VECTORES EN EL PLANO
PEDRO GODOY G.
2012
Un avión puede volar de Santiago a Madrid haciendo una escala
técnica en Miami, sin embargo, se puede ahorrar combustible y
contaminar menos la atmosfera, si el viaje se hace directamente, sin
escalas, de Santiago a Madrid.
MIAMI
B
u
v
w
A
SANTIAGO
C
MADRID
AB  v
BC  u
AC  w
Asi tenemos que
vu  w
Def: Un vector es un segmento dirigido que tiene un origen y un extremo.
Características del vector
El MODULO de un vector, es la longitud de este, lo representamos como
AB o
v
DIRECCION : es la dirección de la recta que lo contiene. Si dos vectores son
paralelos tienen la misma dirección.
SENTIDO es el que va del origen al extremo, lo representamos por la
punta de la flecha. Una dirección tiene dos sentidos.
Vectores equipolentes:
Son aquellos que tienen la misma dirección, el mismo sentido, y el
mismo módulo.
Vector libre: Es el conjunto formado por un vector y todos los
vectores equipolentes a el.
Suma geométrica de un vector:
Para sumar dos vectores u y v podemos hacerlo de dos maneras
1.- Desde un punto cualquiera del plano colocamos un vector equipolente a u
del extremo de este colocamos otro vector que sea equipolente a v de manera
que coincidan el extremo del primero con el origen del segundo. La suma es el
vector que tienen como origen el origen del primero y como extremo el extremo
del segundo.
u
v
u+v
2.- Ley
del paralelogramo: Formamos un paralelogramo con dos vectores
equipolentes a los dados de forma que coincidan los orígenes y la suma es la
diagonal del paralelogramo tomando como origen de los vectores equipolentes
elegidos
u
u v
v
OBS: Si a es un vector cualesquiera entonces –a es un vector
con la misma dirección, el mismo módulo pero no el mismo
sentido.
a
-a
ka
a
Resumiendo, multiplicar un vector por un número k equivale a alargar (o
encoger) su módulo tantas veces como indica el valor absoluto de k, e
invertir su sentido si k es negativo.
El número k por el que se multiplica un vector recibe el nombre de
escalar.
Propiedad conmutativa
Propiedad distributiva
Dados los vectores a y b es posible obtener gráficamente lo siguiente
EJERCICIO: Dados los vectores
Aplicando la regla del paralelogramo dibuja en tu cuaderno
los vectores
Base:
Dos vectores cualesquiera del plano con distinta dirección
forman una base porque nos permiten expresar cualquier otro
Vector como combinación lineal de ellos
a
v
b
De este modo se verifica que v = xa + yb
A los números (x, y) se les llama coordenadas de v respecto de la base
Obs: Se le llama base canónica a dos vectores perpendiculares y
modulo unidad
Se anotan por {i , j } siendo i y j los vectores citados.
Sistema de referencia en el plano.
Es el conjunto formado por:
- Un punto fijo O, llamado origen.
Tomando la base canónica B= {i , j} como base habitual, un
sistema de referencia queda expresado en la forma siguiente
P   O ,  i , j 
Dado un sistema de referencia , a cada punto P del plano se le
asocia un vector OP que recibe el nombre de vector de posición
Es decir, las coordenadas de i son (1, 0)
las coordenadas de j son (0, 1)
Podemos, por tanto, expresar i y j en función de sus coordenadas.
I =(1, 0)
j = (0. 1)
En el caso de v y w será:
v = 3i +4j = (3, 4);
w =9i +5j = (9, 5)
En general, si v =xi + yj, podemos poner v = (x, y) donde x e y son
las coordenadas del vector.
OBS. Si A (a,b) y B(c,d) son dos puntos del plano, entonces
el vector asociado es
A B  (c  a , d  b )
Operaciones con vectores expresados en coordenadas de
una base canónica.
Suma:
Vemos que las coordenadas de u+v se obtienen sumando las coordenadas
de u y v
En general, si
u  ( x1 , y 1 )
entonces,
y
v  (x2 , y2 )
u  v  ( x1  x 2 , y 1  y 2 )
PRODUCTO
Si a es un vector cualquiera, y k es real
Si k > 0 entonces Ka es un vector que tiene la misma
dirección, y sentido
Si k < 0 entonces Ka es un vector que tiene la misma
dirección, y cambia de sentido
ka
K>0
b
a
kb
K<0
Sea v = xi + yj y u = ai + bj entonces el producto
v u = (xi + yj )(ai + bj )=xaii+xbij+ yaji + ybjj
Pero ii = 1, ij = ji=o y jj= 1
Tenemos que v  u= (x,y)(a,b)= xa + yb
Ejemplo :
v  u = (2,3) (4,5)= 8 + 15 = 23
Obs : v  u = u  v
OBS: Si u  v = 0 entonces u y v son vectores perpendiculares
u
v
VECTOR UNITARIO
aˆ
Luego se cumple la relación
O bien
aˆ 
a
a
a  a aˆ
Proyección de vector sobre otro
Al proyectar el vector v
Vector
Proyección de v sobre
medida del segmento
Vector proyección de v
u
u
; obtenemos:
:
AB  AB
sobre
u
=
AB
sobre la dirección del
u  v  u  v cos   u ( proyección
de v sobre u )
 u  v'
u  v  u  v cos   v ( proyección
 v  u'
de u sobre v )
v' =
u v
y
v' =
u
u'=
u v
v
u v
u
y u'=
u v
v
.v
.u
Operaciones básicas de determinantes
-
a
b
c
d
 ad  bc
a
b
c a b
x
y
z x y   ( ayr )  ( bzp )  ( cxq )  ( pyc )  ( qza )  ( rxb )
p
q
r p q
-
-
+ ++
VECTORES EN EL ESPACIO
( x , y , z )  x (1, 0, 0)  y (0,1, 0)  z (0, 0,1)
donde i= (1,0,0)
j= (0,1,0)
k= (0,0,1)
luego
(x,y,z)=x i+y j+zk
Modulo de un vector
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