TEOREMA CENTRAL
DEL LÍMITE
CONDICIÓN DE LÉVY-LINDEBERG
Para una sucesión de variables aleatorias, independientes e idénticamente
distribuidas a un modelo común con esperanza y varianza finita, se verifica que
la sucesión de promedios de n de sus elementos converge en distribución a una
normal con media la del modelo y varianza la del modelo dividida por n.
¥
{X n }n = 1
/ X
i
iid X ,
E
(X ) =
m< ¥ , V
(X ) =
s
2
< ¥
Þ
n
å
X =
X
i= 1
n
i
æ s2
¾ ¾ ¾ ¾® N çç m,
n® ¥
çç
n
è
D
ö
÷
÷
÷
÷
ø
Comprobaremos este resultado considerando dos modelos diferentes:
·
·
æ1
1
X Î E x p ( l ) º G ( l , 1 ) Þ X Î G ( n l , n ) ¾ ¾ ¾ ¾® N çç ,
n® ¥
çè l l 2 n
æ1 k ö
æn n k ö
æ 2k ö
D
2
÷
÷
÷
ç
ç
X Î c (k ) º G ç , ÷ Þ X Î G ç ,
¾ ¾® N çç k ,
÷¾ ¾
÷
n® ¥
÷
÷
çè 2 2 ø
n ø÷
èç 2 2 ø
èç
æ
ç N O T A : S i X Î G ( a , p ), en t o n ces E
çç
è
D
(X ) =
p
a
,V
(X )
ö
÷
÷
÷
ø
æa
=
, bX Î G çç , p
2
èç b
a
p
öö
÷÷
÷÷
÷÷
øø
TEOREMA CENTRAL DEL LÍMITE. Código fuente en R para comparar,
bajo la suposición de diferentes modelos para X, la densidad exacta de
la media muestral de X con su aproximación por el Teorema Central del
Límite.
•
CASO EXPONENCIAL(2)
•
•
•
•
•
•
n=20
y<-seq(-1,3,length=100)
#X=Gamma(a,p), entonces cX=Gamma(a/c,p)
plot(y,dexp(y,rate=0.5),ylim=c(0,4.5),lwd=2,col=3,main="X Exponencial (2)",sub="n=20",type="l")
lines(y,dgamma(y,n,2*n),col=2,lwd=2,type="l") #aquí al revés los parámetros de la gamma
lines(y,dnorm(y,0.5,(1/(2*sqrt(n)))))
legend("top",legend=c("Densidad de X","Densidad exacta de la media muestral de X","Densidad
de la media muestal de X aproximada por TCL"), lwd=c(2,2,1),col=c(3,2,1))
•
CASO CHICUADRADO (K)
•
•
•
•
•
n=20
k=2
y<-seq(-1,4,length=100)
#X=Gamma(a,p), entonces cX=Gamma(a/c,p)
plot(y,dchisq(y,k),ylim=c(0,1.1),lwd=2,col=3,main="X Chicuadrado (2)",sub="n=20",type="l")
lines(y,dgamma(y,((n*k)/2),n/2),ylim=c(0,2),main="Población Chicuadrado
(2)",sub="N=10",col=2,lwd=2,type="l") #aquí al revés los parámetros de la gamma
lines(y,dnorm(y,k,(sqrt(2*k)/sqrt(n))))
legend("top",legend=c("Densidad de X","Densidad exacta de la media muestral de X","Densidad
de la media muestal de X aproximada por TCL"), lwd=c(2,2,1),col=c(3,2,1))
•
•
2.5
X Exponencial (1)
1.5
1.0
0.5
0.0
dexp(y, 1)
2.0
Densidad de X
Densidad exacta de la media muestral de X
Densidad de la media muestal de X aproximada por TCL
-1
0
1
y
n=5
2
3
2.5
X Exponencial (1)
1.5
1.0
0.5
0.0
dexp(y, 1)
2.0
Densidad de X
Densidad exacta de la media muestral de X
Densidad de la media muestal de X aproximada por TCL
-1
0
1
y
n=10
2
3
2.5
X Exponencial (1)
1.5
1.0
0.5
0.0
dexp(y, 1)
2.0
Densidad de X
Densidad exacta de la media muestral de X
Densidad de la media muestal de X aproximada por TCL
-1
0
1
y
n=15
2
3
2.5
X Exponencial (1)
1.5
1.0
0.5
0.0
dexp(y, 1)
2.0
Densidad de X
Densidad exacta de la media muestral de X
Densidad de la media muestal de X aproximada por TCL
-1
0
1
y
n=20
2
3
X Exponencial (2)
2
1
0
dexp(y, rate = 0.5)
3
4
Densidad de X
Densidad exacta de la media muestral de X
Densidad de la media muestal de X aproximada por TCL
-1
0
1
y
n=5
2
3
X Exponencial (2)
2
1
0
dexp(y, rate = 0.5)
3
4
Densidad de X
Densidad exacta de la media muestral de X
Densidad de la media muestal de X aproximada por TCL
-1
0
1
y
n=10
2
3
X Exponencial (2)
2
1
0
dexp(y, rate = 0.5)
3
4
Densidad de X
Densidad exacta de la media muestral de X
Densidad de la media muestal de X aproximada por TCL
-1
0
1
y
n=15
2
3
X Exponencial (2)
2
1
0
dexp(y, rate = 0.5)
3
4
Densidad de X
Densidad exacta de la media muestral de X
Densidad de la media muestal de X aproximada por TCL
-1
0
1
y
n=20
2
3
5
X Chicuadrado (1)
3
2
1
0
dchisq(y, k)
4
Densidad de X
Densidad exacta de la media muestral de X
Densidad de la media muestal de X aproximada por TCL
-1
0
1
2
y
n=5
3
4
5
X Chicuadrado (1)
3
2
1
0
dchisq(y, k)
4
Densidad de X
Densidad exacta de la media muestral de X
Densidad de la media muestal de X aproximada por TCL
-1
0
1
2
y
n=10
3
4
5
X Chicuadrado (1)
3
2
1
0
dchisq(y, k)
4
Densidad de X
Densidad exacta de la media muestral de X
Densidad de la media muestal de X aproximada por TCL
-1
0
1
2
y
n=15
3
4
5
X Chicuadrado (1)
3
2
1
0
dchisq(y, k)
4
Densidad de X
Densidad exacta de la media muestral de X
Densidad de la media muestal de X aproximada por TCL
-1
0
1
2
y
n=20
3
4
X Chicuadrado (2)
0.6
0.4
0.2
0.0
dchisq(y, k)
0.8
1.0
Densidad de X
Densidad exacta de la media muestral de X
Densidad de la media muestal de X aproximada por TCL
-1
0
1
2
y
n=5
3
4
X Chicuadrado (2)
0.6
0.4
0.2
0.0
dchisq(y, k)
0.8
1.0
Densidad de X
Densidad exacta de la media muestral de X
Densidad de la media muestal de X aproximada por TCL
-1
0
1
2
y
n=10
3
4
X Chicuadrado (2)
0.6
0.4
0.2
0.0
dchisq(y, k)
0.8
1.0
Densidad de X
Densidad exacta de la media muestral de X
Densidad de la media muestal de X aproximada por TCL
-1
0
1
2
y
n=15
3
4
X Chicuadrado (2)
0.6
0.4
0.2
0.0
dchisq(y, k)
0.8
1.0
Densidad de X
Densidad exacta de la media muestral de X
Densidad de la media muestal de X aproximada por TCL
-1
0
1
2
y
n=20
3
4
Descargar

Document