funciones
Por: Melissa Rascovsky, Melissa Sasson
y Sergio Garrido
Para: Patricia Cáceres
Colegio Colombo Hebreo
Àrea De Matemàticas
Dècimo grado
Bogota d.c
FUNCIONES
¿Qué es una función?
Funciones
crecientes,
decrecientes y
tasa de cambio
promedio
Elementos de
una función
Gráficas de
funciones
Transformaciones
de funciones
¿Qué es una función?
Definición de función
Una función es una regla
que asigna a cada
elemento x en un
conjunto A exactamente
un elemento, llamado
f(x), en un conjunto B.
Como reemplazar
se debe reemplazar el
numero en la variable
independiente (x), para
hallar Y.
• El símbolo f(x) se llama el valor de f en x.
• El conjunto A se llama dominio de la función.
• El rango de f es el conjunto de los valores reales
que toma la variable y o f(x).
• La variable independiente (x) es la que no varia
dependiendo de la otra.
• La variable dependiente (y) es la que varia
dependiendo del desplazamiento de x.
Dominio
Es el conjunto de
elementos que tienen
imagen.
Representación de
una función
1.
2.
3.
4.
Verbal
Algebraica
Visual
Numérica
Elementos de una función
Conjunto de salida
rango
Conjunto de llegada
Función Sobreyectiva
dominio
Función Biyectiva
Función Inyectiva
Gráficas de funciones
Graficación
Graficación de
funciones definidas
por partes
f(x)= mx + b (se llama función
lineal)
f(x)= b (se llama función
constante)
Ecuaciones de
funciones
Funciones lineales
f(x) = mx + b
Se define mediante
formulas distintas en su
dominio, depende de la
variable independiente
x.
Funciones exponenciales
f(x) = x^n
Funciones de raiz
f(x) = x
Funciones recíprocas
f(x) = 1/x^n
Función valor absoluto
f(x) = IxI
Funciones crecientes y
decrecientes, tasa de
promedio
Funciones
crecientes
Se dice que es
creciente cuando
la grafica sube,
asciende desde (00, 00) en Y.
Funciones
decrecientes
Se dice que
es decreciente
Cuando la grafica baja,
desciende de (00, -00)
Es decir con respecto a Y.
Tasa de cambio
promedio
Es la pendiente de la recta secante entre
x=a y x=b en la grafica de f, es decir, la
recta que pasa por (a, f(a)) y (a, f(b)).
Tasa de cambio
promedio = cambio en y
/ cambio en x
Transformaciones de
funciones
Desplazamiento
vertical
Sumar una constante
a la función vertical:
se desplaza hacia
arriba si la constante
es positiva y hacia
abajo si es negativa.
Desplazamiento
horizontal
y= f(x + c) desplaza la
grafica c unidades a la
izquierda y si se resta
desplaza hacia la derecha.
y= f (x - c)
Desplazamiento(acort
ar, alargar) vertical
Para alargar verticalmente
una grafica se multiplica
por un numero c mayor
que 1.
Para acortar la grafica se
multiplica por un numero
a menor que uno pero
positivo, entre 1 y 0.
Desplazamiento(
alargar o acortar)
horizontal
Para alargar una
grafica se divide
por un numero 1/a,
a es mayor que 1.
Para acortar la
grafica se divide por
un numero 1/a,
cuando a es menor
1, pero positivo.
Conjunto
de salida
Es el conjunto de números que son llamados conjunto A y son las
pre imágenes, cada elemento debe estar relacionado una ves con un
elemento del conjunto de llegada B y posee una imagen. Por lo general reales.
Conjunto
de llegada
Es el conjunto de números del conjunto B, llamados imágenes, y están
relacionados con los elementos del conjunto A. Generalmente son reales.
rango
Es el conjunto de imágenes, el conjunto de números que se
relacionan una ves con los elementos del conjunto A.
dominio
Es el conjunto de pre imágenes, el conjunto de números que del
conjunto A están relacionados una ves con un solo elemento del
conjunto B. Generalmente reales.
Función
inyectiva
si todos los elementos del dominio están
relacionados una sola vez con un elemento
del rango. No puede haber dos o mas
elementos del dominio con la misma
imagen.
cuando f(x) = f(y), x = y.
Ejemplo: f(x) = x+5 del conjunto de los números reales es una función Inyectiva
A
B
C
D
1
2
3
4
5
Función
sobreyectiva
si a cada elemento del dominio le
corresponde un elemento del rango.
F(x)=B
Ejemplo: la función f(x) = 6x del conjunto de
los números naturales al de los números pares
es Sobreyectiva.
1
2
3
4
5
D
F
G
H
i
Función
biyectiva
1
2
3
4
5
-1
-2
-3
-4
-5
Todos los elementos del conjunto A tienen una imagen distinta en el
conjunto B (Inyectiva), cada elemento del conjunto A le corresponde un
elemento del conjunto B (Sobreyectiva). Es Inyectiva y Sobreyectiva a la
ves.
Ejemplo: La función f(x) = 3x del conjunto de números reales es
Inyectiva y Sobreyectiva. Por lo tanto es Biyectiva.
Funciones
Polinómicas
Lineal
Afín
Lineal
Constante
Identidad
Grado par
Cuadrática
Lineal
Otras
Grado impar
Cúbica
Valor absoluto
Logarítmica
Racional
A trozos
Exponencial
Trigonométrica
Polinómicas
Son aquellas funciones que surgen de evaluar los polinomios sobre las variables en las
que están definidos.
Dominio= Conjunto de Salida= IR
Conjunto de llegada= IR
donde
es un polinomio en
,
es decir, una suma finita de
potencias de multiplicados por coeficientes reales.
,
Ejemplo:
Funciones de
grado par
Conjunto de salida=Dominio=IR
Conjunto de llegada=IR
Rango =(depende de la función, de
sus máximos y mínimos.)
Por lo general es la función
cuadrática.
Son funciones que como
máximo grado de un
término es un número
par. Está dada por la
ecuación:
Punto de corte con y= igualando x a 0
Puntos de corte con x= igualando y a 0
Vértice= +-b/2a
Conjunto de salida=Dominio=IR
Conjunto de llegada =IR Rango= máximos
y mínimos.
F(x) ≥0 en x IR positivos.
F(x) ≤0 en x IR negativos
Funciones de
grado impar
Función cúbica
Punto de corte con y= igualando x a
0
Punto de corte con x= igualando y a
0
Conjunto de salida=Dominio=IR
Conjunto de llegada =IR
Rango= IR
F(x) ≥0 en x IR positivos
F(x) ≤ 0 en x IR negativos
Son funciones en las cuales el máximo grado
de un término es un número impar . Está
dada por la ecuación:
Conjunto de
salida=Dominio=IR
Conjunto de llegada=IR
Rango =IR
en la función constante el
rango es la variable f(x)=a
Se divide en función cúbica y
lineal.
Lineal
Un polinomio de primer grado de una variable real es una función matemática de la
forma:
F(x)= mx + b
donde m y b son constantes. La función lineal , pasa por el punto (0,0) como origen a
diferencia de la función lineal afín.
Una función lineal de una única variable independiente x suele escribirse en la forma
siguiente
•m es denominada la pendiente de la recta.
•b es la ordenada en el origen, el valor de y para x= 0, es el punto (0,b).
Ejemplo:
Y = 5x
Pendiente:
Afín
Una función lineal afín es aquella cuya expresión matemática viene dada por:
Y= mx + n
donde x e y son variables, m una constante que se denomina pendiente y n otra
constante denominada ordenada en el origen. Su gráfica es una recta que corta al eje de
ordenadas en .
La pendiente m de una recta mide la inclinación de la siguiente manera:
•Si M>0 la función es creciente.
•Si M=0 la función es decreciente.
•Si M<0 la función es constante (recta horizontal).
La pendiente de una recta se puede hallar de la siguiente manera:
para lo cual es necesario disponer de dos puntos de la recta y hallar las variaciones
restando sus coordenadas x e y respectivamente.
Ejemplo:
Y=4x+2
Identidad
Una función identidad es una función matemática, de un conjunto M a sí mismo, que
devuelve su propio argumento.
f(x)=x / f(x)=y
La función identidad puede describirse de la forma siguiente:
Ejemplo:
F(x)=x
x
1
2
3
4
y
1
2
3
4
Constante
Se llama función Polinómicas de grado cero o función matemática constante a la que no
depende de ninguna variable, se la representa de la forma:
F(x)= a
donde a es la constante.
Ejemplo:
Y= 5
Función
cuadrática
Una función cuadrática, es una función polinómica de grado par, que tiene como
máximo grado el numero 2. se define por la siguiente ecuación:
Conjunto de salida: IR= dominio
Conjunto de llegada= IR
Rango= (máximos y mínimos de la función)
Punto de corte con y= c
Pun to de corte con x=
Para hallar el mínimo y máximo
relativos, se usa la ecuación:
x= -b
2a
Función:
Función cúbica
Es una función polinómica de grado impar, cuyo grado mayor en el
termino de la ecuación es de 3.
Se da por la siguiente ecuación:
Conjunto de salida= IR=dominio
Conjunto de llegada= IR= rango
Punto de corte con y= d
Punto de corte con x=
factorizacion( teorema del factor)
Función=
Referencias de consulta
• http://es.wikipedia.org/wiki/Ecuación_de_tercer_gra
do
• http://es.wikipedia.org/wiki/Función_cuadrática
• http://es.wikipedia.org/wiki/Función_matemática
• http://dieumsnh.qfb.umich.mx/DIFERENCIAL/funcio
nes.htm
• http://elcentro.uniandes.edu.co/cr/mate/estructural
/libro/estructural/node29.html
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