Inicios en Matemáticas
NCCEP - UT Austin
Más Álgebra
con algo de Geometría
Comparando Fracciones
ACTIVIDAD:
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
En el Navigator, open Frac.act
Los estudiantes contribuyen con fracciones
que están:
(1)
Entre las fracciones dadas.
(2)
Más cerca de alguna de estas
fracciones.
(3)
Equivalente a una fracción dada
(recta de arriba)
Repetir 1 y 2 con decimales
Discutir la relación entre fracciones y
decimales
(1)
¿Qué significa decimal equivalente?
(2)
¿Todas las fracciones tienen
decimales equivalentes?
(3)
¿Todos los decimales tienen
fracciones equivalentes?
(4)
Compare el uso práctico de notación
entre fracciones y decimales
(¿cuándo es más conveniente utilizar
uno y otro?)
¿Qué son los números irracionales?
Π / 9 es un número entre 1/2 y 1/4.
(a) Encuentre fracciones que estén
cercanas a este valor; (b) Encuentre
decimales cercanos a este valor; (c)
Estas son aproximaciones: En algún
momento, ¿podríamos representar
exáctamente qué tan “lejos” están
estas aproximaciones en notación
decimal? ¿En cualquier otra
notación?
CONFIGURACIÓN:
(1)
(2)
(3)
Utilice el ZOOM abriendo (o cerrando)
para identificar o examinar contribuciones
Si quiere enviar la nueva configuración a
las calculadoras, DETENGA la actividad
de nuevo. Si NO quiere que los
estudiantes pierdan su trabajo, cambie la
configuración para que los estudiantes
inicien con “Ecuaciones de la
Calculadora” ANTES DE COMENZAR.
Los estudiantes pueden salirse del
Centro de Actividades para utilizar la
calculadora y después entrar de nuevo
Fracciones y Pendientes
ACTIVDAD:
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
En el Navigator, abrir FracX.act
Los estudiantes pueden enviar rectas que
estén:
(1)
Entre las rectaas dadas (con la misma
intersección)
(2)
Más cercanas a una de las rectas
(3)
Rectas con pendientes equivalentes a
una recta (recta de arriba)
Repetir 1-2 con decimales
Discutir utilizando ideas sobre funciones
(1)
Regiones en las que una recta [f(x)]
está “arriba” de la otra [f(x)>g(x)],
¿Está siempre arriba? ¿En qué región
son iguales las dos rectas? [f(x) = g(x)]
Acercamiento a través del zoom. Agregue la
Cuadrícula.
(1)
(2)
(3)
Pregunte si las rectas con pendientes - por
ejemplol, de 1/2, en algún momento pasarán
por un lugar en el que cruzan la cuadrícula
horizontal y vertical? ¿Pueden predecir
algunos de estos lugares? Se puede acercar a
estos lugares al ajustar la configuración de los
ejes.
Regrese a la escala original y pregunte si la
recta con pendiente π/9 toca alguna de las
intersecciones de la cuadrícula en algún lugar.
Pida a los estudiantes que contribuyan con
pendientes cuyos valores estén entre los
valores de las pendientes de las rectas dadas,
pero que no toquen las intersecciones de la
cuadrícula (¡nunca!). Anteriormente podría
preguntar acerca de otros números racionales
importantes (raíz cuadrada de 2, e, etc.)
CONFIGURACIÓN:
(1)
(2)
(3)
Utilice el ZOOM abriendo (o cerrando) para
identificar o examinar las contribuciones
Si desea enviar la nueva configuración a las
calculadoras, PARE la actividad y luego
INICIE la actividad de nuevo. Si NO desea
que los estudiantes pierdan su trabajo,
cambie la configuración para que los
estudiantes inicien con “Ecuaciones de la
Calculadora” ANTES DE COMENZAR.
Los estudiantes pueden salir del Centro de
Actividades para utilizar la calculadora y
después entrar de nuevo
Puntos en la Cuadrícula
ACTIVIDAD:
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
Abra el archivo GridwLines.act
Pida a los estudiantes que introduzcan los
valores de x y y (en L1 y L2)
correspondientes a los puntos de una
función lineal [e.g. Y=3/4x] y que se
encuentren en la intersección de la
cuadrícula (ver recta blanca a
continuación)
Ahora, introduzca una función que pase
por todos los puntos.
Reto mayor:
(1)
Funciones lineales con ordenada
al origen ≠0 (Y1=3/4x +2)
(2)
Utilice pendientes negativas (Y1=3/4x)
Cambie la cuadrícula para que la distancia
sea de 0.5 (preferencias)
CONFIGURACIÓN:
(1)
(2)
Tabulador Lista-Gráfica
Utilice el ZOOM para incluir todos los valores
Paralelas y Perpendiculares
ACTIVIDAD:
(1) Abra el archivo Para.act
(2) Paralelas
(1) Envíe todas las líneas que sean
paralelas a una recta dada
(2) Observe las respuestas de los
estudiantes y discuta los patrones
emergentes y áreas de oportunidad
(3) ¿Pueden expresar el valor de la
pendiente utilizando decimales?
(3) Perpendicular - Abrir Perp.act
(1) Envíe rectas que sean perpendiculares
a una recta dada
(2) Discuta los patrones que se observan
(3) Los alumnos ¿pueden expresar la
pendiente de la perpendicular utilizando
decimales? ¿Otros enteros?
(4) ¿Cuál es la pendiente de la recta
perpendicular a todas las rectas que
han enviado?
CONFIGURACIÓN:
(1)
(2)
Tabulador Gráfica-Ecuaciones
Utilice el ZOOM para mostrar todas las
ecuaciones
Paralelogramos y Rectángulos
ACTIVIDAD:
(1) Abra PGram.act
(2)
(3)
Paralelogramo
(1) Pida a los estudiantes que
utilicen rectas paralelas
(no horizontales) para que
construyan y contribuyan
con un paralelogramo.
[Nota: realce 4 rectas de
los estudiantes a la vez]
(2) Ahora construya un
paralelogramo en el tercer
cuadrante
Rectángulo
(1) Pida a los estudiantes que
utilicen rectas paralelas
(no horizontales) para
construir un rectángulo.
(2) Ahora construya un
rectángulo en el segundo
cuadrante
(3) ¿Pueden dibujar un
cuadrado?
CONFIGURACIÓN:
(1)
(2)
Esconda todas las funciones y
posteriormente resalte (muestre) de Y1
a Y4 para algún estudiante.
Utilice el Zoom abierto o cerrado para
encontrar ejemplos extremos
Resolviendo (es Igual a)
ACTIVIDAD:
Abra el archivo Solving.act
Empiece con lo siguiente:
2x - 1 = x + 2
set
Y1 = 2x - 1 (el lado izquierdo)
Y2 = x + 2 (el lado derecho)
(3)
Ahora pida a los estudiantes que continúen
hacia la resolución de:
(2x -1 ) + 1 = (x + 2) + 1
2x = x + 3
Introduzca cada “lado” para Y3 y Y4:
Y3 = 2x
Y4 = x + 3
(4)
Continúe hasta que quede la “solución”
Y5 = x
Y6 = 3
(5) Resalte una recta vertical en x = 3, ¿qué
podemos observar?
(6) Resalte en grupos de 4
(1)
(2)
(7)
Reto:
*Pida a los estudiantes que contribuyan
con otras ecuaciones para que tengan la
misma solución que el sistema de
ecuaciones original (x = 3)
• Pregunte cómo obtuvieron estas otras
ecuaciones.
• Pida que contribuyan con Y1-Y6, como se
mostró anteriormente.¿Qué similitudes
hay? ¿Estos patrones también serían
válidos para otros ejemplos?
CONFIGURACIÓN:
(1)
(2)
Utilice x= para dibujar rectas
verticales
Utilice la configuración “Esconder” y
después resalte este grupo de rectas.
Sin Resolver
ACTIVIDAD:
(1)
(2)
(3)
Abrir archivo UnSolv.act
Opción 1: Pida a los estudiantes que trabajen
sólo con la calculadora (salirse del Navigator)
y que introduzcan
Y1 = x - 1
Y2 = -2x + 8
Ahora presione 2nd + Quit para llegar a la
pantalla inicial. Presione 2nd +
PRGM, para ir a 4:Vertical y presione
ENTER. Ahora escriba 3 y ENTER.
Pida a los estudiantes que hagan algo creativo
a “los dos lados” y que introduzcan
Y3 = x * (x - 1)
Y4 = x * (-2x + 8)
Regrese a la pantalla inicial y vuelva a dibujar
la línea vertical, ¿qué se observa?
Ahora pida que se registren en la red y que
envíen (SEND) Y1 a Y4. Discutir.
Opción 2:
Haga lo mismo que en la opción anterior pero
en lugar de dibujar una línea vertical,
examine las rectas (Y1 a Y4) de los
estudiantes.
¿Por qué cuando “hacemos lo mismo a ambos
lados” sigue funcionando? ¿Las funciones son
las MISMAS que las funciones originales?
¿qué SÍ permanece constante?
CONFIGURACIÓN:
(1)
(2)
X = input
Utilice el ZOOM para encontrar las intersecciones en x = 3
Resolviendo Sólo Un Lado
ACTIVIDAD:
(1) Abrir archivo Solv3-2.act
(2) Pida a los estudiantes que
encuentre los valores x y y
(resolver) para los que la
siguiente comparación es
verdadera: x - 1 = -2x + 8 (hay
muchas formas en las que se
puede llegar a este punto)
(3) Pida a los estudiantes que hagan
una “estrella” con rectas que
intersecten en (3,2)
(4) Ahora pida que introduzcan x - 1
ó -2x + 8 en Y1. Seleccione
cualesquiera otras rectas que
pasen por 3,2 y que se
introduzcan en Y2. Pida que
resuelvan el sistema (ver Inicio:
Resolviendo) [Y1 a Y6]
(5) PERO al cambiar SÓLO UNA de
las rectas NO hicimos lo mismo
en ambo lados (¿?) Entonces,
¿tenemos siempre que hacer lo
mismo a los dos lados?¿Por qué
funciona? ¿Por qué es adecuado
no hacer lo mismo a ambos
lados de la ecuación?
CONFIGURACIÓN:
(1)
(2)
Dibuje una línea vertical utilizando X= input.
Utilice ZOOM para incluir todos los puntos
Encontrando las Raíces
ACTIVIDAD:
(1)
(2)
(3)
Abrir archivo Roots.act
En Y1 a Y5, pida a los estudiantes
que introduzcan funciones lineales
que pasen por el punto (-4,0) y de
Y6 a Y10 funciones lineales que
pasen por (4,0). (Verifique al
graficar).
Ahora pida a los estudiantes que
envíen sus funciones. Discuta los
patrones que se observan y pida
que se llenen las regiones que
quedaron abiertas. Pida que
escriban por lo menos 5 funciones
lineales nuevas para cada lado.
CONFIGURACIÓN:
(1)
Ordene las ecuaciones por Nombre
(Y1, Y2, etc.). Resalte de Y1 a Y5 y
esconda las demás. Repita para Y6 a
Y10.
Raíces de Cuadráticas
ACTIVIDAD:
(1)
(2)
Abrir (o continuar con) Roots.act
Utilice las rectas generadas en la Actividad:
Encontrando Raíces, y pida a los estudiantes
que encuentren la combinación de rectas que
multiplicadas cumplan con lo siguiente:
[a] Una parábola cóncava (hacia arriba) que pase por
el eje sólo en el punto de la izquierda
[b] Una parábola convexa (hacia abajo) que pase por
el eje sólo en el punto de la izquierda
[c] Una parábola cóncava (hacia arriba) que pase por
el eje sólo en el punto de la derecha
[d] Una parábola convexa (hacia abajo) que pase por
el eje sólo en el punto de la derecha
[e] Una parábola cóncava (hacia arriba) que pase por
el eje en ambos puntos, el de la izquierda y el
de la derecha
[f] Una parábola convexa (hacia abajo) que pase por el
eje en ambos puntos, el de la izuqierda y el de
la derecha.
Pida a los estudiantes que introduzcan las rectas
originales en Y1 y Y2; después, que
introduzcan el producto de las rectas
(utilizando paréntesis) en Y3. Ahora, pida que
simplifiquen Y3 en una ecuación cuadrática y
que la introduzcan en Y4.
Y1 = x + 4
Y2 = -x + 3
Y3 = (x + 4) (-x + 3)
Y4 = -x^2 - x + 12
Envíe estas ecuaciones al espacio común.
Si ya estudiaron la forma canónica de cuadráticas, pida
a los estudiantes que la utilicen en Y4. ¿Qué
observan?
CONFIGURACIÓN:
(1)
(2)
Cambie la escala del eje vertical para
poder observar mejor las parábolas.
Utilice el ZOOM
Geometría (Cabri Jr) and
Actividades del Navigator
Utilizando el Centro de
Actividades y la opción de
Capturar Pantallas
Invarianza del Área para Triángulos,
Paralelismos y Más…
(Una Interpretación en Geometría Dinámica de1/2 b * h)
actividad
ACTIVIDAD 1: TRIANIM0
(1) Mover sólo UN vértice para encontrar
las coordenadas x,y para las cuales el
área se queda constante. (2) Enviar los
puntos (en la segunda calculadora)
dentro del Centro de Actividades.
Introducir los puntos (en la segunda
calculadora) dentro del Centro de
Actividades (3) ¿Qué observan? (4)
¿Cómo se puede verificar? (e.g., Utilice
la opción de ecuación en Nav para ver si
las rectas son paralelas [misma
pendiente])
ACTIVIDAD 2: TRIANIM1
(1) Mueva sólo UN punto distinto al
punto animado hasta llegar a donde el
área permanece constante. (2) Utilice la
opción de Capturar Pantallas de la
CLASE en Nav para motivar la
discusión. (3) ¿Cómo podemos
verificar? (e.g., Utilice Cabri Jr.
Localmente para medir ángulos
interiores alternos, etc. O BIEN, Incluya
la imagen como fondo en el Centro de
Actividades y verifique las pendientes).
ACTIVIDAD 3: TRIANIM2
(1) Mueva UNO ó más puntos de los que
no están animados hasta llegar a donde
el área permanece constante, después
DETENGA la anicación cuando el valor
de Área/Perímetro*10 sea el máximo. (2)
¿Qué se observa? (3) ¿Cómo podemos
verificar?
Más sobre Invarianza de Área y
Perímetro
Actividades de la Suma de Partes
Actividades de Suma de las Partes
ACTIVIDAD 0:
(1) Abrir archivo nuevo (2) Dibujar un
segmento, un triángulo y un
cuadrilátero. (3) Borrar todo (Clear all)
(4) Dibuje un segmento y después
dibuje un triángulo en el que uno de
sus lados es este segmento. (5)
Dibuje un cuadrilátero en el que uno
de los lados corresponde a uno de los
lados del triángulo (6) Opcional: Mida
el área y la longitud
ACTIVIDAD 1:
(1) Abrir PARTS1 y anotar el Área y
Perímetro (2) Dibujar un SEGMENTO
desde algún lugar del triángulo a otra
parte del triángulo (que no sea sobre el
perímetro) (3) Medir las PARTES de esta
figura cuya SUMA sea el mismo valor del
ÁREA o PERÍMETRO (4) Mover los
puntos
Cómo Calcular (i.e. Sumas)
Puede ser que necesite repetir esta actividad para obtener
la SUMA de Partes
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Powerpoint