Capítulo 3
Modelo de
Probabilidades
II-2001
Lecturas: Recomendadas
• 1.- B. Eyzaguirre , C. Le Foulen, X. Hinzpeter: “Los chilenos no
saben lo que leen” Revista 230. CEP. www.cep.cl Lectura
obligatoria
• 2.- A Philosophical Essay in Probabilities. Marquis de Laplace.
Pierre Simon Dover publications, Inc 1951
(Grupo 1): General principles of the calculus of Probability
+ Concerning Probability
( Grupo2 ): General principles of the calculus of Probability
+ Concerning Hope
Entregar por escrito un resumen incluyendo análisis critico y
discusión Viernes 31 de agosto de 2001 a las 17:00 ( Quiz 3)
Conceptos Básicos
Experimento aleatorio : 
Espacio Muestral : 
Espacio Muestral : Discreto , Continuo
Evento o Suceso
Sucesos elementales, seguros e imposibles
Probabilidad : grado de certidumbre
Probabilidad y Juegos de Azar
Probabilidad y Frecuencia relativa
Probabilidad Subjetiva (Personal)
Conceptos Básicos
• Experimento Aleatorio: Proceso en observación
• Evento Elemental: -“Resultado” de un experimento indivisible
-“Mutualmente Excluyentes”: si ocurre
uno no existe posibilidad de observar otro
- “Equiprobable” : Cada evento
simple tiene identica probabilidad
• Espacio Muestral
El conjunto de todas las observaciones
elementales
• Evento “A” -
El conjunto de todos los eventos
elementales observaciones posibles que
resultan en la ocurrencia del evento “A”
Conjuntos y Eventos
 (S): Espacio Muestral: Todos los posibles
resultados elementales
 (S)
s  S, resultado elemental
 :Familia de todos los eventos posibles de S
A
   , luego  es un Evento
E
B
s  , luego  evento imposible
S   , luego S es el Evento Seguro
A y B  , luego son eventos
s
AB  ; AB  ; Ac  , son eventos
Conjuntos vs. Eventos
Teoría Conjuntos
Teoría Probabilidades
S
Universo
Espacio Muestral

Conjunto Potencia
Familia Clases de Eventos
A
A subconjunto de S
A es un Evento
s A

S
AB
AB
Ac
AB
AB= 
s es elemento de A
Ocurre el evento A
Conjunto vacío
Evento Imposible
Universo
Evento Seguro
A unión B
A intersección B
Evento A o Evento B
Complemento de A
Evento no-A
A es subconjunto de B
A y B son disjuntos
A implica B
A y B mutuamente excluyentes
Evento A y Evento B
Experimento Aleatorio
I
II
1
1
3
2
2
3
 Se toma al azar una esfera de la urna I
 Se transfiere a la urna II, se mezclan bien.
 Se elige, aleatoriamente, una esfera de la urna II.
 ¿cuál es la probabilidad – a priori – que sea verde?
Espacio Muestral
1
Traspasar Roja # 1
II
1
1
2
2
3
3
4
5
3
2
6
1
I
7
Traspasar Verde # 1
II
8
3
1
2
9
10
2
Traspasar Verde # 2
2
II
11
12
3
3
2
Distintas
formas como
puede
resultar el
experimento.
Ya que las
esferas has
sido sacadas
al azar, cada
uno de ellos
tiene la
misma
posibilidad de
ocurrir
Nociones de Probabilidad
• Probabilidad es una medida de la incertidumbre
(Estimación de la probabilidad)
• Teórica - “A Priori”
– Pr (Ai) = n / N
• n = número de posible formas en que“Ai” puede ser
observado
• N = número total de resultados posibles
• Histórica (empírica-frecuencia) - “A Posteriori”
– Pr (Ai) = n/N
• n = número de veces que ocurrio “Ai”
• N = número total de observaciones
• Subjetiva
– La “Opinión de un Experto”
Modelo Probabilístico
Sea una Distribución de Probabilidad P,
función que asigna a cada sub-conjunto
razonable de  un valor entre 0 y 1.
Sea   2 colección de eventos
razonables de  (-álgebra)
P: 
[0;1]
Modelo de Probabilidad= (,  , P)
Cálculo de Probabilidades
(Eventos Equiprobables)
Noción intuitiva:
P(A) = Resultados favorables al evento A
Resultados posibles
Noción frecuentista:
Sea
N: N° total de veces que se realiza un
experimento
NA: N° total de veces que ocurre A
P(A) = lim N 
NA
N
Observación
En muchas ocasiones nos preocupamos de elegir de
manera aleatoria uno o más objetos desde una colección
de objetos
Sea N el número de objetos.
1. Elegir 1 objeto al azar, significa que cada objeto tiene la
misma probabilidad de ser elegido. P(elegir ai ) = 1/ N
2. Elegir 2 objetos al azar significa que cada par de objetos tiene
la misma probabilidad de ser selecionado. Supongamos que
existen K de tales pares, entonces la probabilidad de elegir un
par cualesquieres es 1/ K.
3. Elegir r objetos aleatoriamente, r < N, signifiva que cada
r-tupla de objetos tiene la misma probabilidad de ser
seleccionada que cualquier otra r-tupla.
Probabilidad Axiomática
Axioma 1:
Axioma 2:
P(A)  0
P() = 1
Suponiendo que A1, A2,..... son eventos
mutuamente excluyentes
Axioma 3:
P(Ai) = P(Ai)
Propiedades
1.
2.
3.
4.
5.
6.
P() = 0
P(A)  1
P(AC) = 1 - P(A)
Si A  B  P(A)  P(B)
P(AB) = P(A) + P(B) - P(AB)
P(Ai)   P(Ai)
7. Si A  B  P(B-A) = P(B) - P(AB)
Espacio Muestral Finito
Sea
S = {s1, s2, s3, ...., sN }
Espacio Muestral Finito
Ei = {si}
i =1,..N
Evento Elemental
 Ni Ei = S
Mutuamente excluyentes de a pares
Aplicando los axiomas se tiene
1. P(Ei) = fi > 0
2. P( i Ei) = 1
N
i =1, 2, 3, .. , N;

 fi = 1
3. Como Ei  Ej = 0  i  j  P(Ei  Ej)=P(Ei) + P(Ej)
Probabilidad Condicional
Sean A, B dos sucesos tal que P(B) > 0.
La probabilidad de A condicionada a la
ocurrencia de B, denotada como P(A/B) :
P(A/B) = P(AB)
P(B)
Propiedades:
1. P(A/B)  0
2. P( /B) = 1
3. P(Ai/B) =  P(Ai/B) con
Ai Aj =  ,  i, j : i j
Probabilidad Condicional
Centra el foco de atención en el
hecho que se sabe que han ocurrido
el evento B

A
B
Estamos indicando que el espacio
muestral de interés se ha “reducido”
sólo a aquellos resultados que
definen la ocurrencia del evento B
Entonces, P(A | B) “mide” la
probabilidad relativa de A con
respecto al espacio reducido B
Probabilidad Condicional
También se ha encontrado que el
5% de la piezas que no tienen
fallas superficiales son
funcionalmente defectuosas
Por lo tanto el 90%
no tienen fallas
visibles en la
superficie.
100% piezas
Manufacturadas
Se ha encontrado que el 25%
de las piezas con fallas
superficiales son
funcionalmente defectuosas
Se sabe que el 10% de las
piezas manufacturadas
tienen fallas visibles en la
superficie.
Evento A = { pieza funcionalmente defectuosa}
B = { pieza tiene una falla visible en la superficie}
P( A dado B) = P(A | B) ?
Casos Probabilidad Condicional
Si A  B =   P(A | B) =
A
B
A
B
A
P(A  B )
P(A)
Si A  B = A  P(A | B) =
=
 P(A)
P(B)
P(B)
Si A  B = B  P(A | B) =
B
A
B
P()
P(A  B )
=
=0
P(B)
P(B)
P(A  B )
=
P(B)
P(A  B )
Si A  B    P(A | B) =
=
P(B)
P(B)
=1
P(B)
Probabilidad Total
Sean B1, B2,....,Bn eventos mutuamente
n
excluyentes : P(  B ) = 1
Entonces
i
i 1
n
P(A) =
 P( A / B )  P( B )
i
i
i 1
Consecuencia (Regla de Bayes):
P(Bi/A) = P(A/Bi) P(Bi)
P(A)
Probabilidad Total
B1
A
Equipo
Fallado
B2
B5
AB1
AB2
AB4
AB3
B4
 Sean B1, B2,....,Bn
P(

Equipo
Manufacturado
en Planta B2
B3
eventos mutuamente excluyentes
n
i =1
Bi ) = 1
n
 Entonces
P(A) =

P(A | B ) P(B )
i =1
i
i
Regla de Bayes
Supongamos de que se elige aleatoriamente un Equipo y se
encuentra que está fallado. ¿cuál es la probabilidad que sea
manufacturado en Planta B3 ?
• Se pide P(B3 | A);
pero sólo se conoce
P(A  Bi), i = 1, 2, 3, .. , k
• Sabemos que P(A  Bi) = P( A | Bi ) P(Bi) = P(Bi | A) P(A)
P (Bi | A ) =
P (Bi) P (A | Bi )

 j
P (Bi) P (A | Bi )
BiBj = ; i  j
  j Bi = S
Probabilidad Multiplicativa
Ley Multiplicativa:
n 1
n
P( Ai )  P( Ai ) P( A2 / A1 ).......P( An /  Ai )
i 1
siempre que:
i 1
n
P ( Ai )  0
i 1
Regla de la Multiplicación
El Número de maneras diferentes
de elegir o sacar un elemento de
del conjunto 1 que tiene n1
n1
n2
elementos, luego un elemento de
un conjunto 2 que tiene n2
elementos, ... , y finalmete un
n2
elemto del k-ésimo conjunto que
tiene nk elemetos, en DONDE EL
ORDEN COMO SE
SELECCIONA ES IMPORTANTE
n1* n2* ......* nk
n2
Ejemplo 3.1
1) Sean A,B sucesos de un mismo modelo de
probabilidad (, , P) tales que:
P(B)=0,4 P(AB)=0,7
P(A/B)=0,75
Determinar:
P(AC) ; P(A-B) ; P(ACBC) ; P(A/BC)
Solución
P(AC) = 1 - P(A)
P(AB) = P(A) + P(B) - P(AB)
P(AB) = P(A/B) P(B) = 0,75 * 0,4 = 0,3
P(A) = 0,7 - 0,4 + 0,3 = 0,6
P(AC) = 0,4
P(A-B) = P(ABC) = P(A) - P(AB) = 0,6 - 0,3 = 0,3
P(ACBC) = P(AC) + P(BC) - P(ACBC)
P(ACBC) = P(BC) - P(ABC) = 0,6 - 0,3 = 0,3
Luego P(ACBC) = 0,4 + 0,6 - 0,3 = 0,7
P(A/BC) = P(ABC) = 0,3 = 0,5
P(BC)
0,4
Ejemplo 3.2
Un procesador para computadores puede provenir de cualquiera
de tres fabricantes con probabilidades: p1 = 0,25 ; p2 = 0,50
; p3 = 0,25.
Las probabilidades de que un procesador funcione
correctamente durante 10.000 horas es 0,1; 0,2 y 0,4
respectivamente para los 3 fabricantes:
i) Calcular la probabilidad de que un procesador elegido al azar
funcione durante 10.000 horas.
ii) Si el procesador funcionó correctamente durante el período
de 10.000 horas ¿cuál es la probabilidad de que haya provenido
del 3er fabricante?
Solución
3
i) P(C) =
 P(C / F ) P( F )
i
i
i 1
= 0,1*0,25 + 0,2*0,5 + 0,4*0,25
= 0,225.
ii) P(F3/C) = P(C/F3) P(F3)
P(C)
= 0,4 * 0,25 = 0,444.
0,225
Independencia Probabilística
1. Sean A, B dos eventos del modelo probabilístico (, , P).
A, B se dicen probabilísticamente independientes ssi:

P(AB) = P(A) P(B)
P(A | B) = P(A)
P(B | A) = P(B)
2. Sean Ai: i  I = 1,2,3,......,k una colección de eventos
de (, , P). Se dice que los elementos son conjuntamente
independientes ssi:
P(  Ai ) =
jJ

jJ
P(Ai)
  J  I = 1,2,3,......,k
Observaciones
1. Independencia probabilística Conjunta  Independencia
de a pares
2. Independencia probabilística de a pares  Independencia
probabilística Conjunta
3. Si A, B son eventos independientes probabilísticamente.
Entonces se tiene
- A, BC son independientes.
- AC, BC son independientes
- AC, B son independientes
4. Sea (, 2, P) modelo de probabilidad.
Estudiar independencia conjunta y de a pares.
Independencia Probabilística
Ejemplo 3.3:
Sea (, 2, P) modelo de probabilidad.
 =  (1,0,0) (0,1,0) (0,0,1) (1,1,1) 
P(wi ) = 1/4
 i = 1, 4
Sean A1, A2, A3 eventos de (, 2, P) :
A1: 1era coord. es 1
A2: 2da coord. es 1
A3: 3era coord. es 1
Estudiar independencia conjunta y de a pares.
Ejemplo 3.4 : Independencia Probabilística
1
2
B
A
3
4
Probabilidad de cerrar los relés 1,2,3 y 4 es “p”. Si todos los relés funcionan
independientemente , ¿cuál es la probabilidad que pase corriente de A a B
P ( E )  P [( R1  R 2 )  ( R 3  R 4 )]; P ( E )  P [ R1  R 2 ]  P [ R 3  R 4 ]  P [  R i ]  2 p  p
2
2
1
5
B
A
3
4
4
Variaciones
Def: Sea A un conjunto : Card ( A )  n , se llama variación
simple o sin repetición a todo subconjunto de n elementos
distinguiéndose estos entre si, en los elementos que lo
componen y en el orden en que estos elementos van
colocados
A={x1,x2,.......xn } V(n,2)= n(n-1) ; V(n,3)= n(n-1)(n-2)...
V(n,k)= n(n-1)(n-2)......(n-k+1)
Obs: Si las variaciones son con repetición V1(n,k) = nk
Permutaciones
Número de maneras distintas de
sacar r elementos de lote de n 
CUANDO EL ORDEN IMPORTA :
Nota: Estudiar permutaciones con
repetición
n
Pr
=
n!
( n - r) !
n objetos
----1
2
3
4
r
Combinaciones
Combinaciones( sin repetición):
Número de maneras distintas de
sacar r elementos de lote de n 
CUANDO EL ORDEN NO IMPORTA
Nota : Estudiar combinaciones con
repetición C1(n,r)= (n+r-1)!/ r!(n-1)!
C(n,r) =
n!
r!( n - r )!
Construcción Modelos de Probabilidad
• Sea  una medida en el Espacio Muestral
tal que  () <  : Longitud ; Superficie
Volumen. etc.
• Entonces existe un función definida en IR
P : IR
IR : P(A ) 
(A )
es una medida de Probabilidad
( )
Ejemplo 3.5:
Problema del encuentro:
Dos estudiantes acuerd [9; 10] an encontrarse en la biblioteca de la UTFSM
entre las 9 A.M. y las 10 A.M. un día lunes. El primero que llega a la
biblioteca , espera al otro 10 minutos (dentro del intervalo de tiempo pactado).
Si se supone que cada uno llega al azar en el intervalo de tiempo convenido y
que los tiempos de llegada son independientes.
¿ Cuál es la probabilidad que estos estudiantes se encuentren ?
Solución: X(t) : Llegada del estudiante 1
Y(t) : Llegada del estudiante 2
[X(t);Y(t)]  [9; 10]x [9; 10]= [0; 60]X [0; 60]=
A={[X(t);Y(t)] : |X(t);Y(t)|< 10}
P(A)= = 11/ 36
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Teoria de Probabilidades