ECUACIONES
IDENTIDADES Y ECUACIONES
Una IDENTIDAD algebraica es una igualdad entre expresiones
algebraicas que se cumple para todos los valores de las variables.
Una ECUACIÓN algebraica es una igualdad entre expresiones
algebraicas (“MIEMBROS DE LA ECUACIÓN”) que no se cumple para
todos los valores de las variables.
Una ecuación es COMPATIBLE si tiene alguna solución, y es
INCOMPATIBLE si no tiene solución
Ejemplo:
( x  2) 2  x 2  4  x  4 es una IDENTIDAD
x 2  4  0 es una ECUACIÓN COMPATIBLE
cuyas soluciones son x =  2 y x = 2
ECUACIONES EQUIVALENTES
Dos ECUACIONES son EQUIVALENTES, si tiene las mismas
soluciones.
Ejemplo:
( x  2) 2  –4  x +8
y
x2  4  0
son ECUACIONES EQUIVALENTES,
pues ambas ecuaciones tienen de soluciones
x = 2 y x = 2
Para resolver (“encontrar soluciones”) de ecuaciones algebraicas,
utilizamos ECUACIONES EQUIVALENTES (“MEDIANTE reglas de
equivalencia”) lo mas sencillas posibles.
REGLAS DE EQUIVALENCIA
 Si se SUMA o RESTA una expresión algebraica a los dos miembros a una
ecuación se obtiene una ecuación equivalente.
 Si se multiplica una expresión algebraica por los dos miembros de una
ecuación se obtiene una ecuación equivalente.
 Si los dos miembros de una ecuación se dividen por una expresión
algebraica no nula, se obtiene una ecuación equivalente.
Ejemplo:
x 2  3 x — 1  x 2 — 10.
Si le restamos x 2 a los dos miembros de la ecuacion, obtenemos:
3 x — 1  —10
Si sumamos 1 a los dos miembros de la ecuacion, obtenemos:
3 x  —9
Si sdividimos por 3 los dos miembros de la ecuacion, obtenemos:
x  —3
ECUACIONES POLINÓMICAS DE 1º GRADO.
Una ecuación de 1º grado es una ecuación algebraica, que tras aplicar
las reglas de equivalencia se reduce a una ecuación cuyos miembros de
la izquierda es un polinomio de 1º grado y miembro de la derecha 0.
Ejemplo:
x2  3  x  2  x2  1
es equivalente a
3 x    0
Cuya solución es:
3
x  1
3
ECUACIONES POLINÓMICAS DE 2º GRADO.
Una ecuación de 2º grado es aquella que aplicando las reglas de
equivalencia se puede obtener una ecuación equivalente de la forma:
ax  bx  c  0 ; a, b y c números reales; a  0.
2
ECUACIÓN INCOMPLETA de 2º grado es aquella en la que b ó c es 0.
Ejemplos:
Ecuacion completa de 2º grado:
2 x 2  x   
Ecuacion incompleta de 2º grado:
2 x 2   
Ecuacion incompleta de 2º grado:
2 x2  x  
Resolucion d e ecuaciones incomp let as
a ) 2x 2   = 0 equivale a
b) 2x  x = 0 equivale a
2
x2   Þ
x = ± 2
2g x g (x — 1)  
Þ
ìï 2g x = 0
Þ x= 0
ï
í
ïï
x —1 = 0 Þ x = 1
î
ECUACIÓN COMPLETA DE 2º GRADO.
Una ecuación de 2º grado es una ecuación algebraica que se reduce a la
forma:
ax2  bx  c  0 ; a  0, b  0, c  0.
Además, su solución real es de la forma:
b  b 2  4ac
x
2a
Al valor de dent ro de la raíz, se le denomina:
DISCRIMINANT E = V= b2  4ac
Si V > 0 la ecuación t iene dos soluciones
Si V = 0 la ecuación t iene una única solución
Si V < 0 la ecuación no t iene solución
ECUACIONES POLINÓMICAS DE 2º GRADO.
Una ecuación de 2º grado es una ecuación algebraica cuyas expresiones
son polinomios, y es equivalente a una ecuación de la forma:
ax2  bx  c  0 ; a, b y c números reales; a  0.
Además, su solución real es de la forma:
b  b 2  4ac
x
2a
Al valor de dent ro de la raíz, se le denomina:
DISCRIMINANT E = V= b2  4ac
Si V > 0 la ecuación t iene dos soluciones
Si V = 0 la ecuación t iene una única solución
Si V < 0 la ecuación no t iene solución
EJEMPLO DE ECUACION POLINÓMICAS DE 2º GRADO.
2 x 2  x5    x  1  x5  x
es equivalente a:
2 x 2   x  1  0
Cuya solución es:
x
  3  
 3 
22
2
 4  2 1
 1
3 1 

 1
4


 2
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