Hepatitis B: un ejemplo de Montecarlo
basado en Cadenas de Markov
Programa de doctorado Estadística, Análisis de datos
y Bioestadística
Métodos de Montecarlo y
Estadística computacional
Departament d’Estadística
Divisió de Ciències Experimentals i
Matemàtiques
Contenido
 Planteamiento del problema
 Modelo mixto. Grafo acíclico dirigido (DAG)
 Ajuste y análisis del modelo mediante
muestreo de Gibbs: etapas.
 Condicionales completas.
– Detalle del cálculo de la c.completa para ai
– Fórmula general de la condicional completa para
DAGs
– Condicionales completas resultantes
 Salida y análisis
Planteamiento del problema
 Basado en:
– Spiegelhalter, D.J., Best, N.G., Gilks, W.R. y H.
Inskip (1995). Hepatitis B: a case study in MCMC
methods. Markov Chain Monte Carlo in Practice,
21-43. Chapman & Hall.
 Programa de vacunación Gambian Hepatitis
Intervention Study, combatir hepatitis B (HB)
– Seguimiento de 106 niños vacunados para HB,
– yij=log“título anti-HB” (en mIU) niño i, tiempo tj.
– Modelo particular para el niño i:
mij = E(yij) = ai + bi(logtij - log 730)
Modelo mixto
 Parámetros del modelo varían entre niños.
 aˆ i y bˆ i parecen normales (con “outliers”).
 Razonable modelo mixto bayesiano:
– Términos de verosimilitud:
y ij :
N
( mij , s 2 )
( a 0 , s a2 ) b i : N ( b 0 , s b2 )
– Distribuciones a priori:
ai :
N
a 0, b0 :
s
- 2
,s
- 2
a ,
N ( 0, 10000 )
s
- 2
b
: G ( 0.01, 0.01 )
Grafo acíclico dirigido (DAG)
Fórmula nodos
Ajuste y análisis del modelo
mediante muestreo de Gibbs
 Preparación, determinar:
– Valores iniciales para los parámetros.
– Condicionales completas y método de generación.
 Fase de simulación:
– Generar valores de parámetros según algoritmo MH(-G), repetidamente, monitorizando output para:
• Descartar fase de calentamiento.
• Recolectar valores durante fase estacionaria
 Análisis:
– Estadísticos resumen para inferencia (d. posterior)
– Bondad de ajuste del modelo
Condicionales completas
Detalle del cálculo de la c.completa para ai
p (a i Q -
ai
;y
)=
p (a i ; Q -
ai
p (Q -
;y
ai
= p (a 0, s a , b i , b 0, s b , s
;y
)
µ p (a i , a 0, s a , b i , b 0, s b , s ; y
)
)p (a i
p (y a i , a 0 , s a , b i , b 0 , s b , s
a 0, s a , b i , b 0, s b , s
)
)
µ p ( a i a 0 , s a ) p (y a i , b i , s )
Fórmula general
ìï ( a - a )2 ü
ïï
ï
i
0
= ex p í ý´
2
ï
ï
2s a
ïþ
îï
2
ìï
ni
éy - a - b ( log t - log 730 ) ù
ïï
i
i
ij
ë ij
û
ex
p
í
Õ
2
ï
2
s
j= 1
ïïî
üï
ïï
ý
ï
ïïþ
)
Condicionales completas
Detalle del cálculo de la c.completa para ai
 Tras algunas operaciones, la densidad
anterior se puede identificar como una
normal, de media
a0
s
2
a
1
+
s
2
ni
å
j= 1
y ij - b i ( log t ij - log 730 )
1
s
y varianza
1
1
s
2
a
+
ni
s
2
2
a
+
ni
s
2
Fórmula general de la condicional
completa para DAGs
  parámetro desconocido del modelo
 Q = {todos los parámetros desconocidos}
 Q- = {todos los parámetros desconocidos
excepto }
 Entonces:
p (q Q -
q
) µ p ( q p a d r es ( q ) ) ´
Õ
p ( J p a d r es ( J ) )
J Î h ijos ( q )
Ejemplo
D.A.G.
Condicionales completas
resultantes
 A partir de la fórmula general anterior:
– Condicional completa para a i , b i , a 0 , b 0 normal
2
2
2
s
,
s
,
s
– Condicional completa para a b
gamma
 Todas ellas con generadores estándar
conocidos y muy eficientes.
 Muchas veces no es así, pero existen muy
buenos métodos de generación específicos
para condicionales completas.
Simulación y análisis de
resultados
Simulación y análisis de
resultados
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