Diaposit. 1
INVESTIGACIÓN
Dados N puntos en el plano, averiguar el nº de rectas determinadas
por ellos.
Observaciones:
1. Tendremos que hacer uso del intuitivo axioma de Euclides:
“2 ptos. determinan una recta”
2
Es necesario saber como están situados dicho ptos. en el plano. Información
que complementaremos nosotros mediante supuestos. Empezaremos por el
supuesto que algunos ven implícito en el enunciado original. Supuesto 1:
Entre los N ptos. dados, no existen 3 que estén en la misma recta.
(Después, se pueden plantear supuestos: supuesto 2, supuesto 3, etc.)
3.
Podemos resolver el problema de forma INDUCTIVA (lo que se acomoda al
conocido heurístico: EMPIEZA POR LO FÁCIL y ve observando,
anotando, analizando lo que pasa, conforme lo vas haciendo más difícil) o
atacarlo directamente en su formulación general
Diaposit. 2
Recordemos enunciado completo en supuesto 1 : Dados N ptos. en
el plano, averiguar el nº de rectas determinadas por ellos. Entre los
N ptos. dados, no existen 3 que estén en la misma recta.
En nuestro caso lo fácil o difícil depende del valor de N, así que, construyamos una
tabla empezando por lo más sencillo: N = 2, 3, 4, 5, 6... N.
N(nº de ptos.)
2
Representación
(nº de rectas determinadas)
1
3
3
4
6
4 rectas desde el vértice elegido. ¿y
desde los otros vértices?: ¡otras 4!
5
¡Pero cada recta está contada 2 veces!
Para “arreglarlo” tendré que contar sólo la mitad de ellas
.....
4*5=20.
20/2 = 10
R
Diaposit. 3
N(nº de ptos.)
Representación
(nº de rectas determinadas)
R
2
1
3
3
4
6
5
4 rectas desde el vértice elegido. ¿y
desde los otros vértices?: Otras 4.
¡Pero cada recta está contada 2 veces!
Para “arreglarlo”, tendré que contar sólo la mitad de ellas:
6
5 rectas desde el pto elegido (las que
resultan al unir con el resto de ptos.)
Al igual que en el caso anterior,si cuento todas
las rectas que pasan por cada pto., cada recta
la habré contado en 2 ocasiones (en los 2 ptos.
que la determinan), luego he de “arregrarlo”:
4desde cada vértice*5vértices =20
20/2=
10
5desde cada vértice*6vértices =30
30/2=
15
Diaposit. 4
Y ahora, supongamos que tengo N ptos. (o vértices) numerados.
1
2
Enlacemos uno de ellos
(p. e. el “N”) con el resto.
N
3
N-1
4
¿Cuántas rectas salen?
N-2
5
6
7
¡Tantas como ptos. con los que
unir N, es decir N-1 rectas!
Luego si de un pto cualquiera (todos son “iguales”), salen N-1 rectas, dado
que tengo N ptos., está claro (“casi”) que en total tendré N*(N-1) rectas.
El “casi” es una pequeña “metedura de pata”, porque por ese procedimiento cada recta
la he contado “exactamente” 2 veces y sólo debo contarla 1 vez... El asunto tiene fácil
arreglo si “la descuento 1 vez de cada 2 contadas”, lo cual equivale contar sólo la
mitad de las que salían en el párrafo anterior, es decir, quedaría: N*(N-1)/2 rectas
Diaposit. 5
Enunciados alternativos en el supuesto 1
1. Contexto no geométrico: A una fiesta acuden N amigos, todos se
saludan entre sí. ¿Cuántos saludos se producen?
1
2
N
3
4
N-1
6
5
OBSERVACIÓN METODOLÓGICA:
Contar doble [ N*(N-1) ], para luego dividir por 2 [ N*(N-1)/2 ],
resulta, sin duda, más artificioso que ir sumando ordenadamente
[ (N-1) + (N-2) + … +5+4+3+2+1+0) ] en alusión a los desplazamientos que realizan, respectivamente, desde el gato N, hasta el gato 1
(que no necesita moverse, pues todos han venido a saludarle).
Se podría pues adoptar esta opción desde el principio (3º columna
de diapositivas 3) y deducir la fórmula del final de la diapositiva
anterior en el nivel puramente matemático.
2. Contexto geométrico: ¿Cuánto suman los lados y las diagonales de
un N-gono?
PROBLEMA RELACIONADO CON EL SUPUESTO 1
Si sólo se preguntara por el nº de diagonales de un N-gono, se podría aprovechar lo ya hecho
(restando N a la expresión obtenida al final de la diapositiva anterior), o bien contar
directamente las diagonales por parecido procedimiento al utilizado para las rectas…
lógicamente, ambas expresiones algebraicas deben ser equivalentes.
Presentación realizada con la versión Xp del Office. Para versiones anteriores pueden alterarse algunos efectos.
Diaposit. 6
Supuesto 2
Supongamos que los N ptos. están alienados. (Sería el caso
“opuesto” del supuesto 1). Es decir:
¿Cuántas rectas salen?
1
2
3
¡Es obvio que sólo hay una recta
determinada por tales puntos. Justo
la recta que indica el alineamiento!
4
5
6
7
N-1
N
Diaposit. 7
Supuesto 3
Supongamos que de los N ptos. (N-1) están alineados y 1
pto. (el último de ellos) fuera de dicha línea recta, es decir :
1
N
2
3
+¿Cuántas rectas salen?
4
5
6
7
N-1
Serán N: 1 (del alineamiento) + N-1(de unir el “N” con el resto de ptos.)
Diaposit. 8
Etc.
Este etc. es para que tú sigas investigando.
¿Puedes representar algún supuesto más?
¿Se podrá hacer algún tipo de generalización en función del número
grupos de ptos. alineados, el número ptos. que conforman cada
grupo alineado, el número de ptos. que pertenecen a varios
alineamientos a la vez …?
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Cuántas rectas determinan N puntos