Relaciones y
Funciones
Trabajo Práctico Nº 3
Relaciones y Funciones
1) Sea A = { 1 ; 2 }. Construya el conjunto P(A) x A.
2) a) Dé un ejemplo de conjuntos A ; B ; C y D tales que : A  C y B  D.
Observe que A x B  C x D.
b) Suponiendo que A x B  C x D ¿se sigue de esto necesariamente
que A  C y B  D ?. Explique.
3) Sean A = { x  N / 1  x  5 } y B = { 3 ; 4; 5 }. Se define R  A x B
mediante
(x,y) R  x + y  5.
i) Definir R por extensión.
ii) Representar A x B y R.
iii) Determinar R-1.
4) Se consideran A = { 1; 2; 3; 4; 5 } ; B={ 1; 4; 6; 16 } ; C = {2 ;3 ;8 ;10}
y las relaciones R  A x B ; S  B x C, definidas por :
(x,y)  R  y = x2
y
(y,z)  S  z = y/2
Se pide : i) Determinar R y S por extensión.
ii) Definir la composición S º R  A x C por extensión.
iii)Determinar los dominios e imágenes de las tres relaciones.
5) Analizar si las siguientes relaciones son o no de equivalencia.
R = { ( -1,-3) ; (-2,0) ; (0,0) ; (-1,-1) }
S = { (2,2) ; (2,1) ; (3,3) ; (1,1) ; (3,2) ; (0,0) }
en A = { -3, -2, -1, 0 }
en B = { x  N0 / x  3 }
6) Sea A un conjunto de libros. Sea R1 una relación binaria definida en
A /(a,b)  R1  el libro a cuesta mas y tiene menos hojas que b. ¿ Es R1
reflexiva ? ¿ simétrica ? ¿ antisimétrica ? ¿ transitiva ?.
7) Sea R una relación binaria sobre el conjunto de todas las sucesiones
de ceros y unos, tal que :
R = {(a, b) / a  b son sucesiones que tienen el mismo número de ceros}.
¿ Es R reflexiva ? ¿ simétrica ? ¿ antisimétrica ? ¿ transitiva ? ; ¿ es
relación de equivalencia ? ¿ es relación de orden ?
8) Sea R una relación binaria sobre el conjunto de todos los enteros positivos ,
tal que : R = {(a, b) / a - b es un entero positivo impar}. ¿ Es R reflexiva ?
¿ simétrica ? ¿ antisimétrica ? ¿ transitiva ? ; ¿ es una relación de equivalencia ?
¿ es una relación de orden ?
9) Descubrir la falla del razonamiento en la siguiente argumentación, que
pretende probar que la reflexividad es una consecuencia de la simetría y de la
transitividad :
xRy  xRy  yRx  xRx
10) a) Determinar si el conjunto P = { A1; A2 } constituye una
partición de Z con A1 = {x  Z : 2  x} y A2 = { x  Z : 2  x }
b) Determinar si el conjunto Q constituye una partición de Z ;
Q = { N; Z- }
11) Dado el conjunto de conjuntos
B = {1, 3}
M = {A, B, C, },
C = {3}
donde A = {1, 2, 3, 4}
Clasificar en M la relación “  ”.
12) Analizar si (N, ) y (N,  ) son láttices.
13) Representar gráficamente las siguientes relaciones :
1
a) f : R  R / f(x) = -5 x
b) g : Zpares  Z / g(x) =
x
2
c) h : N  N / h(x) = 2 x + 3
14) Sean las relaciones fi : R  R con i = 1,2, . . . . 6
fórmulas :
f1(x) = - 3 x + 4
f2(x) = - x2 + 4 x – 3
f3(x) = log 2 ( 2x - 3 )
f4(x)=
 x 1

 3
x 3  1

x
f6(x) =
2
x3
2

f5(x) =  1
ln x

si
si
dadas por las
x  0
x  0
si
2  x  0
si
x  0
si 0  x  1
si
x 1
a)
Determine en cada caso el Dominio y la Imagen para que la relación
resulte una función
b)
Represente gráficamente cada una de las fi
c)
Clasifique cada una de las fi
d)
En los casos que sea posible, determine y represente gráficamente f-1
Conjunto de partes Se escribe P(A)
se lee “partes de A”
y está formado por todos los subconjuntos posibles que pueden
formarse con los elementos del conjunto A, incluido el conjunto vacío
{}=
Sea A { a, b, c }
{a}
•a
{b}
•b
{c}
•c
A
•a
•b
•c
•a
•b
•c
•a
•b
{a,b}
•a
•c
{a,c}
•b
•c
{b,c}
{a, b, c}
entonces el conjuntos de partes de A es:
El número de
elementos que
conforman
P(A) es 2n
donde n = A
A se lee cardinal del
conjunto A y es igual a
la cantidad de
elementos que tiene el
conjunto A
P(A)= { {a}; {b}, {c}; {a,b}; {a,c}; {b,c}; {a,b,c}  }
Producto Cartesiano
Dado un conjunto A = { a, b }
y un conjunto B = { 1, 2 }
El producto cartesiano A x B se
forma con todos los pares ordenados
posibles conformados por elementos
del conjunto A en el primer lugar del
par ordenado y elementos del conjunto
B en el segundo lugar del par ordenado
A
B
•a
•b
•1
•2
A x B = { (a, 1), (a, 2), (b, 1),(b, 2) }
También podemos representar el producto cartesiano en un par de ejes coordenados
B
2
1
A x B
(a, 2) (b, 2)
(a, 1) (b, 1)
a
b
A
En el eje de abscisas (x) el conjunto A
En el eje de ordenadas (y) el conjunto B
y los pares ordenados en las intersecciones de
las perpendiculares a cada uno de los ejes, que
pasan por los elementos involucrados
1) Si A = { 1, 2 }
P(A) = { ; {1}; {2}; {1,2} }
Recuerda que cada uno de los subconjuntos posibles formados con
los elementos del conjunto A, es un elemento de P(A)
P(A) xA = { (,1); (,2); ({1},1); ({1},2); ({2},1); ({2},2); ({1,2},1); ({1,2},2) }
observa que en cada par ordenado, el 1er elemento  P(A)
y el 2do elemento  A
2) a) Si
C
•a
A={a}
B={2}
C = { a, b }
D
A
•2
ubicamos ahora
B
2
1
A x B
C x D
(a, 2)
(b, 2)
(a, 1) (b, 1)
a
b
A  C
y
B  D
A x B = { (a,2) }
en ejes cartesianos
B
2
C x D = { (a,1); (a,2); (b,1); (b,2) }
•1
•b
D = { 1, 2 }
1
A
el único par ordenado de AxB; (a,2)  CxD
entonces A x B  C x D
2 b) Si A x B  C x D ¿se sigue de esto necesariamente
que A  C y B  D ?. Explique.
Si
a  A  (a, b)  A x B, b  B
si el elemento a pertenece al conjunto A entonces el par ordenado (a, b) pertenece
al producto cartesiano A x B para todo elemento b que pertenece al conjunto B
Si a es elemento del conjunto A, entonces el elemento a con
cualquier otro elemento del conjunto B forma un par ordenado del
producto cartesiano A x B
Por la consigna del ejercicio A x B  C x D , entonces . . .
si (a, b)  A x B entonces (a, b)  C x D luego a  C, luego
AC
Análogamente puede hallarse que B  D
si b  B  (a, b)  A x B, a  A
por la consigna del ejercicio A x B  C x D , entonces . . .
si (a, b)  A x B entonces (a, b)  C x D luego b  D, luego
BD
Relaciones
Dado un producto cartesiano A x B,
si se verifica que entre los elementos de algunos (o todos) los pares
ordenados que lo conforman se cumple una cierta propiedad,
existe una relación
R  A x B  (x,y)  R : x  A  Y  B
incluida en el producto cartesiano A xB si y solo si para todo par ordenado (x, y)
que pertenece a la relación R se verifica que el elemento x pertenece al conjunto A
y que el elemento y pertenece al conjunto B
A
B
•1
Sean A = { 1, 2 }
•2
•2
y
B = { 2, 3 }
En A x B = { (1, 2); (1, 3); (2, 2); (2, 3) }
•3
Definimos
R  A x B : (x,y)  R  y = 2x
De analizar los pares ordenados que conforman A x B resulta que algunos pueden
verificar (otros no) o puede suceder que todos verifiquen e incluso también puede
suceder que ningún par ordenado verifique la condición
Analizamos
en el par (1, 2)
x=1 y=2
en el par (1, 3)
x=1 y=3
2=21
entonces (1, 2)  R
Y=2x
321
entonces (1, 3)  R
en el par (2, 2) x = 2 y = 2
222
entonces (2, 2)  R
en el par (2, 3) x = 2 y = 3
322
entonces (2, 3)  R
R = { (1, 2) }
La relación antes vista R = { (1, 2) } definida por comprensión será:
R = { (x, y) / x  A  y  B  y = 2x }
Observe que la definición por comprensión considera:
los elementos que componen la relación
pares ordenados (x, y)
a qué conjunto pertenecen cada uno de los elementos x  A ;
cómo se vinculan los elementos de cada par ordenado
y  B
y = 2x
La relación se representa en ejes cartesianos, en diagrama de Venn y en tablas
B
3
2
R  A x B
(1, 3) (2, 3) A x B
(1, 2)
1
(2, 2)
2
A
Ejes cartesianos
R
A
•1
•2
B
•2
•3
Diagramas de Venn
B
2
3
1
x
-
2
-
-
A
Tabla de R
3) Si A = { x  N / 1  x  5 }
por extensión
A = {1, 2, 3, 4, 5 }
B = { 3, 4, 5 }
Se define R  A x B mediante
(x,y)  R  x + y  5.
1+3=45 
1+4=5=5 
1+5=65 
2+3=5=5 
2+4=65 
2+5=75 
3+3=65 
3+4=75 
3+5=85 
(1, 3)  R
(1, 4)  R
(1, 5)  R
(2, 3)  R
(2, 4)  R
(2, 4)  R
(3, 3)  R
(3, 4)  R
(3, 5)  R
B
4+3=75
4+4=85
4+5=95
5+3=85
5+4=95
5 + 5 = 10  5
•1






•2
A x B
(1,3) (2,3) (3,3) (4,3) (5,3)
3
1
•4
•5
en Diagrama de Venn
R = { (1, 3), (1, 4), (2, 3) }
(1,4) (2,4) (3,4) (4,4) (5,4)
4
B
•3
(4, 3)  R
(4, 4)  R • 3
•4
(4, 5)  R
(5, 3)  R
•5
(5, 4)  R
(5, 5)  R
(1,5) (2,5) (3,5) (4,5) (5,5)
5
R
A
2
3
4
5
En Gráfico cartesiano
A
R
R-1 se conforma con los pares
ordenados de R, pero cambiando
el orden de los elementos en
cada par
Si (x,y)  R entonces (y,x) R-1
R-1 = { (3, 1); (4, 1); (3, 2) }
R-1 = { (y, x)  BxA  y + x  5 }
Composición de Relaciones
A
Sean los conjuntos A; B y C
a
Y entre ellos se establecen
relaciones
R: A  B
y
S C
v
w
2
S: B  C

Como una relación que va de A en C
(a, 2)  R
Puede suceder:
Entonces:
B
1
b
Definimos la composición de R y S,
que se escribe S  R
(a, w)  S  R
R
A
a
b
y (2, w)  S
SR
R
1
B S
S  R = { (a, w) }
C
2
S  R = { (b, w); (b, v) }
v
w
4) Se consideran A = { 1; 2; 3; 4; 5 } ; B={ 1; 4; 6; 16 }
C = {2 ;3 ;8 ;10}
y la relación R  A x B ; S  B x C, definidas por :
A x B = { (1,1); (1,4); (1,6); (1,16); (2,1); (2,4); (2,6); (2,16); (3,1); (3,4);
(3,6); (3,16); (4,1); (4,4); (4,6); (4,16); (5,1); (5,4); (5,6); (5,16) }
de analizar cuales son los pares ordenados que verifican la condición y = x2
(x,y)  R  y = x2 ; R  A x B
A
1
3
1
1
2
4
5
R = { (1,1); (2,4); (4,16) }
B
B
4
 16
6
surge que
4
6
16
C
2
3
 10
8
B x C = { (1,2); (1,3); (1,8); (1,10); (4,2); (4,3); (4,8); (4,10);
(6,2); (6,3); (6,8); (6,10); (16,2); (16,3); (16,8); (16,10) }
analizando los pares ordenados que verifican la condición z = y / 2
(y,z)  S  z = y/2 ; S  B x C
surge que
S = { (4,2); (6,3); (16,8) }
Si
El dominio de la relación R es
un conjunto formado por todos
los elementos del primer
conjunto (A), que intervienen
R = { (x,y)  A x B / y = x2 }
A
R
1
3
2
4
5
B
en la relación
1
La imagen de la relación R es un
conjunto formado por todos los
elementos del segundo conjunto
(B) que intervienen en la relación
4
6
 16
Dm R = { 1, 2, 4 }
El dominio de la relación S es un
conjunto formado por todos los
elementos del primer conjunto (A),
S = { (y,z)  B x C / z = y/2 }
que intervienen en la relación
La imagen de la relación R es un
conjunto formado por todos los
elementos del segundo conjunto
(B) que intervienen en la relación
Dm S = { 4, 6, 16 }
Im R = { 1, 4, 16 }
Im R = { 2, 3, 8 }
B
S
1
4
6
 16
C
2
3
8
 10
S  R es la composición de dos relaciones
Sean R: A  B
A
R
1
3
y
S: B  C
B
S  R = S[R]
B
1
S
1 4
2
4
5 4
6
 16
2
6
3
 16
 8  10
S cerito R ó R compuesta con S
Que se lee
C
Se conforma con los
elementos de A y de C
De manera que (x,z)  S  R  (x,y)  R  (y,z)  S
(1, 1)  R pero 1  B no se relaciona con ningún elemento de C
(2,4)  R y (4,2)  S entonces (2,2)  S  R
S  R = { (2,2); (4,8)}
3  A no se relaciona con ningún elemento de B
Dm S  R = { 2, 4 }
(4,16)  R y (16,8)  S entonces (4,8)  S  R
Im S  R = { 2, 8 }
5  A no se relaciona con ningún elemento de B
A
R
1
3
2
5 4
B
S
1
4
6
 16
C
2
 3  10
8
Propiedades de las Relaciones
Cuando decimos que una Relación R está definida en A2 , decimos que :
Los pares ordenados (x, y) de la relación están conformados por
elementos x  A y elementos y  A
si consideramos los elementos de A relacionándose consigo mismo, (o no)
puede suceder que :
Cada elemento del
conjunto A se relaciona
consigo mismo
A
•a
•b
Es Reflexiva
x : x  A  (x, x)  R
para todo elemento x se verifica que
si x pertenece al conjunto A
entonces
el par ordenado (x, x)
pertenece a la
Relación R
5-6
7-8-9
11
Si algún(os) elemento(s) de
A se relaciona(n) consigo
mismo.
A
•a
5
6
7
8
9
11
Si ningún elemento de A se
relaciona consigo mismo
A
•b
•a
Es No reflexiva
Es Arreflexiva
 x / x  A  (x, x)  R
existe(n) xtal que
x pertenece al conjunto A
y el par ordenado (x, x) no
pertenece a la Relación R
•b
x : x A  (x, x)  R
para todo elemento x se verifica que
si x pertenece al conjunto A
entonces el par ordenado (x, x) no
pertenece a la Relación R
Es Simética
A
Si para cada par de elementos de A, (x,y)
que se relacionan, el par simétrico
también pertenece a la relación
x y  A : (x, y)  R  (y, x)  R
•a
•b
•c
A
Es No simétrica
Si algún(os) par(es) de elementos de A, (x,y) que
se relacionan, tiene(n) par(es) simétrico(s) que
también pertenece(n) a la relación, pero otro(s) no
•a
•c
x y  A / (x, y)  R  (y, x)  R
A
Es Asimétrica
Si ningún par de elementos de A, (x,y) que se
relacionan, tiene par simétrico que también
pertenece a la relación
x y  A : (x, y)  R  (y, x)  R
Es Antisimétrica
•a
A
•a
Si en cada par de elementos de A,
(x,y) que admite simétrico,
sucede que x = y
x y  A : (x, y)  R  (y, x)  R  x = y
5-6
7-8-9
11
•b
•b
•c
•b
•c
5
6
7
8
9
11
Si para todos los elementos x, y, z que verifican que (x,y)  R y
(y,z)  R entonces el par ordenado (x, z)  R
A
Es transitiva
•b
•a
x,y,z A : (x,y)  R  (y,z)  R  (x,z)  R
•c
5
7
8
9
Si algunos de los elementos x, y, z verifican que (x,y)  R y
(y,z)  R pero el par ordenado (x, z)  R (otros no)
A
•d
6
•a
•b
Es No transitiva
x y z  A / (x,y)  R  (y,z)  R  (x,z)  R
•c
Si todos los elementos x, y, z verifican que si (x,y)  R y
(y,z)  R entonces el par ordenado (x, z)  R
Es Atransitiva
x  y z  A : (x,y)  R  (y,z)  R  (x,z)  R
5-6
7-8-9
11
A
•d
•a
•b
•c
11
Clasificación de las Relaciones
Si R es una relación es reflexiva, simétrica y transitiva
Es Relación de Equivalencia
Si R es una relación es reflexiva, antisimétrica y transitiva
Es Relación de Orden amplio
5
6
7
8
9
11
Si R es una relación es arreflexiva, asimétrica y transitiva dicho de otra manera,
hay pares ordenados de
elementos que no se
relacionan entre sí de
Si R es una relación de Orden (amplio o estricto) donde . . .
ninguna forma
Es Relación de Orden estricto
a, b / (a, b)  R  (b, a)  R
Es Relación de Orden parcial
en caso contrario . . .
Si R es una relación de Orden (amplio o estricto) donde . . .
a  b  (a, b)  R  (b, a)  R
Es Relación de Orden total
5-6
7-8-9
11
dicho de otra manera, todos los
elementos diferentes se relacionan
entre sí al menos de una forma
5 a) si R = { ( -1,-3) ; (-2,0) ; (0,0) ; (-1,-1) }
A
en A = { -3, -2, -1, 0 }
Para clasificar la relación, la representamos en diagrama de Venn
-3
-1
En el diagrama de Venn y en la definición por
extensión se aprecia que hay elementos que se
relacionan consigo mismo
0
Pero otros elementos como el –3 no se relacionan consigo
mismo, vemos que el par ordenado (-3, -3)  R
entonces
x  A / (x, x)  R la relación es No Reflexiva
-2
En el diagrama de Venn se aprecia que hay elementos que se relacionan entre sí
en un solo sentido, por ejemplo: (-1, -3)  R pero (-3,-1)  R ; pero también hay
pares ordenados que tienen simétrico, como: (-1,-1)  R y (0, 0)  R.
Escribir x, y A / (x, y)  R  (y, x)  R la relación es No simétrica
Pero vemos también que los pares ordenados que admiten simétrico, son pares
ordenados donde el primer elemento es igual que el segundo
Entonces se aplica que en cada par de elementos
Es antisimétrica
de R que admiten simétrico, x = y
( -1, -1 )  R  ( -1, -3 )  R  ( -1, -3 )  R
( -2, 0 )  R  ( 0, 0 )  R  ( -2, 0 )  R
Es transitiva
( -1, -1 )  R  ( -1, -1 )  R  ( -1, -1 )  R
( 0, 0 )  R  ( 0, 0 )  R  ( 0, 0 )  R
No es Relación de Equivalencia
5 b
Reflexiva
Simétrica
Transitiva
Clasificación
5 b) S = { (2,2) ; (2,1) ; (3,3) ; (1,1) ; (3,2) ; (0,0) } en B = { x  N0 / x  3 }
Para clasificar la relación, la representamos en diagrama de Venn
A
3
En el diagrama de Venn y en la definición por
extensión se aprecia que todos los elementos del
conjunto A se relacionan consigo mismo
0
1
Podemos
escribir
2
x: x  A  (x, x)  R
la relación es Reflexiva
En el diagrama de Venn se aprecia que hay elementos que se
relacionan entre sí en un solo sentido, por ejemplo: (3, 2)  R ;
pero (2, 3)  R pero también hay pares ordenados que tienen
simétrico, como: (1, 1)  R y (0, 0)  R.
Reflexiva
Simétrica
Transitiva
Clasificación
x, y A / (x, y)  R  (y, x)  R la relación es No simétrica
Pero vemos también que los pares ordenados que admiten simétrico, son pares
ordenados donde el primer elemento es igual que el segundo
Entonces se aplica que en cada par de elementos
Es antisimétrica
de R que admiten simétrico, x = y
( 3, 3 )  R  ( 3, 2 )  R  ( 3, 2 )  R
pero . . .
( 3, 2 )  R  ( 2, 1 )  R  ( 3, 1 )  R
Es No transitiva
No es Relación de Equivalencia
6) (a,b)  R1  el libro a cuesta mas y tiene menos hojas que el libro b.
Asumimos que A es un conjunto de libros
que en precio y cantidad de hojas es tan
amplio como sea posible
Por ejemplo . . .
R1 = { (1, 2); (1,4); (1,5); (3,1);
(3,2); (3,4); (3,5); (5,4) }
Libro 1
$ 30
60 hojas
Libro 2
$ 15
120 hojas
Libro 3
$ 45
50 hojas
Libro 4
$ 7
80 hojas
Libro 5
$ 12
70 hojas
Esta relación no tiene pares reflexivos, porque ningún libro cuesta mas que lo
que él mismo cuesta ni tiene menos hojas que las que tiene. Es Arreflexiva
La relación no tiene pares simétricos, porque si el libro 1 cuesta mas y tiene
menos hojas que el libro 2, no puede suceder que el libro 2 cueste mas y tenga
menos hojas que el libro 1.Si (1,2)  R  (2, 1)  R.
Es Asimétrica
Por ejemplo . . .
(1, 5)  R  (5,4)  R  (1,4)  R
( a, b )  R  ( b, c )  R
 ( a, c )  R
Reflexiva
Simétrica
Transitiva
Clasificación
y en general, si un libro a cuesta
mas y tiene menos hojas que b
(a, b)  R
entonces necesariamente el libro a
y el libro b cuesta mas y tiene menos
cuesta mas y tiene menos hojas que
hojas que el libro c (b, c)  R
el libro c (a, c)  R
Es transitiva
Es Relación de Orden Estricto
7) Sea R una relación binaria sobre el conjunto de todas las sucesiones
de ceros y unos, tal que :
R = { (a, b) / a  b son sucesiones que tienen el mismo número de ceros }.
Los elementos que conforman los pares ordenados son
sucesiones de ceros y unos, por ejemplo :
00; 01; 010; 000; 100; 1010; 00110010; 1110100; etc. . .
R es un conjunto infinito . . . porque son infinitas las sucesiones de ceros y unos
Reflexiva
Simétrica
Sabido es que cada cadena tendrá
Transitiva
así, afirmamos que :
exactamente la cantidad de ceros
Clasificación
que ella misma tiene
x: x  A  (x, x)  R la relación es Reflexiva
si la cadena x tiene igual cantidad
de ceros que la cadena y (x, y)  R  (y, x)  R la relación es Simétrica
la cadena y tendrá igual cantidad
de ceros que la cadena x
si la cadena x tiene igual cantidad de ceros que
la cadena y
y la cadena y tiene igual cantidad
entonces la cadena x tiene igual
de ceros que la cadena z
cantidad de ceros que la cadena z
(x, y)  R  (y, z)  R
 (x, z)  R
la relación es Transitiva
Por tanto R es Relación de Equivalencia
8) Sea R una relación binaria sobre el conjunto de todos los enteros
positivos , tal que : R = {(a, b) / a - b es un entero positivo impar}.
La relación R está conformada por pares ordenados de números
enteros positivos (naturales) tal que la diferencia entre ellos sea
un entero positivo impar
En primer lugar corresponde descartar los pares ordenados que estén
conformados por el mismo elemento , por ejemplo (2, 2); (3, 3); (4, 4)
En cualquiera de esos casos x – x = 0 y 0 NO es entero positivo impar
x: x  A  (x, x)  R
luego, la relación es Arreflexiva
Si tomo dos números enteros positivos, puedo efectuar x – y con resultado
positivo, solamente si x > y, en ese caso, al efectuar b – a el resultado será negativo
x y  A : (x, y)  R  (y, x)  R
Reflexiva
Simétrica
Transitiva
Clasificación
luego, la relación es Asimétrica
y – z entero
positivo
Si x es par e y es impar x – y será entro positivo impar, si z es par
impar
x – z será entero positivo par (x,y)  R  (y,z)  R pero (x,z)  R y – z entero
Si x es impar e y es par x – y será entro positivo impar, si z es impar
positivo
impar
x – z entero (x,y)  R  (y,z)  R pero (x,z)  R
positivo par
luego, la relación es Atransitiva
Supongamos tres enteros positivos x, y, z; de manera que x > y > z
9) El razonamiento falso dice que:
de otra manera
si x R y  x R y  y R x  x R x
( x, y )  R  (y,x)  R  (x,x)  R
Si una relación es simétrica y transitiva . . .
( x, y )  R

el par ordenado ( x, y )
pertenece a la relación R
es reflexiva
xRy  yRx
porque la relación debe ser
simétrica (por hipótesis)

xRx
y también transitiva
por hipótesis
Supongamos una relación definida en A
A
Igualmente, ahora decimos que si
x
a
y
( y, x )  R
 yRx  xRy
Reflexiva
Simétrica
Transitiva
 yRy
Hasta aquí, la reflexividad parece ser una consecuencia
de la simetría y de la transitividad
Pero si algún elemento del conjunto A no se relaciona con ningún
otro, no se establecen la simetría ni la transitividad
(por ejemplo el elemento a)
Luego este elemento no tiene porqué relacionarse consigo mismo
Observa que la relación definida en A es
simétrica y transitiva, pero No Reflexiva
PARTICION DE UN CONJUNTO
Dado un conjunto A cualquiera no vacío, es posible establecer
una partición de A
A
A1
1
4
Conformando con los elementos de A
subconjuntos Ai ; Aj ; . . . .
Así tenemos por ejemplo
A2
2
A3
5
A1 = { 1; 4 }
3
A2 = { 2; 3 }
Donde: 1) A1  ;
2) A1  A2 = 
A3 = { 5 }
A2  ;
A3  
A1  A3 = 
P = {A1; A2; A3 } es partición de A 3) A1  A2  A3 = A
Todos los subconjuntos son distintos de l conjunto
vacío (tienen algún elemento)
Ai  
La intersección entre todos los subconjuntos
tomados de a dos, es vacía.
Ai  Aj = 
La unión de todos los subconjuntos es igual al
conjunto particionado . .  . Aj  Aj  . . = A
A2  A3 = 
10) a) A1 = {x  Z : 2  x} y A2 = { x  Z : 2  x } con
P = { A1; A2 }
A1 está conformado por todos los números
enteros que son divisibles por 2
A1 = { enteros pares}
A2 está conformado por todos los números
enteros que no son divisibles por 2
A2 = { enteros impares}
1) A1  
y
A2  
si un entero es par, no es impar;
y viceversa
2) A1  A2 = 
3) A1  A2 = A
los enteros pares con los impares; conforman
la totalidad de los elementos del conjunto de
números enteros
P = { A1; A2 } es partición de Z (números enteros )
b)
Son subconjuntos de Q
N (naturales)
Z (enteros negativos)
Evaluar si Q = { N; Z- } es partición de Z
1) N  
y
-
Z  
-
-
2) N  Z = 
porque en N están todos los enteros positivos
(Z +) y en (Z ) los enteros negativos
3) N  Z  Z
pero . . . 0  N
Q = { N; Z- } NO es partición de Z
(no verifica la tercera condición)
y
-
0Z
11) Dado el conjunto de conjuntos
A = {1, 2, 3, 4}
M = {A, B, C, },
B = {1, 3}
donde
C = {3}
escribimos por extensión la relación “” definida en M
todo conjunto está incluido en sí mismo
el conjunto vacío está en todos los conjuntos
A
B
2
1
3
C
R = { (A,A); (B,B); (C,C); (,); (,C); (,B); (,A);(C,B); (C,A); (B,A) }
La Relación en
diagrama de Venn será :
4
M
C
cada elemento se relaciona
consigo mismo
Es Reflexiva
si A  B y
B  A; A  B
BA
B
No Simétrica
Antisimétrica
Pero al ser reflexiva, cada par
reflexivo, tiene simétrico, entonces . . .
Si C  B ; y
A


CA
Transitiva
Es una Relación de Orden Amplio
en la relación de inclusión
siempre está presente la
transitividad . . .
LATTICES
Cota Superior
y única
Máxima
y única
Un conjunto ordenado es láttice si
Mínima
cualesquiera dos elementos en el
Cota Inferior
conjunto tienen
Sea A = { a, b, c, d, e, f, g } y se define en él la relación R
R = { (a,a); (b,b); (c,c); (d,d); (e,e); (f,f); (a,b); (a,c); (a,d); (a,e); (a,f); (a,g); (b,e);
(b,g); (c,e); (c,f); (c,g); (d,f); (d,g); (e,g); (f,g); (g,g)}
Un conjunto es ordenado si sus
elementos se vinculan mediante una
Reflexiva
Antisimétrica Transitiva
relación de orden

b
c
a
Relación de orden
d

e
f
Construimos un gráfico donde la reflexividad se muestra con 
para significar que cada elemento se relaciona consigo mismo
unimos con un segmento los elementos que se relacionan entre sí,
por ser antisimétrica. ej (a,b); (a,d); (c,e)  R pero (b,a); (d,a);
(e,c)  R
y aceptamos la transitividad en el sentido del recorrido de los
elementos que se vinculan a través de los segmentos
g
por ejemplo :
(a,b)  R  (b,e)  R  (a,e)  R
(a,c)  R  (c,f)  R  (a,f)  R
(a,f)  R  (f,g)  R  (a,g)  R
Sea el conjunto ordenado A
en el que se define una relación de orden R (reflexiva, antisimétrica
y transitiva)
R = { (a,a); (b,b); (c,c); (d,d); (e,e); (f,f); (g,g); (a,b); (a,c); (a,d);
(b,e); (a,e); (c,e); (d,f); (a,f); (c,f); (e,g); (a,g); (b,g); (c,g);
(f,g); (d,g)}
Tomando dos elementos
cualesquiera, por ejemplo
para (a,b)
c. s. mím. = b
para (b,c)
c. s. mím. = e
para (c,d)
c. i. Máx. = a
c. i. Máx. = a
para (b,g)
c. s. mím. = g
para (d,e)
c. s. mím. = g
c. i. Máx. = a
para (e,f)
c. s. mím. = g
c. s. mím. = f
c. i. Máx. = b
c. i. Máx. = a
c. i. Máx. = c
se aprecia que, efectivamente para dos elementos
cualesquiera de A, existen c.s.mín y c.i. Máx. y son únicas
a
b

c
d

e
f
g
siempre que el gráfico resulta una retícula cerrada, como en este caso,
el conjunto con la relación en él definida es Láttice (retícula)
Si analizáramos la misma relación pero
en un conjunto B = { a, b, c, d }
Por extensión será: R = { (a,a); (b,b); (c,c); (d,d); (a,b); (a,c); (a,d) }
De manera que los pares reflexivos se representan
Los pares antisimétricos se representan uniendo con una línea
(que se entiende siempre en un solo sentido –hacia abajo-)
a
b
Si analizamos la relación por extensión veremos que se
trata de una relación transitiva
Pero . . .
c
d

Si bien los pares (a,b); (a,c); (a,d)
tienen c.s.mín y c.i. Máx. únicas
Los pares (b,c); (b,d) por ejemplo, NO tienen c.s.mín única
(elementos que no están en la misma línea y la retícula no se cierra)
Entonces en este caso

NO hay Láttice
Tampoco son Láttice retículas como
b
Observa que las retículas
están abiertas
Ello se debe a que hay pares de elementos
e
que no tienen única c.s.min y/ó c.i.Máx

c
a
c



d

f

a

b


d
12 a) Analizar si (N, ) es Láttice
N = { 1, 2, 3, 4, 5, . . . . . }
1
2
3

4

5
.
.
el conjunto N está conformado por
( N,  ) significa que N es un conjunto
ordenado según la relación 
cada elemento se relaciona consigo mismo, es reflexivo
La relación es antisimétrica.
y transitiva
(1,2)  R; (2,3)  R; (1,3)  R; . . . . .
es apreciable que entre los elementos 3 y 4
(por ser relación de orden)
entre los elementos
la cota superior mínima es 4
2y5
la cota superior mínima es 5
y así sucesvamente, para
cualquier par de valores (m, n)
la cota inferior máxima es 3
la cota inferior máxima es 2
habrá cota superior mínima = n
y cota inferior máxima = m
si tomamos un par de valores donde m = n
coinciden las c.s.mín = c.i.Máx = m = n
Se verifica entonces que ( N,  )
es láttice
12 b
1
12 b) Analizar si (N, /) es Láttice
Analizaremos para algunos elementos
de N y trataremos de “generalizar”
las situaciones que encontremos,
basándonos en propiedades conocidas
5
3

9
cada natural es divisible pos sí
mismo, entonces es reflexiva
1 divide a cualquier natural, entonces
comenzamos con el 2 y el 3
vinculamos al 2 y 3 los naturales que son
múltiplos precisamente de 2 y 3
2

6

 18
4
 12
que son el 4; 6 y 9
e irán apareciendo números primos a medida que avanzamos
(divisibles solamente por sí mismos y por la unidad)
y continuamos buscando múltiplos de 4; 6 y 9
el 12 y el 18
por ejemplo
y la retícula puede seguir creciendo, por tratarse de un conjunto infinito;
por ejemplo el 3 y el 5 dividen a 15
Es claro que, tomados dos elementos cualesquiera siempre
hay una cota inferior máxima única ( 1 )
Pero lo que parece no estar claro
es si hay cota superior mínima
(única)
la retícula parece no cerrarse
cuando los valores crecen (parte
inferior del grafo)
5
1

15 
3
9
6

Pero tenga presente que cada vez que aparezcan
en la retícula dos vértices (elementos) que
parezcan “no cerrarse”; sin dudas habrá algún
número natural que resulta divisible por ambos,
por ejemplo el producto de ambos
 18
Finalmente, tomados dos elementos cualesquiera de N
Si m = n
2

4
 12
 36
{ m, n }
Puede
suceder
que m = n
ó bien que
mn
coinciden las cota sup. Mím y cota inf. Máx. que es el mismo m =n
Si m  n existe siempre mínimo común múltiplo y máximo común divisor de m y n; que
son respectivamente las cota sup. Mím y cota inf. Máx. de {m, n}
Luego ( N,  )
es Láttice
Si analizamos (N0, )
entonces ( N0,  )
Es fácil advertir que 0 no divide a 0
Luego ésta no es una
relación reflexiva y por ello
no es de orden
NO es Láttice
FUNCIONES
Dados dos conjuntos
A = { 1, 2, 3 }
B = { 2, 3,4 }
definimos en el producto
cartesiano A x B una Relación R : (a, b)  b = a + 1
Una relación R  A x B
Si verifica dos condiciones:
es función . . .
Existencia
y
13a
Unicidad
Existencia verifica si para cada elemento del
conjunto A existe una imagen en B
Simbólicamente a  A : b  B / (a, b)  f
para todo elemento a que pertenece al conjunto A se verifica
que existe un elemento b que pertenece al conjunto B
tal que el par ordenado (a, b) pertenece a f
Unicidad, si cada elemento del conjunto A se
relaciona con un solo elemento del conjunto B
A
13b
14 i
14 ii
14 iii
14 iv
14 v
14 vi
B
1
2
2
3
3
4
Simbólicamente (a, b)  f  (a, c)  f  b = c
Si el par ordenado (a, b) pertenece a f y el par ordenado (a, c) pertenece a f
entonces b es igual a c
13
14
13c
Es función si cada elemento del conjunto A se relaciona
con uno y solo un elemento del conjunto B
A
En situaciones como
B
1
también se verifica que
2
2
para cada elemento del conjunto A
existe una imagen en B (existencia)
4
3
cada elemento del conjunto A se relaciona con
un solo elemento del conjunto B (unicidad)
Es función
Situaciones como . . . no verifica la condición de
existencia
el elemento 2  A pero no tiene un
correspondiente en B
no verifica la condición de
unicidad
En el caso . . .
el elemento 1  A se relaciona con dos
elementos diferentes de la imagen (B )
NO es función
13
14
A
13a
B
1
2
2
4
3
A
NO es función
B
1
1
2
3
3
4
2
13b
13c
14 i
14 ii
14 iii
14 iv
14 v
14 vi
Clasificación de funciones
Una función es inyectiva si dos elementos cualesquiera diferentes
del dominio tienen imágenes diferentes
x1 x2  A : x1  x2  f(x1)  f(x2)
En este caso tenemos
función inyectiva
Porque cada elemento del
conjunto A tiene imagen
diferente en el conjunto B
Una función es sobreyectiva si todos los
elementos del conjunto B (codominio) son
Imagen de la función, es decir que todos los
elementos del conjunto B admiten al menos un
antecedente en el dominio
1
13a
A
B
2
13c
14 i
14 ii
14 iii
14 iv
14 v
14 vi
3
2
3
13b
4
y  B, x  A / y = f(x)
En este caso tenemos
función sobreyectiva
Porque todos los elementos del conjunto B tienen un
antecedente con el que se relacionan en el conjunto A
Si una función es inyectiva y sobreyectiva . . . es BIYECTIVA
13
14
A
Puede suceder que . . .
1
se verifica que 1  2 pero f(1) = f(2) = 2
2
3
2
función NO inyectiva
asimismo el elemento 3 del conjunto B no
admite antecedente en el conjunto A
Si . . .
B
3
4
función NO sobreyectiva
13a
se verifica que 1  2 pero f(1) = f(2) = 2
función NO inyectiva
2
2
3
3
13
función
sobreyectiva
B
1
4
14
B
1
pero todos los elementos del
conjunto B admiten
antecedente en A
A
A
1
2
13b
13c
14 i
14 ii
14 iii
14 iv
14 v
14 vi
2
3
4
cada elemento del conjunto A tiene
imagen diferente en el conjunto B
pero no todos los
función inyectiva
elementos del conjunto B
admiten antecedente en A
función NO sobreyectiva
Representación Gráfica de Funciones
Para representar cualquier función se debe conocer . . .
Cuál es el dominio donde está
definida la función . . .
Dm
Im
Y = f(x)
y
x
y cuál es la imagen que se corresponde
con el dominio de la función
y se estudia la ley de variación de la función
definida por y = f(x) . . .
esto se hace asignándo valores xi en la
expresión y = f(x); encontrando el
resultado yi que le corresponde a f(xi)
el dominio de la función son los
valores que puede tomar xi en f(x)
14
13b
13c
14 i
14 ii
14 iii
14 iv
14 v
14 vi
La imagen de la función son los valores
que se corresponden con cada valor
del dominio de la función
recuerde siempre que: si un valor del
conjunto “de salida A” no tiene
imagen, la expresión no es función
(Existencia)
13
13a
Si dos elementos diferentes del
codominio (conjunto B) son
imagen del mismo elemento de A,
la expresión no es función
(Unicidad)
N y
R
5
Podemos representar gráficamente una función en un par de
ejes coordenados
Sea f : N  N / f(x) = x + 1
4
Sea la función f que va de Naturales
en Naturales tal que “f de x” es igual a
3
2
1
y confeccionamos una
tabla, asignándole
valores a x para hallar
valores de y
x
si
R
N
x+1
13a
x
x + 1
y
13b
13c
1
1+1
2
14 i
14 ii
en el eje de abscisas (x) En el eje de ordenadas (y) si
2 2+1
3
el dominio N
la imagen N
si
3 3+1
4
Si la misma ley de variación (y = x + 1)
si
4 4+1
5
estuviera definida de R  R
La función ahora es
el dominio ahora será Reales
f : R  R / f(x) = x + 1
y la imagen también Reales
14 iii
14 iv
14 v
14 vi
1
2
3
4
Pero al ser el dominio todos los puntos del eje x
(reales), la función está definida para todo x
debemos unir todos los puntos obtenidos
13
14
13 a) Para representar f: R  R / f(x) = - 5 x
Primero reconocemos que el dominio son todos los números reales
Entonces cualquier valor de x debe tener un correspondiente en y
Trazamos un par de ejes coordenados
Funciones
y confeccionamos una tabla de valores
x
- 5 x
Y
1
-5 · 1
-5
-1
-5 · (-1)
5
0
-5 · 0
0
2
-5 · 2
-10
-2
-5 · (-2)
Clasificación
Rep. Gráfica
10
Y finalmente porque es una relación que va de Reales en Reales,
trazamos con línea llena una recta que une los puntos
identificados
13 b
13 c
13 b) Para representar g: Zpares  Z / g(x) =
1
2
x
reconocemos el dominio y la imagen de la relación
Entonces serán pares ordenados (x,y) válidos solamente aquellos
donde x e y sean números enteros
Funciones
Trazamos un par de ejes coordenados
y confeccionamos una tabla de valores
x
1
2
x
Y
1
Y la relación queda
representada por
puntos porque va de
Enteros pares en
Enteros.
2
½·2
-2
½ · (-2)
4
½·4
(no corresponde el
trazado de linea
llena)
-4
½ · (-4)
6
½·6
-6
0
-1
2
-2
3
½ · (-6) - 3
½·0
0
13 c
Clasificación
Rep. Gráfica
13 c) Para representar h(x) = 2x + 3
Primero reconocemos cual es el dominio
y cual es la imagen de la relación
Significa que serán pares ordenados
de la relación aquellos en los que x  N
y resulta de aplicar x en h(x), que
también h(x)  N
definida de N en N
En este caso tanto el dominio
como la imagen son el
conjunto de los números
naturales (N)
Funciones
Clasificación
x
2x + 3
Y
Rep. Gráfica
1
2·1+3
5
2
2·2+3
7
Trazamos un par de
ejes coordenados
3
2·3+3
9
4
2·4+3
11
5
2·5+3
13
Y la función queda representada por puntos porque va de
Naturales en Naturales
Y confeccionamos
una tabla de
valores para g(x)
14 i) Para analizar el dominio de la expresión y = –3x + 4
consideramos que la variable x puede tomar cualquier valor real
entonces
Dm = { x / x  R }
Dm = [ - ;  ]
de la misma manera, los valores que tome y para los diferentes
valores de x, van a estar contenidos en la recta de los reales
entonces
Im = { x / x  R }
Im = [ - ;  ]
Trazamos un par de ejes coordenados
- 3 x + 4
Y
1
-3·1+4
1
-1
- 3 · (-1) + 4
7
2
-3·2+4
-2
Rep. Gráfica
Inyectiva
Todos los elementos de la
imagen (eje y) admiten un
antecedente en el dominio
(eje x)
es una función Sobreyectiva
que va de
Reales en
Reales
Por ser una función
inyectiva y sobreyectiva
Es función biyectiva
14 ii
Clasificación
Cada valor del dominio (x)
tiene un valor diferente en
la imagen (y)
y confeccionamos una tabla de valores
x
Funciones
14 iii
14 iv
14 v
14 vi
14 ii)
Para analizar el dominio de la expresión y = – x2 + 4x - 3
consideramos que la variable x puede tomar cualquier valor real
entonces
Dm = { x / x  R }
Dm = [ - ;  ]
Antes de definir la imagen, vamos a representar gráficamente la parábola
Funciones
Trazamos un par de ejes
coordenados y para
confeccionar la tabla de
valores buscamos los valores
de x que hacen 0 la función
(raíces)
4 
4 2  4 (  1 )(  3 )
2(  1)
4
16  12
2

Clasificación

x1  1
x2  3
Rep. Gráfica
x
- x2 + 4x - 3
Y
1
- 12 + 4 · 1 - 3
0
3
- 32 + 4 · 3 - 3
0
2
- 22 + 4 · 2 - 3
1
0
- 02 + 4 · 0 - 3
-3
4
- 42 + 4 · 4 - 3
-3
con estos valores empezamos
-1 -(-1)2 + 4·(-1) - 3 - 8
la representación gráfica
5
- 52 + 4 · 5 - 3 - 8
El vértice de la parábola estará en
un punto equidistante
Tomamos valores a la izquierda
y finalmente trazamos la curva uniendo
y a la derecha de los ya
todos los puntos ( R  R )
hallados
14 iii
14 iv
14 v
14 vi
La Relación definida por y = – x2 + 4 x – 3 que tiene una gráfica
tiene el dominio en Reales
Dm = { x / x  R }
De observar el gráfico, vemos que la relación
no tiene valores de y mayores que 1
Im = { x / x  R  x  1 }
en el gráfico y en la tabla se nota que
hay valores diferentes del dominio (x)
que tienen la misma imagen (y);
por ejemplo
f(0) = -
02
+4·0–3=-3
No Inyectiva
f(4) = - 42 + 4 · 4 – 3 = - 3
Igualmente es posible ver que, de los elementos del
conjunto de llegada (Reales - eje Y), solamente los menores
o iguales que 1 pertenecen a la imagen de la función
No Sobreyectiva
Funciones
Clasificación
Rep. Gráfica
con solo un par
de valores del
dominio que
admita la misma
imagen, es
suficiente para
que la función
sea No Inyectiva
14 iii)
Antes de analizar la expresión y = log2 (2x - 3)
Recordamos que a la función logarítmica la podemos definir mediante :
log a b  c

a
c
ejemplo : log 2 8  3
 b
Las calculadoras en general, con la tecla
Log x
entregan valores
de logaritmo decimal; es decir de logaritmos en base 10
NO porque si el logaritmo es decimal, NO se coloca la base
y con la tecla
Ln x
3
2 8

¿ en la tecla de la
calculadora falta la base ?
entregan valores de logaritmo natural; ( logaritmos en base e )
Si deseamos conocer un logaritmo con base distinta de 10 ó e
plantear la siguiente expresión :
Ejemplo : calcula log2 8 =
log 2 8 
log 8
log 2

log a x 
log x
log a
0 , 903089987
0 ,3010299957
14 iv

3
14 v
debe . . .
con la calculadora (que
resuelve solo logaritmos
decimales), podemos resolver
un logaritmo que no es
decimal
14 vi
14 iii) Ahora representamos gráficamente log2 (2x - 3)
Vamos a confeccionar una tabla de valores
x
2
2,5
[log(2x-3)]/log2
0/0,301030
Y
1
3,5 0,602060/0,301030
2
5,5 0.903090/0,301030
3
9,5
4
1,204120/0,301030
log 2 ( 2 x  3 ) 
0
0,301030/0,301030
1,75 –0,301030/0,301030 -1
1,65 –0,522879/0,301030 -2,26
1,55
-1/0,301030
recuerda que :
-3,32
log( 2 x  3 )
log 2

Funciones
Clasificación
Rep. Gráfica
siempre que
2x – 3 > 0
habrá algún valor
para f(x)
si x = 1,5
trazamos entonces en x = 1,5 la
2x – 3 = 0
asíntota de la función
2x – 3 toma valores negativos porque no existe ningún valor al Sabemos que el
y la función no está definida se cual pueda elevar 2 y obtener
log 0 
como resultado un negativo
en esos valores ( x < 1.5 )
trazamos la curva
con los puntos conocidos (sin tocar la asíntota)
investigamos qué pasa a la izquierda de
la asíntota, por ejemplo para x = 0
la relación definida por y= log2 ( 2x – 3 ) se representa en el gráfico
x toma solamente valores mayores que 1,5
entonces:
Dm = { x / x  R  x  1,5 }
En cambio, en el gráfico se ve que todos los valores del eje y tienen
antecedente en x
Im = { x / x  R }
Cada valor del dominio (eje x) tiene un
valor diferente en la imagen (eje y)
Funciones
Clasificación
Rep. Gráfica
Función Inyectiva
Todos los elementos del codominio (eje y)
son imagen de la función -admiten un
antecedente en el dominio (eje x)-
Función Sobreyectiva
Por ser una función
inyectiva y sobreyectiva
Es función biyectiva
Recuerda que siempre es conveniente empezar a
representar una función logarítmica localizando
la asíntota
14 iv)
 x 1

Si f(x) =  3
x 3  1

si
si
si
x  0
x  0
2  x  0
En primer lugar
reconocemos que x no
puede tomar valores
menores que -2
En consecuencia Dm = {x/x  R  x  –2 }
Dn = [-2 ; )
Con frecuencia los alumnos confunden esta relación (definida
por partes) con “tres relaciones diferentes”
Funciones
Clasificación
Se trata de una sola relación (tiene y hemos hallado un solo dominio);
PERO TAMBIEN TIENE DIFERENTES LEYES DE VARIACION EN
DETERMINADOS TRAMOS DEL DOMINIO
si x > 0 la ley de variación es x - 1
si x = 0 la función vale 3
si x  0 la función vale x3 + 1
Rep. Gráfica
La representación gráfica se
realiza como para cualquier
otra relación
Se confeccionan tablas de valores cuidando que las leyes de variación
se correspondan con los respectivos intervalos del dominio
14 v
14 vi
Para x > 0
x
f(x) = x - 1
y = x - 1
Y
1
1-1
0
3
3–1
2
Si x se acerca mucho a 0, pero sin
ser igual a 0, toma por ejemplo
valores como 0,1; 0,01; 0,001, etc
si x fuera igual a 0 entonces y sería
igual a - 1
debemos entender que si x se acerca a
0 con valores mayores que 0, y se
acerca a –1, pero sin ser y = -1
Representamos ese punto con un círculo que
significa que la función toma valores muy
próximos a ese valor (-1) para valores muy
próximos de x = 0 (por derecha ); pero sin ser
y = – 1 en x = 0
Unimos con una recta todos los valores
hallados por tratarsae de una ley de
variación lineal y comprobamos que hay “al
menos” tres puntos alineados
En x = 0 la función vale 3
Funciones
Clasificación
Rep. Gráfica
Para x < 0
x
f(x) = x3 + 1
y = x3 + 1
Y
Si x se acerca mucho a 0, pero sin
ser igual a 0, toma por ejemplo
valores como -0,1; -0,01; -0,001, etc
si x fuera igual a 0 entonces y sería
igual a 1 (con esta ley de variación)
-1
(-1)3 + 1
0
debemos entender que si x se acerca a
-2
(-2)3 + 1
-7
0 con valores menores que 0, y se
acerca a 1, pero sin ser y = 1
Representamos ese punto con un círculo que
significa que la función toma valores muy
próximos a ese valor (1) para valores muy
próximos de x = 0 (por izquierda); pero sin ser
y = 1 en x = 0
Unimos los tres puntos hallados con uina
curva de parábola cúbica solo para valores
comprendidos en el intervalo [-2; 0)
y tenemos así la representación gráfica de la función
 x 1

f : Dm  Im / f(x) =  3
x 3  1

si
si
si
x  0
x  0
2  x  0
Funciones
Clasificación
Rep. Gráfica
El dominio de la función ya fue
encontrado [ -2;  )
Y podemos observar en el gráfico que llos valores del eje y que
admiten antecedente en los valores del dominio del eje x, van de
–7a
Im = { x / x  R  x  -7 }
Im = [-7; )
Existen valores diferentes del dominio
que tienen la misma imagen, por ejemplo
para x= 1 ó x = - 1; y = 0
La función es No inyectiva
Como la función está definida de Dm  R
y resulta que la Imagen no es igual a R
sino que Im  R
La función es No sobreyectiva
Funciones
Clasificación
Rep. Gráfica
14 v)
2 x


Si f(x) =  1

 ln x
si
si
si
x 0
En primer lugar
reconocemos que x
puede tomar valores
que van de -  a + 
0  x 1
x 1
En consecuencia Dm = {x/x  R }
Dn = (-  ; + )
Con frecuencia los alumnos confunden esta relación (definida
por partes) con “tres relaciones diferentes”
Funciones
Clasificación
Se trata de una sola función (tiene y hemos hallado un solo dominio);
PERO TAMBIEN TIENE DIFERENTES LEYES DE VARIACION EN
DETERMINADOS TRAMOS DEL DOMINIO
si x < 0 la ley de variación es 2
x
si 0  x  1 la función vale 1
si x > 0 la ley de variación es lnx
Rep. Gráfica
La representación gráfica se
realiza como para cualquier
otra función
Se confeccionan tablas de valores cuidando que las leyes de variación
se correspondan con los respectivos intervalos del dominio
14 vi
Para x > 0
f(x) = ln x
x
ln x
y
4
ln 4
1,39
8
ln 8
2,08
Si x fuera igual a 1 entonces
y sería igual a 0
debemos entender que si x se acerca a 1 con valores
mayores que 1, y se acerca a 0, pero sin ser y = 0
Funciones
Clasificación
Rep. Gráfica
representamos ese punto con un círculo que significa que la función toma
valores muy próximos a y = 0 para valores muy próximos de x = 1 (por
derecha ); pero sin ser y = 0 en x = 1
Unimos los valores hallados con una curva que
representa la ley de variación logarítmica
luego, estudiamos qué sucede con los valores de x
comprendidos entre 0 y 1;
– intervalo [0; 1] -
si x = 0
y=1
si x = 1
y=1
para cualquier valor del intervalo [0; 1] la función vale 1
Para los valores de x < 0 estudiaremos la ley de variación
y = 2x
Confeccionamos tabla de valores
x
2x
y
-1
2-1
1/2
-2
2-2
1/4
Si x fuera igual a 0 entonces
y sería igual a 1
Funciones
Clasificación
debemos entender que si x se acerca a 0
con valores menores que 0 ; y se acerca a
1, pero sin ser y = 1
Rep. Gráfica
representamos ese punto con un círculo que significa que la función toma valores
muy próximos a y = 1 para valores muy próximos de x = 0 (por izquierda); pero
sin ser necesariamente y = 1 en x = 0
x
Unimos los valores hallados con una curva que representa la ley de variación exponencial (2 )
Luego prolongamos la curva hasta el punto y =1, porque de un estudio
anterior resulta que en x = 0 la función efectivamente vale 1
y borramos el círculo rojo de y = 1 porque al tomar valor
la función en ese punto, ya no tiene sentido mantenerlo
Cualquier valor del eje x tiene un correspondiente en el eje y
Dm = { x / x  R }
Dm = (-; )
Pero se ve también que, solamente los valores de y > 0
admiten algún antecedente en el eje x
Im = { y / y  R  y > 0 }
Im = (0; )
Existen valores diferentes del dominio que tienen la
misma imagen, por ejemplo para x = 0 ó x = 1; y = 1
La función es No inyectiva
Como la función está definida de Dm  R
y resulta que la Imagen no es igual a R sino que Im  R
La función es No sobreyectiva
Funciones
Clasificación
Rep. Gráfica
14 vi) Si f(x) =
Trazamos un par de ejes coordenados
2
x3
En primer lugar reconocemos que
x no puede tomar el valor - 3
en ese caso tendríamos 2 / 0; así
podemos decir que para x = - 3 no
existe un valor finito de la función
trazamos una asíntota en x = -3
Luego confeccionamos tabla de valores, y estudiamos qué sucede a la
para x próximos a –3 por derecha
izquierda de x= –3
x
2
x3
y
x
2
x3
y
-2
2/(-2+3)
2
-4
2/(-4+3)
-2
-1
2/(-1+3)
1
-5
2/(-5+3)
-1
0
2/(0+3)
2/3
-6
2/(-6+3) -2/3
1
2/(1+3)
1/2
-7
2/(-7+3)
2
2/(2+3)
2/5
-8
2/(-8+3) - 2/5
Funciones
Clasificación
Rep. Gráfica
-1/2
-2,5 2/(-2,5+3) 4
-3,5 2/(-3,5+3) - 4
-2,6 2/(-2,6+3) 5
-3,6 2/(-3,6+3) - 5
x = -3 es un valor que no está definido en la función, luego la línea de la
función no puede cortar la línea de trazos punteada
Unimos los puntos situados a la izquierda de x = -3 por un
lado y los puntos de la derecha de x = -3 por otro lado
Cualquier valor del eje x  -3 tiene un correspondiente en el eje y
Dm = { x / x  R  x  - 3 }
Dm = (-; -3)  (-3; )
los valores del eje y que se relacionan con algún valor de x;
son todos, menos el 0
Im = { y / y  R  y  0 }
Im = (-; 0)  (0; )
No Existen valores diferentes del dominio que tengan
la misma imagen
todos los valores del dominio tienen imágenes diferentes
La función es inyectiva
Como la función está definida de Dm  R
y resulta que la Imagen no es igual a R sino que Im = R – {0}
La función es No sobreyectiva
Funciones
Clasificación
Rep. Gráfica
14 d) De todas la funciones analizadas solo son biyectivas
f : R  R / f(x) = –3x + 4
y
f : R > 1,5  R / f(x) = log2 (2x – 3)
y precisamente, por ser biyectivas admiten función inversa
para hallar la inversa de la función,
transformamos el dominio en imagen
y viceversa
f : R  R / f(x) = –3x + 4
f-1
en la ley de variación hacemos pasajes
de términos, para despejar x
y = –3x + 4
3x = 4 - y
y - 4 = –3x
luego despejo x
y 
4 x
3
: R  R/
f
1
(x) 
Funciones
4 x
Clasificación
3
Rep. Gráfica
multiplico todo por (-1) y permuto
los miembros (para ordenar)
x 
4  y
3
y efectúo ahora un cambio
de variables (x por y)
La ley de variación así obtenida, es la ley
de variación de la función inversa
Representamos gráficamente
f
1
: R  R / f
1
(x) 
4x
3
en el mismo gráfico que
hemos representado
f : R  R / f ( x )   3x  4
confeccionamos
una tabla de
valores
Funciones
Rep. Gráfica
x
4x
4
4  4
-2
-8
Clasificación
3
3
4  ( 2)
3
4  ( 8)
3
f-1(x)
0
2
4
trazamos la recta, que también va de R  R
tenga siempre presente que los puntos de una función
cualquiera que admite inversa; y su inversa son equidistantes
respecto de la bisectriz (recta a 45º) del primer cuadrante
para hallar la inversa de la función,
recordemos que
ya hemos hallado
f : Dm  R / f(x) = log2(2x-3)
Dm = { x / x  R  x > 1,5 }
transformamos el dominio en imagen
y viceversa
entonces
f : R > 1,5  R / f(x) = log2(2x-3)
luego despejamos la incógnita x de
la ley de variación de f= log2(2x-3)
f-1 : R  R
> 1,5
/
y
2x  3  2
2 = 2x - 3
luego despejo x
y
(x) 
2
x
3
2
ac = b

permuto los miembros (para ordenar)
2x  2
y
3
x 
2
y
3
2
y efectúo ahora un cambio de variables (x por y)
y 
2
x
 3
2
Clasificación
Rep. Gráfica
recuerde que: logab = c
y = log2(2x – 3)
f
1
Funciones
La ley de variación así obtenida, es la ley
de variación de la función inversa
Representamos gráficamente
en el mismo gráfico que
hemos representado
X
0
2
2
4
-1
-4
-10
3
0
3
2
1
2 3
1
2
2
2
3
2
2
4
3
2
2
1
3
2
2
4
3
2
2
: R  R  1,5 /
f
1
(x) 
2
x
3
2
f : R  1 . 5  R / f ( x )  log 2 ( 2 x  3 )
confeccionamos una tabla de valores
x
2
2
f
1
 10
2
3
f-1(x) borramos la asíntota de f(x) para limpiar el dibujo
2
2,5
3,5
9,5
1,75
1,53
1,5001
unimos los puntos con
trazo continuo porque
f-1 va de R  R
también aquí f-1 es
equidistante de f
respecto de la bisectriz
del primer cuadrante
recuerde
que f tiene
asíntota en
x = 1,5
y finalmente podemos trazar la
asíntota de f-1 que es y = 1,5
porque aunque tomemos valores muy
pequeños de x, f-1 será siempre  1,5
Funciones
Clasificación
Rep. Gráfica
Es hora de descansar ! ! !
Momento propicio para
establecer nuevas relaciones . . .
Pero recordá, puede descansar solamente
el que antes trabajó (estudió)
Debe trabajar el hombre
para ganarse su pan,
pues la miseria en su afán
de perseguir de mil modos.
Llama a la puerta de todos
y entra en la del haragán.
Martín Fierro (José Hernández)
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