Producto Cartesiano
Capítulo 4. Relaciones
4.1 Producto Cartesiano o Cruz
Definición Dados los conjuntos A, B  U, el producto
cartesiano o cruz de A, B se define por A  B y es igual a
A  B  a , b  a  A , b  B 
Se dice que los elementos de A  B son pares ordenados.
Para (a, b), (c, d)  A  B, se tiene que (a, b) = (c, d) si y
sólo si, a = c y b = d.
Capítulo 4. Relaciones
4.1 Producto Cartesiano o Cruz
Si A, B son finitos, por la regla del producto resulta que A
 B = A  B . Aunque, en general, no es cierto que A  B
= B  A, se tendrá que A  B  B  A .
Además aunque A, B  U, no es necesario que A  B  U,
de modo que U no es necesariamente cerrado en esta
operación.
Capítulo 4. Relaciones
4.1 Producto Cartesiano o Cruz
EJEMPLO Sea U = {1, 2, 3, ... , 7}, A = {2, 3, 4}, B =
{4, 5}. Entonces,
a) A  B = {(2, 4), (2, 5), (3, 4),(3, 5),(4, 4), (4, 5)}.
b) B  A = {(4, 2), (4, 3), (4, 4), (5, 2), (5, 3), (5, 4)}.
c) B2=B  B = {(4, 4), (4, 5), (5, 4), (5, 5)}
d) B3=B  B  B =  a , b , c 
a, b, c  B ;
(4, 5, 5)B3.
Capítulo 4. Relaciones
4.1 Producto Cartesiano o Cruz
EJEMPLO Si U =R, R  R = se conoce como el plano
real de la geometría coordenada y del cálculo
bidimensional. El subconjunto R+R+ es el interior del
primer cuadrante de este plano. Así mismo, R3 representa
el espacio euclidiano tridimensional donde las superficies
tridimensionales, como esferas y planos, son
subconjuntos importantes.
Capítulo 4. Relaciones
4.1 Producto Cartesiano o Cruz
EJEMPLO Un experimento E se desarrolla de la
siguiente forma: se lanza un solo dado y se anota el
resultado; a continuación, se lanza una moneda al aire y
se anota el resultado. Determínese un espacio muestral
M para E.
Denótese por E1 la primera parte del experimento E y
sea M1 = {1, 2, 3, 4, 5, 6} un espacio muestral para E1.
Así mismo sea M2={CA,CZ} un espacio muestral para
E2, la segunda parte del experimento. Entonces, M = M1
 M2 es un espacio muestral para E.
Capítulo 4. Relaciones
4.1 Producto Cartesiano o Cruz
Este espacio muestral se puede representar gráficamente
con un diagrama de árbol.
Capítulo 4. Relaciones
4.1 Producto Cartesiano o Cruz
EJEMPLO En el torneo de tenis de Wimbledon, las mujeres
juegan a lo sumo 3 sets en un partido. Triunfa quien gane
primero 2 sets. Si N y E representan a las 2 jugadoras, el
diagrama de árbol refleja las 6 maneras en que puede
ganarse el encuentro.
Capítulo 4. Relaciones
4.2 Relaciones
Definición 3.2 Dados los conjuntos A, B  U, cualquier
subconjunto de A  B se denomina relación de A a B. A
cualquier subconjunto de A  A se denomina relación
binaria.
Capítulo 4. Relaciones
4.2 Relaciones
EJEMPLO Sea U = {1, 2, 3, ... , 7}, A = {2, 3, 4},
B = {4, 5}. las siguientes son relaciones de A a B.
a) 
b) {(2,4)}
c) {(2, 4), (2, 5)}
d) {(2, 4), (3, 4), (4, 4)}
e) {(2, 4), (3, 4), (4, 5)}
f) A  B.
Como A  B = 6, por la definición se deduce que hay 26
relaciones posibles de A a B.
Capítulo 4. Relaciones
4.2 Relaciones
En general, para conjuntos finitos A, B donde A = m y
.B = n, hay 2mn relaciones de A a B, incluyendo la relación
vacía y la propia relación A  B.
Capítulo 4. Relaciones
4.2 Relaciones
EJEMPLO Sea B = {1, 2}  N, U = P(B) y A = U ={,
{1}, {2}, {1, 2}}. El siguiente es un ejemplo de relación
binaria en A: R = {(, ), (, {1}), (, {2}), (, {1,
2}), ({1}, {1}), ({1},{1,2}), ({2}, {2}), ({2}, {1,2}),
({1,2}, {1,2})}. Se puede decir que la relación R es una
relación de subconjunto donde (C, D) R si y sólo si C,
D  B y C  D.
Capítulo 4. Relaciones
4.2 Relaciones
EJEMPLO Si A = U =Z+, se define una relación binaria
R en el conjunto A como  x , y  x  y  . Se trata de la
conocida relación “es menor o igual que” para el
conjunto de los enteros positivos,
Se observa que (7,7),(7,11)R,
y (8,2)R, (7,11)R también
se puede denotar como 7R 11;
(8,2)R se transforma en 8R
2 son ejemplos de notación
infija en una relación.
EJEMPLO Cuando el compilador Pascal traduce un
programa fuente del programa objeto a lenguaje de
máquina, éste elabora una tabla de símbolos que contiene
los siguientes conjuntos:
1.- S: el conjunto de nombres simbólicos, como variables,
constantes y tipos.
2.- A: el conjunto de posibles atributos para los elementos
de S, como entero, real, Booleano, carácter.
3.- L: el conjunto de posiciones, o direcciones de la
memoria donde se almacenan los elementos de S.
La información de la tabla proporciona relaciones de S a
A y de S a L.
Capítulo 4. Relaciones
4.2 Relaciones
Para cualquier conjunto A  U , A   = . (Si A   
, sea (a, b)  A  . Entonces, a A y b  , lo cual
es imposible). Así mismo   A = .
El producto cartesiano y las operaciones binarias de
unión e intersección están interrelacionados con el
siguiente teorema.
Capítulo 4. Relaciones
4.2 Relaciones
Teorema Para conjuntos arbitrarios A, B, C  U.
a) A   B  C    A  B    A  C 
b)
A  B  C    A  B    A  C 
c)  A  B   C
  A  C   B  C 
d)  A  B   C
  A  C   B  C 
Demostración Se demuestra el teorema a) y se deja el
resto como ejercicio.
Para cualquier a, b U, (a, b)  A   B  C  
a  A y b   B  C 
 a  A y b  B, b  C
a  A, b  B, y a  A, b  C
 (a, b) A  B y (a, b)  A  C
 (a, b)  (A  B)  ( A  C).
 A   B  C  = (A  B)  ( A  C)
Capítulo 4. Relaciones
4.2 Relaciones
Definición Una relación R en un conjunto A se
denomina reflexiva si para todo x A, (x, x)  R .
Se dice que R es reflexiva si cada elemento x de A está
relacionado consigo mismo
EJEMPLO Para A = {1, 2, 3, 4}, una relación R  A  A
será reflexiva si R {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4)}. Por
tanto, R1={(1,1), (2,2), (3,3)} no es una relación
reflexiva en A, mientras que R2= si es reflexiva en A.
Capítulo 4. Relaciones
4.2 Relaciones
EJEMPLO Dado un conjunto finito A con A =n, resulta
que A  A = n2, de modo que hay 2 n relaciones en A.
Cuántas son reflexivas?.
2
Capítulo 4. Relaciones
4.2 Relaciones
Si A ={a1, a2, ... ,an}, una relación R en A es reflexiva si
.  a i , a i  1  i  n   R . Al considerar los otros n2–n pares
ordenados de A  A (los de la forma a i , a j  , 1  i, j  n, i
 j) conforme se construye una relación reflexiva R en A,
se incluye o excluye cada uno de estos pares ordenados, y
por la regla del producto, hay 2 n  n  relaciones reflexivas
en A.
2
Capítulo 4. Relaciones
4.2 Relaciones
Definición La relación R en un conjunto A se llama
simétrica si (x, y)  R  (y, x)  R para x, y  A.
EJEMPLO Con A = {1, 2, 3}, se tiene que:
a)R1={(1,2),(2,1),(1,3),(3,1)} es simétrica, no reflexiva;
b)R 2={(1,1),(2,2),(3,3),(2,3)}es reflexiva, no simétrica;
c)R3={(1,1),(2,2),(3,3)};R4={(1,1),(2,2),(3,3),(2,3),(3,2)}
son reflexivas y simétricas.
Para contar las relaciones simétricas en A={a1,a2, ... ,an},
se escribe AA como A1A2, donde A1=   a i , a i  1  i  n  y
A2=a i , a j  1  i , j  n , i  j de modo que cada par en AA
está exactamente en uno de los conjuntos A1,A2. Para A2,
.A 2 = A  A – A1 = n2–n=n(n–1), un entero par. El conjunto
A2 contiene (1/2)(n2–n) subconjuntos de la forma
{(ai,aj),(aj,ai)},1ijn. Al establecer una relación
simétrica R en A, para cada par ordenado de A1, se
dispone de la selección usual de exclusión o inclusión.
Para los (1/2)( n2 – n) subconjuntos de pares ordenados
en A2, se dispone de las mismas opciones. Por tanto, por
la regla del producto, hay 2 n  2 1 / 2 n  n  = 2 1 / 2 n  n  relaciones
simétricas en A. Al contar las relaciones en A que son
reflexivas y simétricas, se tiene sólo una opción para
cada par ordenado en A1. De modo que hay 2 1 / 2 n  n  ,
relaciones en A que son reflexivas y simétricas.
2
2
2
Capítulo 4. Relaciones
4.2 Relaciones
Definición Para un conjunto A, una relación R en A se
llama transitiva si (x, y), (y, z)  R  (x, z)  R. (De
modo que si x “está relacionado con” y e y “está
relacionado con” z, se desea “relacionar” x con z,
representando y el papel de “intermediario”.)
Capítulo 4. Relaciones
4.2 Relaciones
EJEMPLO Defínase la relación R en el conjunto Z+ por
a R b si a divide b, por ejemplo, para alguna c Z+, b =
ca. Ahora si xRy e yRz, resulta xRz?. xRy  y = sx,
sZ+; yRz  z= ty, tZ+. En consecuencia, z= ty = t(sx)
= (ts)x, tsZ+, de modo que xRz y R es transitiva.
Además R es reflexiva, pero no simétrica, puesto que
2R6, pero 6R2.
EJEMPLO Si A ={1, 2, 3, 4}, entonces R1={(1,1),
(2,3),(3,4),(2,4)} es una relación transitiva en A, mientras
que R2={(1,3),(3,2)} no lo es, pues (1,2) R2.
Capítulo 4. Relaciones
4.2 Relaciones
Definición Dada una relación R en un conjunto A, R se
denomina antisimétrica si a R b, b R a  a = b. (En
este caso, la única manera de tener a a “relacionado con”
b y a b “relacionado con” a es que a y b sean uno y el
mismo elemento de A).
Capítulo 4. Relaciones
4.2 Relaciones
EJEMPLO Para un universo dado U defínase la relación
R en P(U) por (A, B)R si A  B, para A, B  U; de
modo que R es la relación de subconjunto y si A R B y
B R A, entonces se tiene A  B, B  A, lo que equivale a
A = B. En consecuencia, esta relación es antisimétrica,
además de reflexiva y transitiva, pero no simétrica.
Antes de cometer el error de pensar que “no simétrica” es
sinónimo de “antisimétrica”, téngase en cuenta lo
siguiente.
Capítulo 4. Relaciones
4.2 Relaciones
EJEMPLO Para A ={1, 2, 3}, la relación R en A dada por
R = {(1, 2), (2, 1), (2, 3)} no es simétrica porque (3, 2)
R, y tampoco es antisimétrica, pues (1,2), (2,1) R
pero 1  2. La relación R1={(1, 1), (2, 2)}es simétrica y
antisimétrica.
¿Cuántas relaciones son antisimétricas en A?
Al escribir A  A ={(1,1),(2,2),(3,3)}  {(1,2),(2,1),(1,3),
(3,1),(2,3),(3,2)}. Se hacen dos observaciones al intentar
construir una relación R antisimétrica en A.
Capítulo 4. Relaciones
4.2 Relaciones
1. Cualquier elemento (x, x) A  A puede incluirse o
excluirse sin importar si R es o no antisimétrica.
2. Para un elemento de la forma (x, y), x  y, se deben
tener en cuenta (x,y) e (y,x) y nótese que hay tres
opciones para que R permanezca antisimétrica: a)
situar (x, y) en R; b) situar (y, x) en R; c) no situar (x,
y) ni (y, x) en R. (Qué sucede si se sitúan (x, y) e (y,
x) en R?)
Capítulo 4. Relaciones
4.2 Relaciones
De esta manera por la regla del producto, el número de
relaciones antisimétricas en A es (23)(33) = (23)( 3 3  3  / 2 ).
Si A = n  0, entonces hay 2 n 3 n  n  / 2  relaciones
antisimétricas en A.
2
2
Capítulo 4. Relaciones
4.2 Relaciones
Definición La relación R en un conjunto A se denomina
orden parcial o relación de orden parcial si R es
reflexiva, antisimétrica y transitiva.
EJEMPLO la relación de subconjunto es un orden
parcial.
Capítulo 4. Relaciones
4.2 Relaciones
Definición Una relación de equivalencia R en un
conjunto A es una relación reflexiva, simétrica y
transitiva.
EJEMPLO Sea nZ+. Para x, y  Z, se define la relación
R de módulo n por medio de x R y si y sólo si, x – y es
un múltiplo de n. Con n = 7, se halla que 9 R 2, -3 R 11,
(14,0)  R pero 3 R 7.
Capítulo 4. Relaciones
4.2 Relaciones
Para cualquier conjunto A, A  A es una relación de
equivalencia en A, y si A = {a1, a2, ... , an}, la relación de
equivalencia más pequeña en A es R =  a i , a i  1  i  n  .
Si R es una relación en un conjunto A, entonces R es una
relación de equivalencia y un orden parcial en A si y sólo
si es la relación de igualdad en A.
Relaciones de Orden
Capítulo 4. Relaciones
4.3 Relaciones de Orden
N
+, *
1+2, 2*3
Z
+, *, 
x+5=2
Q
+, *, , /
2x + 3 = 4
R
+, *, , / ,±
x2 – 2 = 0
C
+, *, , / ,
x2 + 1 = 0
A medida que se aumenta desde N hasta C se adquiere
mayor capacidad para resolver ecuaciones polinomiales,
aunque al pasar de R a C se pierde algo.
Capítulo 4. Relaciones
4.3 Relaciones de Orden
En R, dados los números r1, r2 con r1r2, siempre es
posible decir si r1 r2 o r2 r1. No obstante en C, (2+i)
(1+2i). Se ha perdido la capacidad de “ordenar” los
elementos del sistema numérico.
Capítulo 4. Relaciones
4.3 Relaciones de Orden
Sea A un conjunto y R una relación en A. El par (A, R)
se llama conjunto parcialmente ordenado si la relación R
en A es un orden parcial, o una relación de ordenamiento
parcial. Si a A se le denomina conjunto parcialmente
ordenado, se sobre entiende que hay un orden parcial R
en A que convierte a A en este conjunto parcialmente
ordenado.
Capítulo 4. Relaciones
4.3 Relaciones de Orden
EJEMPLO Sea A el conjunto de cursos ofrecidos en una
universidad. Defínase la relación R en A mediante x R y
si x e y son el mismo curso o si x es un requisito previo
para y. Entonces, R transforma a A en un conjunto
parcialmente ordenado.
EJEMPLO Defínase R en A = {1, 2, 3, 4} por x R y, si ,
es decir, x divide a y. Entonces, R ={(1, 1), (2, 2), (3, 3),
(4, 4), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 4)} es un orden parcial y
(A, R) es un conjunto parcialmente ordenado.
Capítulo 4. Relaciones
4.3 Relaciones de Orden
EJEMPLO Para construir una casa hay ciertos trabajos,
como excavar los cimientos, que deben realizarse antes
de poder comenzar otras fases de la construcción . Si A es
un conjunto de tareas que deben realizarse para construir
una casa o completar un proceso especial de fabricación,
se puede definir una relación R en A por x R y si x e y
denotan la misma tarea o si la tarea x debe realizarse
antes de comenzar la y. De esta manera se asigna un
orden a los elementos de A, convirtiéndolo en un
conjunto parcialmente ordenado.
Capítulo 4. Relaciones
4.3 Relaciones de Orden
EJEMPLO En el conjunto A = {1, 2, 3, 4, 5}, la relación
R en A, definida por x R y si x  y, es un orden parcial,
que transforma a A en un conjunto parcialmente
ordenado que se puede denotar por (A, ). Si B = {1, 2,
4}  A, el conjunto ={(1, 1), (2, 2), (4, 4), (1, 2), (1, 4),
(2, 4)} es un orden parcial en B.
Capítulo 4. Relaciones
4.3 Relaciones de Orden
En general si R es un orden parcial en A, entonces para
cualquier subconjunto B de A,  B  B   R convierte a B
en un conjunto parcialmente ordenado, donde el orden
parcial de B se induce de R.
Definición Si (A, R) es un conjunto parcialmente
ordenado, se dice que A está totalmente ordenado si para
toda x, y A se cumple x R y o y R x. En este caso R se
denomina orden total.
Capítulo 4. Relaciones
4.3 Relaciones de Orden
EJEMPLO En el conjunto N, la relación R definida por
x R y si x  y es un orden total. La relación de
subconjunto aplicada a A = P(U), U = {1, 2, 3} es un
orden parcial, pero no total: {1, 2}, {1, 3}A, pero ni {1,
2}  {1, 3} ni {1, 3}  {1, 2}.
Capítulo 4. Relaciones
4.3 Relaciones de Orden
Definición Si (A, R) es un conjunto parcialmente
ordenado, un elemento x  A se llama maximal de A si
para toda a  A, a  x  x R a . Un elemento y  A se
denomina minimal de A si cuando b  A y b  y, entonces
b R y.
Capítulo 4. Relaciones
4.3 Relaciones de Orden
EJEMPLO Sea U = {1, 2, 3} y A = P(U).
Sea R la relación de subconjunto en A. Entonces U es
maximal, mientras que  es minimal para este conjunto
parcialmente ordenado.
Para B, la colección de subconjuntos propios de {1, 2, 3},
sea R la relación de subconjunto en B . En el conjunto
parcialmente ordenado (B, ), {1, 2}, {1, 3}, {2, 3} son
elementos maximales, mientras que  es el único
elemento minimal.
Capítulo 4. Relaciones
4.3 Relaciones de Orden
EJEMPLO Con la relación R “es menor o igual que” en
el conjunto Z, (Z, ) es un conjunto parcialmente
ordenado sin elemento maximal ni minimal. No obstante
el conjunto parcialmente ordenado sin elemento maximal
ni minimal. No obstante, el conjunto parcialmente
ordenado (N, ) tiene elemento minimal 0, pero no
maximal.
Capítulo 4. Relaciones
4.3 Relaciones de Orden
Teorema Si (A, R) es un conjunto parcialmente
ordenado y A finito, entonces A tiene elementos maximal
y minimal.
Demostración Sea a1A. Si no hay elemento a  A, a 
a1 con a1 R a , entonces a1 es maximal. De no ser así,
hay un elemento a2  A , a2  a1, con a1 R a2.
Capítulo 4. Relaciones
4.3 Relaciones de Orden
Si ningún elemento a  A, a  a2 , cumple a2 R a,
entonces a2 es maximal. De lo contrario se puede
encontrar a3  A, a3  a2 , a3  a1 (¿por qué?) con a1 R
a2 y a2 R a3. Siguiendo así, como A es finito, se alcanza
un elemento an  A con an R a para cualquier a  an  A,
de modo que an es maximal.
Capítulo 4. Relaciones
4.3 Relaciones de Orden
Definición Si (A, R) es un conjunto parcialmente
ordenado, un elemento x  A se denomina elemento
mínimo si x R a, para todo a  A. El elemento y  A se
denomina máximo si a R y para toda a  A.
Capítulo 4. Relaciones
4.3 Relaciones de Orden
EJEMPLO Sean U = {1, 2, 3} y R la relación de
subconjunto.
a) Con A = P(U), (A, ) tiene a  como elemento
mínimo y a U como máximo.
b) Para B = la colección de subconjuntos no vacíos de U,
(B, ) tiene a U como elemento máximo. No existe
elemento mínimo, pero si tres elementos minimales.
Capítulo 4. Relaciones
4.3 Relaciones de Orden
Para un conjunto parcialmente ordenado (A, R), es
posible tener varios elementos maximales y minimales.
¿Qué sucede con los elementos mínimo y máximo?
Capítulo 4. Relaciones
4.3 Relaciones de Orden
Teorema Si el conjunto parcialmente ordenado (A, R)
tiene algún elemento máximo (mínimo), ese elemento es
único.
Demostración Supóngase que x, y A y que ambos son
elementos máximos. Como x es un elemento máximo, y
R x. Así mismo, x R y, pues y es un elemento máximo.
Como R es antisimétrico, x = y.
Capítulo 4. Relaciones
4.3 Relaciones de Orden
Definición Sea (A, R) un conjunto parcialmente
ordenado con B  A. Un elemento x  A se llama cota
inferior de B si x R b para toda bB. Si y  A y b R y,
para toda b  B, y se denomina cota superior de B.
Capítulo 4. Relaciones
4.3 Relaciones de Orden
Un elemento x´A se llama máxima cota inferior (mci)
de B si es una cota inferior de B y si para el resto de las
cotas inferiores x´´ de B, x´´ R x´. De manera análoga, y´
 A es una mínima cota superior (mcs) de B si es una
cota superior de B y para el resto de las cotas superiores
y´´ de B, y´ R y´´.
Capítulo 4. Relaciones
4.3 Relaciones de Orden
EJEMPLO Sea R la relación “es menor o igual que” para
el conjunto parcialmente ordenado en el siguiente caso:
Si A = R, y B = [0, 1], entonces B tiene mci 0 y mcs 1.
Obsérvese que 0, 1  B. Para C = (0, 1], C tiene mci 0 y
mcs 1, y 1  C, pero 0  C.
Capítulo 4. Relaciones
4.3 Relaciones de Orden
Teorema Si (A, R) es un conjunto parcialmente
ordenado y B  A, si B tiene mcs (mci), ésta es única.
Demostración. Se deja como ejercicio.
Capítulo 4. Relaciones
4.3 Relaciones de Orden
Definición El conjunto parcialmente ordenado (A, R) se
denomina red si para cualquier x, y  A, existen la
mcs{x, y} y la mci{x, y} .
EJEMPLO. Para A=N, y x,y N, defínase xRy por x  y.
Entonces mcs{x, y}= max{x, y}, mci{x, y}=min{x, y} y
(N, ) es una red.
Relaciones de Equivalencia
Capítulo 4. Relaciones
4.4 Relaciones de Equivalencia
Recordemos que R en un conjunto A es una relación de
equivalencia si es reflexiva, simétrica y transitiva.
Capítulo 4. Relaciones
4.4 Relaciones de Equivalencia
Si se considera la relación R en Z definida por x R y, si
x – y es un múltiplo de 2, entonces R es una relación de
equivalencia en Z, donde todos los enteros pares e
impares están relacionados. Por ejemplo, aquí no se tiene
4 = 8, pero si 4 R 8, pues ya no interesa el tamaño de un
número, sino sólo dos propiedades: paridad e imparidad.
Esta relación descompone Z en dos subconjuntos
formados por los enteros pares e impares: Z = {... , -3, -1,
1, 3, ...}  {... , -4, -2, 2, 4, ...}. Esta descomposición de
Z es un ejemplo de partición, concepto íntimamente
ligado a la relación de equivalencia.
Capítulo 4. Relaciones
4.4 Relaciones de Equivalencia
Definición Dados un conjunto A y un conjunto de índices,
I, sea Ai A, para cada iI. Entonces Ai i I es una
partición de A si
a)
A
A
i
i I
b) A i  A j   , para i, j  I, i  j.
Cada conjunto Ai se llama celda o bloque de la partición.
Capítulo 4. Relaciones
4.4 Relaciones de Equivalencia
EJEMPLO Si A = {1, 2, 3, ..., 10}, entonces los
siguientes conjuntos son particiones de A:
a) A1 = {1, 2, 3, 4, 5}, A2 ={6, 7, 8, 9, 10};
b) A1 = {1, 3, 5, 7, 9}, A2={2, 4, 6, 8, 10};
c) A1 = {1, 2, 3}, A2 ={4, 6, 7, 9}, A3 = {5, 8, 10};
d) Ai = {i, i+5}, 1  i  5.
Capítulo 4. Relaciones
4.4 Relaciones de Equivalencia
EJEMPLO Sea A=R y para cada iZ, sea Ai=[i, i+1).
Entonces constituye una partición de R.
Definición Sea R una relación de equivalencia en un
conjunto A. Para cualquier x  A, la clase de equivalencia
de x, denotada por [x], se define mediante
[ x ]  y  A y R x 
Capítulo 4. Relaciones
4.4 Relaciones de Equivalencia
EJEMPLO Defínase la relación R en Z, por xRy, si 4
divide a (x–y). Para esta relación se encuentra que
[0] = {..., -8, -4, 0, 4, 8, 12, ...} = {4k  kZ}
[1] = {..., -7, -3, 1, 5, 9, 13, ...} = {4k + 1  kZ }
[2] = {..., -6, -2, 2, 6, 10, 14, ...} = {4k + 2 kZ }
[3] = {..., -5, -1, 3, 7, 11, 15, ...} = {4k + 3 kZ }
{[0], [1], [2], [3]} proporciona una partición de Z.
Teorema Si R es una relación de equivalencia en un
conjunto A y x, y A, entonces: a) x [x]; b) x R y si y
sólo si [x] = [y] y c) [x] = [y] o [x]  [y] = .
Demostración
a) Este resultado se obtiene de la propiedad reflexiva de R
b) Si x R y , sea w [x]. Entonces, w R x; además como R
es transitiva, w R y. Por tanto, w  [y] y [x]  [y]. Con R
simétrica, x R y  y R x. De este modo, si t [y], entonces
t R y y por la propiedad transitiva, t R x. De ahí que t  [x]
e [y] [x]. Por tanto [x] = [y]. A la inversa sea [x] = [y].
Como por el apartado a) x  [x], entonces x  [y] o x R y.
c) Esta propiedad plantea que las clases de equivalencia
sólo se pueden relacionar de dos maneras: son idénticas o
disjuntas.
Capítulo 4. Relaciones
4.4 Relaciones de Equivalencia
c) Continuación... Se supone que [x]  [y] y se muestra
cómo entonces resulta que [x]  [y] = . Si [x]  [y]  ,
entonces sea v  A con v  [x] y v  [y]. Por tanto, v R x, v
R y  x R y. Además por el apartado b), x R y  [x] = [y].
Esto contradice la hipótesis de que [x]  [y], por tanto se
rechaza la hipótesis de que [x]  [y]  , y de ahí se
obtiene el resultado.
Capítulo 4. Relaciones
4.4 Relaciones de Equivalencia
Obsérvese que si R es una relación de equivalencia en A,
entonces, de acuerdo con a) y c) del teorema anterior, las
distintas clases de equivalencia determinadas por R
constituyen una partición de A.
EJEMPLO Si A ={1, 2, 3, 4, 5} y R = {(1, 1), (2, 2), (2,
3), (3, 2), (3, 3), (4, 4), (4, 5), (5, 4), (5, 5)}, entonces R
es una relación de equivalencia en A, [1] = {1}, [2] =
{2,3}=[3], [4]={4,5}=[5] y A = [1]  [2]  [4].
Capítulo 4. Relaciones
4.4 Relaciones de Equivalencia
EJEMPLO 3.31 En FORTRAN ANSI hay una instrucción
llamada instrucción EQUIVALENCE, que permite a dos o
más variables de un programa dado referirse al mismo lugar
en la memoria. Por ejemplo EQUIVALENCE (A, C, P),
(ARRIBA, ABAJO). Informa al compilador que las
variables A, C, P compartirán un lugar en la memoria y que
ARRIBA y ABAJO compartirá otro. Aquí el conjunto de
todas las variables del programa se descompone por la
relación de equivalencia R, donde V1 R V2 si V1 y V2 son
variables de programa que comparten una misma localidad
de la memoria.
EJEMPLO Después de ver ejemplos de cómo una relación
de equivalencia origina una partición de un conjunto, se
volverá a ello. Si una relación de equivalencia R en A = {1,
2, 3, 4, 5, 6, 7} causa la partición A = {1, 2}  {3}  {4, 5,
7}  {6}, ¿Cuál es el valor de R?
Considérese el subconjunto {1, 2} de la partición. Este
subconjunto implica que [1] = {1, 2} = [2], y así (1, 1), (2,
2), (1, 2), (2, 1)  R. (Los primeros dos pares ordenados
son necesarios para la propiedad reflexiva de R, en tanto
que los otros preservan la simetría). De manera análoga, el
subconjunto {4, 5, 7} implica que bajo R, [4] = [5] = [7] =
{4, 5, 7} y que, como relación de equivalencia, R debe
contener {4, 5, 7}  {4, 5, 7}. De hecho R = ({1, 2}  {1,
2})  ({3}  {3})  ({4, 5, 7}  {4, 5, 7})  ({6}  {6}), y
|R| = 22 + 12 + 32 + 12 = 15.
Capítulo 4. Relaciones
4.4 Relaciones de Equivalencia
Teorema Si A es un conjunto, entonces:
a) Cualquier relación de equivalencia R en A origina una
partición de A.
b) Cualquier partición de A origina una relación de
equivalencia R en A.
Capítulo 4. Relaciones
4.4 Relaciones de Equivalencia
Demostración:
El apartado a) resulta de los apartados a) y c) del teorema
anterior.
Para el apartado b), dada una partición de A, defínase la
relación R en A por x R y, si x, y están en la misma celda
de la partición. Se deja como ejercicio la comprobación de
que R es una relación de equivalencia.
Descargar

Producto cruz Relaciones y Funciones