CONFERENCIA 9
EL SIGLO DE LAS LUCES
Revolución industrial en el siglo XVIII
Avances y dificultades en las matemáticas
A mediados
del
siglo
XVIII,
más
concretamente en 1740, la situación política del
continente es la siguiente:
En el Occidente aparece definitivamente
constituida la monarquía del Reino Unido de
Gran Bretaña e Irlanda, regida por la dinastía
de los Hánover, con régimen parlamentario y
gran expansión comercial y colonial. Francia,
bajo Luis XV, adquiere casi sus fronteras
actuales, a excepción de Niza y Saboya;
todavía le falta el ducado de Lorena, cuya
anexión se ha preparado por el tratado de
Viena de 1738 .
Las monarquías de la Península Hispánica, España y Portugal, tienen sus límites modernos, salvo
Menorca, en posesión de los ingleses y Olivenza, de Portugal.
En el centro de Europa, el Imperio alemán sólo existe de nombre. La hegemonía en el Reich la detenta
Austria, cuyas posesiones comprenden, además de Silesia, Bohemia y Hungría, los Países Bajos, antes
españoles, y Milán. Además, el gran ducado de Toscana (Florencia), está bajo su influjo. No obstante,
en el Imperio aparece el Estado de Prusia, cada día con mayor vigor. En Italia existen, fuera de la
influencia austríaca, el reino de Cerdeña, con Saboya y el Piamonte; el de las Dos Sicilias, bajo los
Borbones, y, en plena decadencia, la república de Venecia, con Dalmacia.
En Oriente, el Imperio turco se presenta todavía como una gran masa territorial, aunque en las luchas
con Austria haya perdido gran parte de Hungría y el Banato de Temesvar. En cambio, el Imperio ruso
acrecienta sus ambiciones territoriales, dirigidas contra Suecia y Polonia. Estos dos Estados se hallan
en trance de disgregación, a causa de las rencillas políticas internas entre la realeza y los nobles
Límite entre las colonias españolas y portuguesas a
comienzo del siglo XVIII; 2) Íd. del Tratado de Madrid
de 1750, rectificado en 1777; 3) Límites administrativos
coloniales; 4) Expansión de los "bandeirantes"; 5)
Rutas del comercio marítimo; 6) Puertos habilitados
para el comercio con la metrópoli; 7) Territorio de las
misiones jesuistas.
4) Límites entre las posesiones
inglesas y españolas en 1763 (Pas de
París).
Posesiones y líneas de comunicación
de España; 2) Portugal y sus
colonias; 3) Gran Bretaña y sus
posesiones; 4) Francia y sus
posesiones; 5) Holanda y sus
posesiones
Durante el siglo XVIII, el mundo
asistió al desarrollo del Imperio
Británico.
Los antiguos imperios coloniales, que habían surgido en la época de los grandes descubrimientos,
continuaron más o menos con su prístina extensión. Así, España (signo 1) dominaba la mayor parte del
continente americano, desde California y Nuevo México a Patagonia, con los virreinatos de Nueva
España, Nueva Granada, Perú y El Plata; en Oceanía, poseía aún las Filipinas. En cuanto a Portugal
(signo 2) había ampliado sus posesiones en el Brasil a expensas de España; en África conservaba las
posesiones de Angola y Mozambique.
A partir de 1714, el Imperio Británico (territorios, bases y líneas de influencia política según el signo 3)
se extiende en América del Norte, India y Australia. En todas partes choca con las tentativas de
colonización francesa (territorios, bases y líneas de influencia políticas según el signo 4). Así en
América del Norte, mientras los ingleses poseen la costa atlántica, Terranova y los territorios de la
bahía de Hudson, los franceses detentan el Canadá y la Luisiana. En la India asistimos a la misma
rivalidad, encarnada en las ciudades rivales de Madrás y Pondichery. En ambos campos de lucha
triunfó Inglaterra durante la Guerra de los Siete Años que la hizo señora del mar sobre Francia y
España.
Guerra de la Independencia estadounidense,
conflicto bélico inmerso en un proceso
revolucionario que desde 1775 hasta 1783 enfrentó
a las trece colonias británicas de la costa atlántica
de Norteamérica —que recibirían el apoyo de
Francia y España— con Gran Bretaña; su
desenlace supuso la independencia de esos
territorios y la consiguiente creación de un nuevo
país que se denominó Estados Unidos de América
Durante los últimos decenios del siglo XVII y los primeros del XVIII se produce en Europa un cambio
importante en todos los órdenes. Los valores y conceptos que presidían la sociedad del Barroco entran en
crisis poco a poco, pero perecen simplemente. El cambio, parte de Inglaterra y de un conjunto importante
de intelectuales que juzgan los viejos valores de la sociedad y del saber tradicionales. El crecimiento socioeconómico de la burguesía es, socialmente, el punto de partida de una serie continuada de cambios, que se
extienden e influyen en todos los órdenes de la vida y que conocemos con el nombre de La Ilustración.
Los precursores de la Ilustración pueden remontarse al siglo XVII e incluso antes. Abarcan las
aportaciones de grandes racionalistas como René Descartes y Baruch Spinoza, los filósofos políticos
Thomas Hobbes y John Locke , quizás lo más importante fue una fe constante en el poder de la razón
humana. La época sufrió el impacto intelectual causado por la exposición de la teoría de la gravitación
universal de Isaac Newton. Si la humanidad podía resolver las leyes del Universo, las propias leyes de
Dios, el camino estaba abierto para descubrir también las leyes que subyacen al conjunto de la naturaleza
y la sociedad..
Más que un conjunto de ideas fijas, la Ilustración implicaba una actitud, un método de pensamiento. De
acuerdo con el filósofo Immanuel Kant, el lema de la época debía ser "atreverse a conocer".
Suele decirse que el Siglo de las Luces concluyó con la Revolución Francesa de 1789, pero no son pocos
los que contemplan e interpretan la inquietud política y social de este periodo como causa desencadenante
de la Revolución. Al incorporar muchas de las ideas de los ilustrados, la Revolución.
De lo que no cabe duda es de que la Ilustración dejó una herencia perdurable en los siglos XIX y XX.
Marcó un paso clave en el declinar de la Iglesia y en el crecimiento del secularismo actual. Sirvió como
modelo para el liberalismo político y económico y para la reforma humanitaria a través del mundo
occidental del siglo XIX. Fue el momento decisivo para la creencia en la posibilidad y la necesidad de
progreso que pervivió en el siglo XX.
BARUCH SPINOZA
La más completa expresión de su pensamiento y de su sistema filosófico
quedó expresada en su gran obra Ethica ordine geometrico demonstrata
(Ética demostrada según el orden geométrico, 1677, más conocida por el
título abreviado de Ética). De acuerdo con este tratado, el Universo es
idéntico a Dios, que es la “sustancia” incausada de todas las cosas. El
concepto de sustancia, que Spinoza recuperó de los filósofos escolásticos, no
es el de una realidad material, sino más bien el de una entidad metafísica,
una base amplia y autosuficiente de toda realidad. Spinoza admitió la
posible existencia de atributos infinitos de la sustancia, pero mantuvo que
tan sólo dos son accesibles a la mente humana, a saber, la extensión, o el
mundo de las cosas materiales, y la racionalidad
René Descarte (1596-1650)
Escribió: El discurso del método, donde explicaba lo
importante que es la razón para llegar a conclusiones reales
durante la experimentación. Explicó métodos para conducir
la razón y llegar a la verdad en la ciencia. Fue el creador del
racionalismo, "pienso luego existo".
La filosofía de Hobbes supuso la ruptura de la filosofía inglesa
con el escolasticismo, y estableció las bases de la sociología
científica moderna al tratar de aplicar a los seres humanos,
como autores y materia de la sociedad, los principios de la
ciencia física que gobiernan el mundo material. Hobbes
elaboró su política y su ética desde una base naturalista:
mantenía que las personas se temen unas a otras y por esta
razón deben someterse a la supremacía absoluta del Estado
tanto en cuestiones seculares como religiosas.
El empirismo de Locke hizo hincapié en la importancia de la
experiencia de los sentidos en la búsqueda del conocimiento
en vez de la especulación intuitiva o la deducción. La
doctrina empirista fue expuesta por primera vez por el
filósofo y estadista inglés Francis Bacon a principios del
siglo XVII, pero Locke la dotó de una expresión sistemática
en su Ensayo sobre el entendimiento humano (1690).
Afirmaba que la mente de una persona en el momento del
nacimiento es como una tabla rasa, una hoja en blanco sobre
la que la experiencia imprime el conocimiento, y no creía en
la intuición o teorías de las concepciones innatas. También
mantenía que todos los individuos nacen buenos,
independientes e iguales
Las causas de la Revolución incluyen:
El auge de la burguesía, con un poder
económico cada vez mayor, desempeñando un
papel fundamental en la economía de la época.
El odio contra el absolutismo monárquico.
El resentimiento contra el sistema feudal por
parte de la emergente clase burguesa y de las
clases populares.
La aparición de nuevas ideas en este «Periodo
de Ilustración» tales como las expuestas por
Voltaire, Rousseau o Montesquieu, como lo
eran: La libertad, La fraternidad y La
igualdad
Toma de la Bastilla, 14 de julio de 1789
Revolución Francesa, proceso social y político acaecido en Francia entre 1789 y 1799, cuyas
principales consecuencias fueron el derrocamiento de Luis XVI, la abolición de la
monarquía en Francia y la proclamación de la I República, con lo que se pudo poner fin al
Antiguo Régimen en este país. Aunque las causas que generaron la Revolución fueron
diversas y complejas, éstas son algunas de las más influyentes: la incapacidad de las clases
gobernantes —nobleza, clero y burguesía— para hacer frente a los problemas de Estado, la
indecisión de la monarquía, los excesivos impuestos que recaían sobre el campesinado, el
empobrecimiento de los trabajadores, la agitación intelectual alentada por el Siglo de las
Luces y el ejemplo de la guerra de la Independencia estadounidense..
Erigido en el jefe de los filósofos por su prodigiosa
actividad, la brillantez de su ingenio, su don de
explicar y vulgarizar las cuestiones sobre las cuales
sus contemporáneos se preocupan, su generosidad y
su sincero amor al género humano, Voltaire es el
adversario por excelencia de todas las religiones que,
para él, detienen el poder gracias a la hipocresía y
falsedad de sus sacerdotes, y a la imbecilidad de los
pueblos del mundo. Sin embargo, se define como un
deísta que profesa la religión "natural".
En política prevé numerosas reformas: el impuesto
proporcional y sin privilegios, la reducción de los
ejércitos, la supresión de los derechos señoriales, la
libertad individual, la educación del pueblo llano, la
abolición de la servidumbre y de la venalidad de los
cargos de los magistrados. A su modo de ver, para un
gran territorio, una monarquía moderada le parece la
mejor opción de gobierno.
FRANÇOIS-MARIE AROUET DE
VOLTAIRE
1694 - 1778
Jean-Jacques Rousseau
En teoría política, Rousseau ha sido interpretado o como un pilar de
la democracia liberal o como restaurador de una nueva forma de
estatalismo basado en la voluntad general.
Charles-Louis de Secondat, barón de de Montesquieu
Su obrea mas importante es El espíritu de las leyes (L’esprit des lois, 1748),
con la que obtendría un reconocimiento público importante, amén de
numerosas críticas desde ambientes religiosos: La Sorbona condenó el libro y
la Iglesia lo incluyó en su famoso Índice. En esta obra, el autor trata de dar
rigor científico al estudio de las leyes y los sistemas de gobierno, a los que
considera determinados por circunstancias tales como el clima o la raza, y no
por la providencia divina. Desde un punto de vista moderno, sin embargo, lo
más importante de estas obras es la defensa que en ellas realiza del liberalismo
y la tolerancia, la crítica al racismo y al despotismo y, muy especialmente, su
propuesta de establecer una división de poderes en el Estado, para impedir que
ninguno de ellos se exceda en sus funciones. La influencia de Montesquieu
sobre la teoría política del liberalismo sobre las ideas que habrían de llevar a la
Revolución Francesa fue muy importante, y a su muerte sus obras se habían
convertido en la lectura preferida de los intelectuales y gobernantes de toda
Europa.
Napoleón Bonaparte y sus compañeros
tomaron el poder durante el golpe de
Estado del 9-10 de noviembre de 1799
(18-19 de brumario según el
calendario
revolucionario)
y
establecieron un nuevo régimen, el
Consulado. Según la constitución del
año VIII, Napoleón, que había sido
nombrado primer cónsul, disponía de
poderes
casi
dictatoriales.
La
Constitución del año X, por él dictada
en 1802, otorgó carácter vitalicio a su
consulado y, finalmente, se proclamó
emperador en 1804. El electorado
mostró su respaldo absoluto a cada
una de estas reformas. Bonaparte
cruzó los Alpes con un ejército en 1800
y derrotó a los austriacos en la batalla
de Marengo, con lo que su poder
quedó afianzado.
Entabló negociaciones para restablecer la paz en Europa y conseguir que el Rin fuera
reconocido como la frontera oriental de Francia. Asimismo, firmó el Concordato de 1801
con el papa Pío VII, que apaciguó los ánimos en el interior del país al poner fin al
enfrentamiento con la Iglesia católica, originado desde el inicio de la Revolución
La Revolución Industrial nació en Inglaterra en el último tercio del siglo XVIII
y a lo largo del siglo XIX se extendió al resto de Europa, Estados Unidos y
Japón.
Los factores que desencadenaron el cambio económico fueron:
-La revolución agrícola que se había iniciado en el siglo XVIII.
-La disponibilidad de capitales provenientes del comercio y del campo, que se aplicaron
al desarrollo del maquinismo, o producción fabril mediante máquinas.
-La revolución demográfica iniciada en la segunda mitad del siglo XVIII, como
consecuencia de la mejor alimentación y los avances de la medicina. Originó
importantes movimientos migratorios, del campo a la ciudad y de Europa hacia América
y las distintas colonias ultramarinas.
consecuencias mas importantes:
-El aumento del número de consumidores para los productos industriales (crecimiento
de la demanda), lo que estimuló la producción.
-La aparición de una mano de obra abundante y barata para la industria: el
proletariado
Innovaciones técnicas
Con la Revolución Industrial el taller artesanal desapareció para dar lugar a la fábrica,
gran centro de trabajo en donde la producción en serie se llevaba a cabo mediante
máquinas manejadas por obreros.
La máquina de vapor permitió utilizar una nueva fuente de energía para mover los
engranajes de las máquinas en las fábricas. Su inventor fue James Watt (1736-1819), quien
la patentó en 1769.
En el sector textil pionero de la Revolución Industrial, la capacidad productiva se multiplicó
gracias a las nuevas máquinas, entre las que destacaron:
- La lanzadera volante de Kay, que multiplicó el rendimiento de las máquinas
manuales en la industria del algodón.
- La hiladora Mule-jenny de Cropmton, que hilaba con energía hidráulica.
-El telar mecánico de Cartwright, movido por vapor.
En la agricultura, una de las principales innovaciones fue la segadora mecánica, con la que
dos hombres podían realizar el trabajo de veinte segadores, incrementando la
productividad del trabajo agrícola.
En la metalurgia, Darby introdujo el empleo del carbón de coque; Cort inventó el sistema
de laminación del hierro y Bessemer el convertidor de hierro en acero.
EL VAPOR
Una nueva conquista humana que hizo posible la
Revolución Industrial
Desde fines del siglo anterior y principios del XVIII se
viene gestando las invenciones de máquinas que
aprovechan la energía del vapor para realizar el trabajo
mecánico de extraer agua de las minas de carbón
inglesas. El herrero Thomas Newcomen (1663 - 1729) se
antecede a la Revolución Industrial cuando inventa su
máquina de vapor atmosférica en 1705
En 1763 James Watt (1736 - 1819), notable
fabricante de instrumentos, asistente en la
Universidad de Oxford, al reparar una de las
máquinas de Newcomen aprecia las posibilidades
de perfeccionar su eficiencia. Después de seis años
de investigación, en 1769 patenta una máquina
que superaba a las de su antecesor por su mayor
rapidez en la carrera del pistón y por ser mucho
más económica en cuanto al consumo de
combustible. El propio Watt en 1781 ideó la forma
de usar la máquina para hacer girar un eje y por
lo tanto, abrir sus aplicaciones a muchos otros usos
además del bombeo.
En la década del 60 del siglo XVIII nuevas
hiladoras automáticas desplazaron casi por
completo la fuerza y habilidad del hombre en el
procedimiento textil; pronto vendría el telar
hidráulico (1779), y la utilización del vapor
(1785), el telar mecánico (1811) y la fusión entre
hilanderías y tejedurías en una sola gran
industria
Nuevos metales y aleaciones: En buena
medida, el desarrollo de la industria ha
estado estrechamente vinculado con los
avances conseguidos en la tecnología de los
metales. La primera revolución industrial
del mundo, que tuvo lugar en Inglaterra,
comenzó cuando Abraham Darby utilizó
coque para producir hierro de primera
calidad en grandes cantidades (a partir de
1709). Hacia 1850, la introducción del
proceso Bessemer (bautizado en honor a su
inventor, el británico sir Henry Bessemer)
hizo posible la producción masiva de
acero, una forma más dura y resistente
que el hierro).
Fahrenheit diseñó una escala empleando
como referencia una mezcla de agua y sal a
partes iguales, cuya temperatura de
congelación es más baja que la del agua y la
de ebullición más alta. Los valores de
congelación y ebullición del agua
convencional (el 0 y el 100 de la escala
Celsius) quedaron fijados en 32 °F y 212 °F,
respectivamente. En consecuencia, al
abarcar un intervalo más amplio, la escala
Fahrenheit permite mayor precisión que la
centígrada a la hora de delimitar una
temperatura determinada. En concreto, 180
grados Fahrenheit (212-32) corresponden a
100 grados Celsius; es decir, ambas escalas
están en una relación de 9 a 5 y el 0 °C se
corresponde con 32 °F; por lo tanto, la
conversión resulta: F=9C/5+32, C=(F-32)5/9
Publicó estos resultados en 1714, en Acta Editorum. Por entonces los termómetros usaban
como líquido de referencia el alcohol y, a partir de los conocimientos que había adquirido
Roemer de la expansión térmica de los metales, Fahrenheit pudo sustituirlo ventajosamente
por mercurio a partir de 1716.
En 1783, luego de los progresos alcanzados
en el estudio de los gases, aparecen las
primeras aplicaciones prácticas que
pretenden aprovechar las propiedades de
estas sustancias en una conquista
acariciada por la humanidad: el vuelo por
los aires. Dos físicos franceses tienen un
rol protagónico en esta empresa: Jacques
Alexandre César Charles y Jean-François
Pilâtre de Rozier. El primero archiva el
mérito adicional de descubrir en 1787 la
relación entre el volumen de un gas y su
temperatura conocida como ley de Charles
y Gay-Lussac. Pilâtre de Rozier
representa un héroe de la técnica pues dos
años después de su primer vuelo exitoso
que atravesara el Sena, intentó el cruce del
canal de la Mancha pero esta vez el
accidente producido por el estallido del
globo de hidrógeno le costó la vida.
La revolución de los transportes
El invento de la locomotora de vapor por el inglés George
Stephenson (1815) vino a incrementar la importancia del
proceso industrial en marcha.
La revolución de los transportes fue consecuencia de la
aplicación de la máquina de vapor al ferrocarril y a la
navegación, junto con las nuevas posibilidades técnicas de
la metalurgia en la fabricación de rieles para las líneas
férreas y cascos de acero para los barcos.
Benjamín Franklin: A partir de 1747 se dedicó principalmente al
estudio de los fenómenos eléctricos. Enunció el Principio de
conservación de la electricidad. De sus estudios nace su obra científica
más destacada, Experimentos y observaciones sobre electricidad. En
1752 lleva a cabo su famoso experimento con la cometa. Ató una
cometa con esqueleto de metal a un hilo de seda, en cuyo extremo
llevaba una llave también metálica. Haciéndola volar un día de
tormenta, confirmó que la llave se cargaba de electricidad,
demostrando así que las nubes están cargadas de electricidad y los
rayos son descargas eléctricas. Gracias a este experimento creó su más
famoso invento, el pararrayos. A partir de ahí, se instalaron por todo el
estado (había ya 400 en 1782), llegando a Europa en la decada de los
'60. Presentó la teoría del fluido único para explicar los dos tipos de
electricidad atmosférica, la positiva y la negativa, a partir de la
observación del comportamiento de las varillas de ámbar, o del
conductor eléctrico
El inventor estadounidense Eli Whitney (1765- 1825) es recordado por su invención de la
desmotadora de algodón y la revolución que produjo en su producción agrícola.
Si bien esta máquina es expresión de importantes avances mecánicos que se producen en la
época, Whitney debe reconocerse como el padre del método de producción masiva. Fue en
1798 cuando al firmar el contrato para producir
10 000 mosquetes, ideó cómo
fabricarlos con la ayuda de máquinas y con un sistema organizativo que en cada puesto
realizara una operación específica. El ensamblaje de las piezas intercambiables así
producidas, originaba el producto final de la cadena. Se afirma que en el escenario
estadounidense, la desmotadora de algodón fortaleció el poderío económico del Sur en
tanto la tecnología de Whitney contribuyó a la victoria del Norte en la Guerra Civil.
Matematica en el siglo XVIII
La teoría de números en el siglo XVIII, se convirtió en una rama independiente, sintetizada
en los trabajos de Euler, Lagrange, Legendre y Lambert entre otros,
Mediante el nuevo cálculo los matemáticos de finales de siglo y comienzos del XVIII
lograron resolver un número, que crecía rápidamente, de importantes problemas difíciles y
prácticos. Estos éxitos prácticos y la elaboración del cálculo, alcanzaron tal nivel, que a
finales de siglo apareció el primer manual de cálculo diferencial y sus aplicaciones a la
geometría; "Análisis Infinitesimal" de G.F. L'Hopital.
En el siglo XVIII la elaboración científica de los problemas matemáticos se concentró casi
exclusivamente en los países de Europa.
Junto a la formación de los fundamentos del análisis matemático -el cálculo diferencial e
integral- hacia comienzos de siglo surgieron resultados también en sus ramas superiores: la
teoría de ecuaciones diferenciales y el cálculo de variaciones.
La teoría de las ecuaciones diferenciales ordinarias obtuvo un desarrollo sistemático,
comenzando con los trabajos de Jo. Bernoulli y J. Ricatti.
Durante el siglo XVIII el problema de la creación de la teoría de funciones se convirtió en el
problema preliminar del análisis infinitesimal. La experiencia señaló a los matemáticos que
todas las funciones conocidas, eran desarrollables mediante series de potencias. Igualmente
se crearon las premisas para la teoría de funciones de variable compleja.
Uno de los rasgos más característicos del análisis infinitesimal durante este siglo XVIII era la poca
claridad de sus conceptos primarios, la imposibilidad de explicar racionalmente la validez de las
operaciones introducidas. Las ideas de los creadores del análisis en esta materia no se distinguían ni
por su constancia ni por su determinación. Tanto Newton como Leibniz llevaron a cabo un conjunto de
intentos de explicar sus cálculos, sin lograr éxito. Entre los numerosos esfuerzos por encontrar una
fundamentación rigurosa al análisis infinitesimal, destacan los de Euler y D'Alembert.
Según Euler, el concepto fundamental no es el de diferencial, sino el de derivada; en lo que se refiere a
los infinitesimales o diferenciales, ellos son simplemente ceros exactos. Pero esta teoría de Euler no
pudo ser reconocida como satisfactoria pues se limitaba a enmascarar los pasos reales al límite, los
cuales prácticamente se llevaban a cabo en la diferenciación de funciones.
D'Alembert por su parte, ponía objeciones a la teoría de los ceros de Euler y sostenía que la notación de
los diferenciales no es más que una manera vaga de hablar, que depende para su justificación del
lenguaje de los límites. Sin embargo, la teoría de los límites del siglo XVIII, no obtuvo el
reconocimiento de la mayoría de sus contemporáneos.
El trabajo más serio que reveló la posibilidad total del cálculo diferencial algebraico y que determinó
su destino fue el gran trabajo de Lagrange, "Teoría de las funciones analíticas...". Demostró que toda
función y=f(x+h) puede ser desarrollada en serie de potencias en la forma f(x+h)=f(x)+ph+qh2+rh3...
excepto en determinados valores del argumento. Las series de potencias fueron pues, utilizadas para la
aproximación de cualquier función por polinomios. Además dedujo la fórmula del resto y el teorema
del valor medio. Los coeficientes del desarrollo polinómico fueron definidos por Lagrange como
derivadas sucesivas. Pero siguió sin resolver el concepto de límite y las operaciones con series carecían
de fundamento, al realizarse sin el estudio de la convergencia de la serie. Semejantes dificultades
existieron durante mucho tiempo, hasta que a finales del siglo XIX fue creado el "aparato de la teoría
de límites.
Analisis Matematico
Cálculo Diferencial: el cálculo diferencial conservó una estrecha relación con el
cálculo de diferencias finitas, originado en los trabajos de Fermat, Barrow, Wallis
y Newton entre otros. Así en 1711 Newton introdujo la fórmula de interpolación de
diferencias finitas de una función f(x); fórmula extendida por Taylor al caso de
infinitos términos bajo ciertas restricciones, utilizando de forma paralela el cálculo
diferencial y el cálculo en diferencias finitas.
El aparato fundamental del cálculo diferencial era el desarrollo de funciones en
series de potencias, especialmente a partir del teorema de Taylor, desarrollándose
casi todas las funciones conocidas por los matemáticos de la época. Pero pronto
surgió el problema de la convergencia de las serie, que se resolvió en parte con la
introducción de términos residuales, así como con la transformación de series en
otras que fuesen convergentes.
Junto a las series de potencias se incluyeron nuevos tipos de desarrollos de
funciones, como son los desarrollos en series asintóticas introducidos por Stirling y
Euler.
La acumulación de resultados del cálculo diferencial transcurrió rápidamente,
acumulando casi todos los resultados que caracterizan su estructura actual. Por
ejemplo Euler demostró que en df(x,y)=Pdx+Qdy
Cálculo Integral: los logros en este terreno pertenecieron inicialmente a J.Bernoulli, quien escribió el primer
curso sistemático de cálculo integral en 1742.
Sin embargo, fue Euler quien llevó la integración hasta sus últimas consecuencias, de tal forma que los
métodos de integración indefinida alcanzaron prácticamente su nivel actual.
El cálculo de integrales de tipos especiales ya a comienzos de siglo, conllevó el descubrimiento de una serie
de resultados de la teoría de las funciones especiales. Entre ellas citaremos las funciones gamma y beta, el
logaritmo integral o las funciones elípticas. También se desarrolló el método de las sustituciones complejas.
Ecuaciones Diferenciales: la teoría de las ecuaciones diferenciales ordinarias se había desarrollado ya
considerablemente antes de esta época, pero el problema más difícil de la resolución de ecuaciones en
derivadas parciales era entonces un campo abierto para los pioneros. El problema de la integración de
ecuaciones diferenciales, en su inicio, se presentaba como parte de un problema más general: el problema
inverso del análisis infinitesimal. Además cada una de las ecuaciones estaba justificada por la existencia de
un problema concreto, no existiendo a principios de siglo una teoría general, con lo que la vía utilizada, fue la
de resolver clases de ecuaciones lo más amplias posibles.
Los primeros intentos de resolución se centraron en las ecuaciones diferenciales lineales, advirtiéndose
resultados notables ya en los años 20 con los trabajos de Ricatti, Golbach, Bernoulli y Leibniz. En el año
1743 Euler publicó el método de resolución de una ecuación diferencial lineal homogéneo de cualquier
orden, mediante la sustitución y=ekx o similares. D'Alembert encontró en 1766 que la solución general de una
ecuación no homogénea lineal, es igual a la suma de cierta solución particular y la solución general de la
correspondiente ecuación homogénea.
Junto a las ecuaciones diferenciales ordinarias, fueron encontradas las soluciones de ciertas ecuaciones en
derivadas parciales, llevadas a cabo especialmente por Euler y D'Alembert. Así, las ecuaciones diferenciales
en derivadas parciales de segundo orden surgieron preferentemente en el curso de resolución de problemas
físicos, entre los que cabe señalar el problema de la cuerda, que conduce a la ecuación: resuelta por Euler.
Fue a finales de los 70 cuando Lagrange estableció la forma de obtener soluciones singulares, así como la
interpretación de las mismas como la familia de envolventes de las curvas integrales. El estudio de estas
familias de curvas integrales y la solución de problemas sobre la búsqueda de trayectorias envolventes e
isogonales dio lugar a la aparición de una nueva rama dentro de la geometría: la geometría diferencial.
Cálculo de Variaciones: el cálculo de variaciones surgido en este siglo, recibió en
los trabajos de Euler y Lagrange la forma de una teoría matemática rigurosa,
posibilitando la resolución de un gran número de problemas de carácter práctico,
referidos a la determinación de los extremos de las funciones y que no admitían
resolución con los medios del recientemente aparecido análisis infinitesimal. Entre
estos problemas citaremos el problema isoperimétrico o el de las líneas geodésicas
sobre las superficies.
El primer método general de resolución de problemas de variaciones, fue
elaborado en una serie de trabajos de Euler durante los años 1726 a 1744,
presentando la primera formulación general de un problema de variaciones
unidimensionales en 1735. Cuatro años después, este método fue generalizado,
publicando ya en 1744, el que podríamos considerar como primer libro de la
historia sobre cálculo de variaciones. En el libro de Euler se citan más de 60
ejemplos que ilustran las posibilidades del nuevo método. En ellos se demuestra el
valor práctico del cálculo y se establece su estrecha relación con la mecánica y la
física. El objetivo de este método general era la búsqueda de líneas curvas para las
cuales cierta magnitud prefijable, alcanza su valor máximo o mínimo. Pese a la
practicidad del método, éste adolecía de cierta falta de rigor sobre todo en
cuestiones relacionadas con los pasos al límite.
La situación cambió como consecuencia de la puesta en común de ideas por parte
de Euler y Lagrange, al comunicar éste último, el método general analítico de
cálculo de la variación de la integral, mediante la integración por partes.
GEOMETRÍA
Ya en el siglo XVIII se completó el conjunto de las
disciplinas geométricas y, excluyendo sólo las geometrías
no euclideanas y la apenas iniciada geometría analítica,
prácticamente todas las ramas clásicas de la geometría, se
formaron en este siglo. Además surgieron la geometría
diferencial, descriptiva y proyectiva, así como numerosos
trabajos sobre los fundamentos de la geometría. Entre los
diferentes problemas y métodos de la geometría, tuvieron
gran significado las aplicaciones geométricas del cálculo
infinitesimal. De ellas surgió y se desarrolló la geometría
diferencial, la ciencia que ocupó durante el siglo XVIII el
lugar central en al sistema de las disciplinas geométricas.
Geometría Analítica:
Bajo esta denominación se considera aquella parte de la geometría donde se estudian las figuras y
transformaciones geométricas dadas por ecuaciones algebraicas. Las puertas a esta rama fueron
abiertas, ya en el siglo XVII por Descartes y Fermat, pero sólo incluían problemas planos. Hubo de ser
Newton quien en 1704 diera un paso importante al publicar la obra, "Enumeración de las curvas de
tercer orden", clasificando las curvas según el número posible de puntos de intersección con una recta,
obteniendo un total de 72 tipos de curvas, que se podían representar por ecuaciones de cuatro tipos. Si
designamos ax3+bx2+cx+d=A, entonces las soluciones indicadas serán: xy2+ey=A ; xy=A ; y2=A ; y=A.
Sin embargo, lo verdaderamente importante de esta obra fue el descubrimiento de las nuevas
posibilidades del método de coordenadas, definiendo los signos de las funciones en los cuatro
cuadrantes.
Con posterioridad a Newton, las curvas de tercer orden fueron estudiadas por Stirling, Maclaurin,
Nicolle, Maupertius, Braikenridge, Steiner, Salmon, Silvestre, Shall, Clebsch y otros.
Fue Euler quien, en 1748, sistematizó la geometría analítica de una manera formal. En primer lugar
expuso el sistema de la geometría analítica en el plano, introduciendo además de las coordenadas
rectangulares en el espacio, las oblicuas y polares. En segundo lugar, estudió las transformaciones de
los sistemas de coordenadas. También clasificó las curvas según el grado de sus ecuaciones, estudiando
sus propiedades generales. En otros apartados de sus obras trató las secciones cónicas, las formas
canónicas de las ecuaciones de segundo grado, las ramas infinitas y asintóticas de las secciones cónicas
y clasificó las curvas de tercer y cuarto orden, demostrando la inexactitud de la clasificación
newtoniana. También estudió las tangentes, problemas de curvaturas, diámetros y simetrías,
semejanzas y propiedades afines, intersección de curvas, composición de ecuaciones de curvas
complejas, curvas trascendentes y la resolución general de ecuaciones trigonométricas. Todo estos
aspectos se recogen en el segundo tomo de la obra "Introducción al análisis..." que Euler dedicó
exclusivamente a la geometría analítica.
En la segunda mitad del siglo se introdujeron sólo mejoras parciales, pues en lo fundamental, la
geometría analítica ya estaba formada. Destacaremos entre otros los nombres de G. Monge, Lacroix y
Menier.
Geometría diferencial
Esta disciplina matemática se encarga del estudio de los objetos geométricos, o sea, las curvas,
superficies etc... Su singularidad consiste en que partiendo de la geometría analítica utiliza métodos del
cálculo diferencial.
A comienzos de siglo ya habían sido estudiados muchos fenómenos de las curvas planas por medio del
análisis infinitesimal, para pasar posteriormente a estudiar las curvas espaciales y las superficies. Este
traspaso de los métodos de la geometría bidimensional al caso tridimensional fue realizado por
Clairaut. Sin embargo, su obra fue eclipsada, como casi todo en esta época, por los trabajos de Euler.
El primer logro de Euler en este terreno, fue la obtención de la ecuación diferencial de las líneas
geodésicas sobre una superficie, desarrollando a continuación una completa teoría de superficies,
introduciendo entre otros el concepto de superficie desarrollable.
A finales de siglo, el desarrollo de esta rama entró en un ligero declive, debido principalmente a la
pesadez y complejidad del aparato matemático.
Geometría descriptiva y proyectiva
Los métodos de la geometría descriptiva surgieron en el dominio de las aplicaciones técnicas de la
matemática y su formación como ciencia matemática especial, se culminó en los trabjos de Monge,
cuya obra en este terreno quedó plasmada en el texto "Géometrie descriptive". En la obra se aclara, en
primer lugar, el método y objeto de la geometría descriptiva, prosiguiendo a continuación, con
instrucciones sobre planos tangentes y normales a superficies curvas. Analiza en capítulos posteriores
la intersección de superficies curvas y la curvatura de líneas y superficies.
El perfeccionamiento de carácter particular y la elaboración de diferentes métodos de proyección
contituyeron el contenido fundamental de los trabjos sobre geometría proyectiva en lo sucesivo. La
idea del estudio de las propiedades proyectivas de los objetos geométricos, surgió como un nuevo
enfoque que simplificara la teoría de las secciones cónicas. Las obras de Desargues y Pascal resuelven
este problema y sirven de base a la nueva geometría.
Leonhard Euler nació el 15 de abril de 1707 en Basilea, Suiza. Murió el 18 de septiembre de
1783 en San Petersburgo, Rusia. Vivió en Rusia la mayor parte de su vida. Probablemente
fue uno de los más grandes matemáticos de la historia, comparable a Gauss, Newton o
Arquímedes
Posiblemente es el matemático más prolífico de la historia. Su actividad de publicación fue
incesante (un promedio de 800 páginas de artículos al año en su época de mayor producción,
entre 1727 y 1783), la mayor parte de su obra completa está sin publicar. La labor de
recopilación y publicación completa de sus trabajos comenzó en 1911 y no hay indicios de
que se complete. El proyecto inicial planeaba el trabajo sobre 887 títulos en 72 volúmenes,
pero en la actualidad se supone que alcanzará los 200 con facilidad. Se le considera el ser
humano con mayor número de trabajos y artículos en cualquier campo del saber, solo
equiparable a Gauss.
Fue el primero en emplear la notación f(x) , introdujo el símbolo Σ para expresar sumatorios., el número "e" como límite
de una sucesión y cuya propiedad más importante es la de su derivada equivalente, unió los símbolos matemáticos más
trascendentes ( e, pi, i, -1) en forma de una Contribución a las notaciones, sentó las bases del análisis matemático
avanzado al generalizar su fórmula para que conectase las funciones exponenciales y las trigonométricas. Con ello
también desarrolló el cálculo complejo. Euler ya empleaba las series de Fourier antes de que el mismo Fourier las
descubriera y las ecuaciones de Lagrange del cálculo variacional, las Ecuaciones de Euler-Lagrange.
En su tratado de 1739 introdujo explícitamente el concepto de partícula y de masa puntual. Introdujo la notación vectorial
para representar la velocidad y la aceleración, que definiría todo el estudio de la Mecánica hasta Lagrange. Definió los
tres ángulos de Euler para describir la posición. Publicó el teorema principal del movimiento. Solución del movimiento
libre (consiguió despejar los ángulos en función del tiempo). Estudió el flujo de un fluido ideal incompresible, detallando
las Ecuaciones de Euler de la Hidrodinámica. Adelantándose más de cien años a Maxwell previó el fenómeno de la
Presión de Radiación, fundamental en la teoría unificada del Electromagnetismo. Publicó trabajos sobre el movimiento
de la luna. Problema de los puentes de Königsberg. Demostró que un esquema de dichos puentes no podía recorrerse.
Este problema pudo haber sido la primera aplicación en teoría de grafos o en topología. Desarrolló el teorema de
poliedros de Euler. Dentro del campo de la geometría analítica descubrió además que tres de los puntos notables de un
triángulo (baricentro, ortocentro y circuncentro) podían obedecer a una misma ecuación, es decir, a una misma recta.
Logró hallar en 1736 la suma de los recíprocos de los cuadrados, buscada por grandes matemáticos como Jacques
Bernoulli (hijo de Jean Bernoulli), es decir:
Jean Le Rond D’Alembert
Ayudó a resolver la controversia en física sobre la conservación
de la energía cinética mejorando la definición de Newton de la
fuerza en su "Tratado de Dinámica" (1742), que articula el
principio de mecánica de D’Alembert. En el año 1744 aplicó los
resultados obtenidos en el equilibrio y movimientos de fluidos.
Fue pionero en el estudio de ecuaciones diferenciales y pionero
en el uso de ellas en la física.
Fue uno de los primeros en comprender la importancia de las funciones y definió la
derivada de una función como el límite de los cuocientes de los incrementos.
D’Alembert fue el que más se acercó a una definición precisa de límite y de derivada. Más
en realidad toda duda se desvanecía ante el éxito de sus aplicaciones, de manera que el
cálculo infinitesimal, más que una rama de la matemática, se convertía en una especie de
doncella de la ciencia natural, en un auxiliar muy valioso, pero auxiliar al fin de las varias
ramas de la física.
D’Alembert también estudió hidrodinámica, mecánica de los cuerpos, problemas de
Astronomía y circulación atmosférica.
Joseph-Louis Lagrange
A los diecinueve años de edad, obtuvo fama resolviendo el así
llamado problema isoperimétrico, que había desconcertado al
mundo matemático durante medio siglo. Comunicó su
demostración en una carta a Euler, el cual se interesó
enormemente por la solución, de modo especial en cuanto
concordaba con un resultado que él mismo había hallado.
Euler con admirable tacto y amabilidad respondió a Lagrange,
ocultando deliberadamente su propia obra, de manera que todo
el honor recayera sobre su joven amigo. En realidad Lagrange
no sólo había resuelto un problema, también había inventado
un nuevo método, un nuevo cálculo de variaciones, que sería el
tema central de la obra de su vida. El principio ha conducido a
los resultados aún más fructíferos de Hamilton y Maxwell, y ,
actualmente, continúa, en la obra de Einstein y en las últimas
fases de la mecánica ondulatoria. Señaló defectos, incluso en
la obra de Newton.
Otros matemáticos le reconocían, sin envidia, primero como su compañero y más tarde, como
el mayor matemático viviente.Su obra mas importante Mécanique Analytique, Los años de
actividad producieron su efecto, y Lagrange al final de su vida estaba desgastado
matemáticamente. Durante dos años, no abrió ni una sola vez su Mécanique Analytique; por el
contrario, dirigía sus pensamientos a cualquier otro punto, a la metafísica, la historia, la
religión, la medicina,..etc
El primer trabajo científico de Laplace fue su aplicación de las matemáticas a
la mecánica celeste. A Newton y otros astrónomos les fue imposible explicar las
desviaciones de los planetas de sus órbitas, predichas matemáticamente. Así por
ejemplo, se determinó que Júpiter y Saturno se adelantaban a veces, y otras se
retrasaban con respecto a las posiciones que debían ocupar en sus órbitas.
Laplace ideó una teoría, que confirmó con pruebas matemáticas, que las
variaciones eran normales y se corregían solas en el transcurso de largas
etapas de tiempo. Se consideró que está teoría tenía gran importancia para
entender las relaciones de los cuerpos celestes en el Universo, y ha soportado la
prueba del tiempo sin sufrir más que correcciones relativamente secundarias.
Escribió artículos acerca de la fuerza de gravedad, el movimiento de los proyectiles y el flujo y reflujo de
las mareas, la precesión de los equinoccios, la forma y rotación de los anillos de Saturno y otros
fenómenos. Estudió el equilibrio de una masa líquida en rotación; también ideó una teoría de la tensión
superficial que era semejante al moderno concepto de la atracción o cohesión molecular dentro de un
líquido. Trabajando con Lavoisier, estudió el calor específico y la combustión de diversas sustancias, y
puso los cimientos para la moderna ciencia de la termodinámica. Inventó un instrumento, conocido con el
nombre de calorímetro de hielo, para medir el calor específico de una sustancia. El calorímetro media la
cantidad de hielo fundido por el peso dado de una sustancia caliente cuya temperatura se conocía.
Entonces, podía calcularse matemáticamente su calor específico. Al estudiar la atracción gravitacional de
un esferoide sobre un objeto externo, ideó lo que se conoce hoy como ecuación de Laplace, que se usa
para calcular el potencial de una magnitud física en un momento dado mientras está en movimiento
continuo. Esta ecuación no sólo tiene aplicación en la gravitación, sino también en la electricidad, la
hidrodinámica y otros aspectos de la física. Entre 1799 y 1825, Laplace reunió sus escritos en una obra de
cinco volúmenes, titulada Mecánica Celeste, en la que se proponía dar una historia de la astronomía,
sistematizando la obra de generaciones de astrónomos y matemáticos, y ofreciendo una solución completa
a los problemas mecánicos del sistema solar. En 1812 publicó su Teoría analítica de las probabilidades,
que es un estudio sobre las leyes de probabilidad.
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