Ecuaciones de Retemblado
Planteamiento Modal
Análisis Modal
M x  C x  Kx  f
Ecuación dinámica
 M   i C  K X  0
Si f=0, para x  Xe
 K  X   M  X
Si C=0
Problema de valores propios. Solución:
i t
2
2
Frecuencias naturales r (r=1,...,N)
Modos de vibración r (r=1,...,N)
Descomposición Modal
Ortogonalidad de los modos
 r M  r  0
T
 r K  r  0
T
Descomposición modal: x         
Para amort. Proporc. la ec. din. resulta:
r
r
r
 T M     T C      T K      T  f 
O bien:
Ecuaciones desacopladas
Ecuación modal r: m   c 
M d   C d    K d     
r
r
r
T
f 
 k r r   r 
T
r
f 
Retemblado. Ecuaciones Modales
m   c   k      f 
Partimos de
Dividiendo por mr   2       1 m    f 
Las fuerzas de corte son fuerzas internas
Normalizando los modos de forma que el
desplazamiento relativo pieza herramienta
tenga módulo unidad    cos  , cos  , cos  
Las fuerzas de corte son F    cos  , cos  , cos   A
Siendo Ac la sección de viruta cortada y 
una constante con dimensiones de presión
T
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
2
r
r
T
r
r
r
T
ph
r
r
r
r
T
c
r
c
c
c
c
Retemblado. Ecuaciones Modales
Ac es función del producto de movimiento
según 2 direcciones. En torneado:
Ac  t z 0  t z t x 0  t x 

dA c  t z 0 t x  t x 0 t z
Siendo tx y tz las variaciones en
profundidad de corte y avance por vuelta.
dA c  t z 0 t x  t x 0 t z  t z 0 cos  r  t x 0 cos  r  r t    x t z 0 cos  r   z t x 0 cos  r  r t   
 x y z factores de recubrimiento
Retemblado. Ecuaciones Modales
Sustituyendo en las ecuaciones anteriores:
  ph r Fc r  cos  r cos  c  cos  r cos  c  cos  r cos  c  Ac   Ac cos  
T
 t z 0 cos  cos  r  r t    x r t      t x 0 cos  cos  r  r t    z r t   
La rigidez de corte modal resulta
K cr   cos  t z 0 cos  r  t x 0 cos  r 
y el factor de recubrimiento modal
 cos   x t z 0 cos  r   z t x 0 cos  r   K cr r
r 
 x t z 0 cos  r   z t x 0 cos  r
t z 0 cos  r  t x 0 cos  r
Proyección Modal de las Fuerzas
Dirección
Fuerza corte

Dirección
modal
Ecuaciones modales
Como resumen de las ecuaciones obtenidas
m rr  c r r  k r  K c  r  K c r r ( t   )  0
siendo:
K cr   cos  t z 0 cos  r  t x 0 cos  r 
r 
 x t z 0 cos  r   z t x 0 cos  r
t z 0 cos  r  t x 0 cos  r
Ejemplo
Ejemplo
Parámetros Modales:
 rx
 ry
 rz
3 ,5
0 ,2
1
0 ,2
800
3
1
0 ,2
0 ,1
20
0 ,5
1
1
0
Nº
m odo
F rec.
(H z)
M asa
(K g )
A m o rtig .
 (% )
1
61
1000
2
85
3
153
Reescalado de los modos:
cos  r 
 rx
  
 0 ,192
2
2
2
rx
ry
rz
cos  r 
 ry
  
 0 ,962
2
2
2
rx
ry
rz
cos   cos  r cos  c  cos  r cos  c  cos  r cos  c
 rz
cos  r 
Mr 
  
2
2
rx
ry
rz
Mr
  
N º M odo
Mr
co s  r
co s  r
co s  r
1
9 2 5 ,9 3
0 ,1 9 2
0 ,9 6 2
0 ,1 9 2
2
7 6 1 ,9 0
0 ,9 7 6
0 ,1 9 5
0 ,0 9 8
3
1 0 ,0 0
0 ,7 0 7
0 ,7 0 7
0
 0 ,192
2
2
2
2
rx
ry
rz
Ejemplo
Proceso de torneado. Fuerzas de corte:
 Fx  C x 
 cos  c 
1,1 
   

 9


F

C
A

0
,
35
10
A


cos

A
 y  y c 


c
c c
   
1, 6 
 cos  
F
C


c 

 z  z
Los cosenos de corte y  resultan
cos  c  0 ,558
 
cos  c  0 ,177
C x  C y  C z  1, 973 . 10
2
2
Y el cos es:
2
cos  c  0 ,811
9
cos   cos  r cos  c  cos  r cos  c  cos  r cos  c
M odo
1
2
3
co s
0 ,4 3 3
0 ,6 5 9
0 ,5 2 0
Ejemplo (2)
Combinación óptima de avance y profundidad corte
 Suponiendo una velocidad de pieza, existe un valor cr para
2
K


K



mr
cr
cr
cr
r
el modo r
 Teniendo en cuenta la expresión de Kcr
2
 cr  r m r
2
 cos  r t 0 z cos  r  t 0 x cos  r    cr  r m r  t 0 z cos  r  t 0 x cos  r 
 cos  r
 La productividad es máxima si Ac=t0x t0z es máxima
 Despejando t0z en la expresión del umbral de estabilidad
 cr  r m r
2
t0 z 
 cos  r cos  r

cos  r
cos  r
t0 x

2


 cr  r m r
cos  r
Ac  

t 0 x  t 0 x
  cos  r cos  r cos  r

Ejemplo (3)
El máximo se obtiene por derivación
2
t0 x 
2  cos  r cos  r
t0 z 
Para el umbral absoluto
2 r 1   r  r m r
2
t0 x 
2  cos  r cos  r
 cr  r m r
2
 cr  r m r
2  cos  r cos  r
2 r 1   r  r m r
2
t0 z 
2  cos  r cos  r
Valores óptimos de avance y profundidad
M o do
1
2
3
t 0 x (m m )
2 9 ,9
5 3 ,0

t 0 z (m m )
2 9 ,9
5 ,3 0
0 ,0 6 4
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