http://www.amschool.edu.sv/paes/f8.htm
• http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_trigonom%C3
%A9trica
• http://es.wikipedia.org/wiki/Tangente_(trigonometr%C3%A
Da)
• http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_trigonom%C3
%A9trica
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