Relaciones de equivalencia
Definición
Relaciones de equivalencia
Sea A un conjunto no vacío en el conjunto Universal U.
Una relación binaria R sobre A, es una relación de equivalencia
si R satisface las tres propiedades:

R es reflexiva

R es simétrica

R es transitiva
Ejemplos
Relaciones de equivalencia
1) La relación R sobre Z definida por: a R b  a – b es múltiplo de
3.
2) Sea k, la relación R sobre Z: a R b  a – b es múltiplo de k.
3) Dado un conjunto D  U, la relación: A R B

4) Sobre los números reales , la relación R:
xRy

x–yZ
(x,y) R (a,b)

x.y = a.b
5) La relación R sobre 2 definida por:
AD=B D
6) La relación R sobre Z2 definida por: (m,n) R (p,q)  m+q = n+p
Una relación de equivalencia identifica los elementos de un conjunto que
satisfacen una misma propiedad y los llama elementos equivalentes.
Partición de un conjunto
Definición:
Sea A un conjunto no vacío. Sean
A j  A y A j  , j  J, J  Ν
Diremos que P es una partición de A y escribimos Ρ  A j  si:
 Aj  A
jJ
y
Ai  A j   i, j  J, i  j
Cada subconjunto Aj es una celda de la partición
Ejemplos:
1) Sea A = {1, 2, 3, 4, 5} una partición P de A, con 3 celdas, es
P = { {1,3}, {4}, {2,5} }, donde A1={1,3}, A2={4}, A3={2,5}.
En efecto {1,3} {4}=  {1,3}  {2,5}=   {4}  {2,5}=.
Además {1,3}  {4} {2,5} = {1, 2, 3, 4, 5} = A
Partición de un conjunto
Ejemplos:
2) Sea A = {1, 2, 3, 4} una partición P de A con 2 celdas es
P = { {1}, {2,3,4} },
donde A1={1}, A2={2,3,4}.
En efecto
{2,3.4}  {1} = 

{1}  {2,3,4} = {1, 2, 3, 4} = A
Ejercicios
Ejercicio 1:
Determine todas las particiones posibles para el conjunto
A = {1, 2, 3}
Ejercicio 2:
Determine el número de particiones distintas para el conjunto
A = {1, 2, 3, 4} con exactamente dos celdas.
Para pensar:
Cuente todas las particiones distintas del conjunto
A = {1, 2, 3, 4, 5}.
Clase de equivalencia
Definición:
Sea R una relación de equivalencia en un conjunto A no vacío.
Sea a  A, llamaremos clase de equivalencia de a y la
escribiremos por [a] al conjunto de todos los elementos que
están relacionados con a, es decir
[a] = { x  A / x R a }
Ejemplo:
La relación R sobre Z :
a R b  a – b es múltiplo de 2.
Hay dos clases de equivalencia distintas, la del 0 y la del 1:
[0] = { 0, ±2, ±4, ±4,… } y
[1] = { ±1, ±3, ±5,… }
Ejercicios
Ejercicio 3:
En el conjunto A = {1, 2, 3, 4} se define la siguiente relación
R = {(1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (1,2), (2,1)}
Determine [1], [2] y [4]
Clase de equivalencia
Definición:
Sea R una relación de equivalencia en A. El conjunto de las
clases de equivalencia se llama conjunto cociente de A por
R.
A  x / x  A
/R
El conjunto cociente es una partición de A
En efecto,
 Las clases de equivalencia son disjuntas dos a dos.
 La unión de todas las celdas coincide con el conjunto A.
Demostración:
1) Sean
x,
Clase de equivalencia
y  A  [x]= [y]  [x]  [y] = 
i) Si x R y  [x]= [y];
sea z  [x]  z R x  x R y  z R y (transitividad)
 z  [y], de donde [x]  [y].
Razonando de manera similar se prueba que [y]  [x].
Por lo tanto, [x] = [y].
ii) Si (x,y)  R entonces [x]  [y] = .
En efecto, si existiera z  [x]  [y] entonces z R x  z R y
por lo tanto, x R y, lo cual es un absurdo.
Demostración:
2) Veamos que
A   x 
Clase de equivalencia
xA
En efecto, si
x  A, como R es reflexiva, x R x  x  [x]
 x   x 
xA
 A   x 
xA
Por otro lado, sea z tal que
z   x   z  x , para algún x  A,  zRx  z  A
xA
  x   A
xA
Clase de equivalencia
Toda relación de equivalencia sobre A genera una
partición en A.
Toda partición sobre el conjunto A, genera una
relación de equivalencia
Ejercicios
Ejercicio 5:
En 2, la relación R definida por:

(x,y) R (a,b)
x.y = a.b
Determine las clases de equivalencia y dibújelas en el plano
Ejercicio 6:
Definimos en Z, la relación R:
xRy

x2 – y2 = x – y
Encuentre las clases de equivalencia de algunos números, por
ejemplo 0, 5 y 8
Solución 1:
Soluciones
Como A tiene 3 elementos solo podemos tener particiones
con 3 celdas, 2 celdas y 1 celda, es decir, como A=3, el
número 3 puede escribirse como
3 = 3 (partición con una celda de 3 elementos). Hay 1
3=2+1 (partición con dos celdas de 1 y 2 elementos). Hay
3=1+1+1 (partición con tres celdas de 1 elemento). Hay 1
Hay 5 particiones de distintas de A
P1 ={ {1, 2, 3}}
P2 = {{1, 2}, {3}}, P3 = {{1, 3}, {2}}, P4 = {{2, 3}, {1}}
P5 = {{1}, {2}, {3}}
3
   3
 2
 
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