ECUACIONES DE PIMERO Y
SEGUNDO GRADO.
UNIDAD 7
1
2
Ejercicios resueltos
Encuentra la solución de las ecuaciones dadas
1)
1
3
x  3  x 1
2
4
1

3

4  x  3   4  x  1
2

4

2 x  12  3 x  4
2 x  12  3x  12  3x  4  3x  12
2 x  3 x  4  12
 x  16
x  16
3
Comprobación:
1
 16   3  3 ( 16 )  1
2
4
 8  3  12  1
 11  11
La solución es correcta.
4
2) 16 x  3x   6  9 x    30 x    3x  2    x  3 
16x   3x  6  9x   30x   3x  2  x  3
16 x  3x  6  9 x  30 x  3x  2  x  3
4 x  6  26 x  5
4 x  6  26 x  6  26 x  5  26 x  6
22 x  11
22 x 11

22 22
x
1
2
5
Comprobación:
  1 

1  1 
 1  
1   1
16    3    6  9      30     3    2      3 
2  2 
 2  
2    2
  2 

9
3
 7 7
8    6    15     
2
2
 2 2
80 
30  14
2
88
6
3)
 y  5
2
  y  5
2
 52
y 2 10 y  25  y 2  10 y  25  25
20 y  25
20 y
25

20
20
y  
5
4
7
Comprobación
2
2
 5 

 5 

  4   5    4   5  25






 5  20   5  20 

 
  25
4
4

 

2
2
625
225

 25
16
16
400
 25
16
25  25
8
4) ¿Para qué valor de a 3 el conjunto de soluciones de la ecuación
es
2 x  a  7 x  5  3a
2  3  a  7  3  5  3a
6  a  21  5  3a
6  a  3a  6  26  3a  3a  6
4a  20
4 a
20

4
4
Comprueba la solución
a5
9
Ejercicios resueltos
Aplica el procedimiento mencionado anteriormente para
encontrar la raíz de las siguientes ecuaciones:
1.-
22 x  7  53  2 x   6  0
Paso 1.
22 x  7  53  2 x   6  0
4 x  14  15  10 x  6  0
Paso2.
4 x  10 x  14  15  6
10
Paso 3.
Paso 4.
14 x  7
x  
7
14
x  
Paso 5.
1
2
  1


 1 
22    7  53  2    6  0
 2 
  2


2  8  5  2  6  0
11
x3
x4
3x  5


2.x
x5
x  5x
Paso 1.
Como , la ecuación es equivalente a
2
 x  3
 x  4
 3x  5 
xx  5
  xx  5
  xx  5 2

 x 
 x5
 x  5x 
x  5x  3  xx  4  3x  5
x 2  3x  5x  15  x 2  4 x  3x  5
Paso 2.
x 2  x 2  3x  5x  4 x  3x  5  15
12
Paso 3. y Paso 4.
x  10
Paso 5.
 10  3  10  4
3 10  5


 10
 10  5  102  5 10
7
6
 25


 10
5
50
35
60
25

 
50
50
50
La solución es correcta.
13
3.-
x 1 x  4
3x  5

 2
x
x5
x  5x
Paso 1.
x 1 x  4
3x  5

 2
x
x5
x  5x
es equivalente a
 x 1
 x  4
 3x  5 
xx  5
  xx  5
  xx  5 2

 x 
 x5
 x  5x 
x  5x  1  xx  4  3x  5
x 2  x  5 x  5  x 2  4 x  3x  5
Paso 2.
x 2  x 2  x  5 x  4 x  3x  5  5
14
Paso 3.
Sin embargo, x no puede se cero porque dos fracciones
serían indeterminadas; entonces la ecuación propuesta
no tiene solución.
15
4.Paso 1.
a2  b2
b
a b


2bx
x
2bx2
2bx  a 2bxb
2


2
2

 2bx2
 bx  2bx  a  b
2
2bx2
x a 2  b 2  2b 2 x  a  b
xa 2  xb2  2 xb2  a  b
Paso 2 y 3.
xa 2  xb 2  a  b


x a 2  b2  a  b
16
Paso 4.

x a2  b2
a2  b2
x

a b
a2  b2
a b
a b
1


2
2
a  b a  b  a  b
a b
Paso 5. Comprobación:
a2  b2 b a  b
 
2bx
x 2bx2
a2  b2
b
a b


2
1
1
 1 
2b
2
b


ab
ab
ab
17
a
2

a  ba  b
 b 2 a  b 
 ba  b  
2b
2b
2


 a2  b2

 a  b a  b 
a  b 
 b  a  b 

2b


 2b


a  b  a
2


 b 2  2b 2
2b
a  b a

2

 a2  b2
  a  b 

 2b



 a2  b2 
 b2 
  a  b 

2b 
2
b


La solución es correcta.
18
El numerador de una fracción es 4 unidades menor que
el denominador. Si el numerador se duplica y el
denominador se disminuye en 2 unidades, la suma de la
fracción original y la nueva es 3. Encuentra la fracción
original.
Solución.
Sean x ≈ denominador de la fracción, y
(x – 4) ≈
numerador de la fracción
2 x  4 
x4

3
x2
x
19
Paso 1.
Paso 2.
Paso 3.
Paso 4.
2 xx  4  x  2x  4
3
x x  2 
 2 xx  4  x  2x  4 
  3xx  2
xx  2
x x  2 


2 x 2  8 x  x 2  4 x  2 x  8  3x 2  6 x
2 x 2  x 2  3x 2  8x  4 x  2 x  6 x  8
 8 x  8
 8x
8

8
8
x  1
20
Paso 5.
Comprobación
21  4  1  4

3
1 2
1
6 3

 63  3
1 1
La solución es correcta.
21
Ejercicios resueltos:
Encuentra por factorización las raíces de las siguientes
ecuaciones y analiza el resultado.
1.-
2x 2  x  1  0
a  2
b  1
c  1
ac  2
– 2 x 1 = – 2; – 2 + 1 = –1
2 xx  1  x  1  0
2 x  1x  1  0
22
Si
2x  1  0
Si
x 1  0
2 x  1
x1  
1
2
x2  1
Comprobación:
Para x   12 : 2  12 
1
2
 1
    1 
 2
:
1 1
 1  0
2 2
Esta raíz satisface a la ecuación.
Para x  1 21 1 1  0
2
2
La segunda raíz también es solución de la ecuación.
23
,;
2.-
x 2  ax  bx  ab  0
;
a y b constantes
,
x2   b  a  x  ab  0
a 1
b  (b  a)
 ab  ab
c  ab
ac  ab
ab ba
x 2  ax  bx  ab  0
xx  a  bx  a  0
x  ax  b  0
Si
xa 0
x1  a
Si
xb  0
x2  b
24
Comprobación:
Para x  a a  aa  ba  ab 
2
1
a 2  a 2  ba  ab  0
Este valor de la variable satisface a la ecuación.
Para x  b b  a b  b b  ab  b  ab  b  ab  0
2
2
2
2
También es solución de la ecuación.
25
3.-
x  4  2x  1  1
x  4  2x  1  1

x4
x4
 
2


2x  1  1

2


2 x  1  2 2 x  1  1   1
2

2

x  4  2x  1  2 2x  1  1
2 2x  1  2x  1  1  x  4
2 2x  1  x  2
2

2 x  1   x  2
2
2
42x  1  x 2  4x  4
8x  4  x 2  4 x  4  0
 x 2  12x  0  0
La otra raíz se obtiene cuando x = 0, es decir que
x2  0
26
Comprobación:
Para x  12 x  4 
1
2x  1  1
12  4  212  1 
16  25
=
;
4–5=–1
Este valor satisface a la ecuación.
Para x  0
2
0  4  2(0)  1 
;
2 – 1 ≠1
El valor x  0 no satisface a la ecuación original, por lo
tanto, la única raíz de la ecuación radical dada es 12.
En el último ejercicio el resultado se debe a que, al hacer las
operaciones para despejar a la variable, la ecuación que se obtiene
no es equivalente a la original y se introdujo lo que se llama una
raíz extraña.
27
Ejercicios resueltos
1.) Determina el carácter de las raíces de la ecuación
a  5; b  7;
5x 2  7 x  8  0
c 8
b 2  4ac   7  458
2
= 49 – 160
= – 111 < 0.
Las raíces son complejas o imaginarias
y diferentes.
2.) Determina el carácter de las raíces de la ecuación
x  42  2x5x  1  7x  2
x 2  8x  16  10x 2  2 x  7 x  14
x 2  10x 2  8x  2 x  7 x  16  14  0
 9 x 2  17x  2  0
a  9; b  17; c  2
b 2  4ac  17  4 92
2
= 289 + 72
= 361 > 0.
Las raíces son reales y diferentes.
28
,
.
3.) Encuentra la fórmula para determinar las raíces de la ecuación
general de segundo grado:
ax2  bx  c  0
a0
Pasa el término independiente al segundo miembro, completa un
trinomio cuadrado en el primer miembro – sumando el mismo
término en el segundo miembro para obtener una ecuación
equivalente – y toma la raíz cuadrada de ambos miembros para
despejar a la variable.
ax2  bx  c
ax2  bx
c

a
a
x2 
b
c
x
a
a
2
2
b
c
 b 
 b 
x  x    
a
a
 2a 
 2a 
2
29
2
b 
b2
c

x





2
2a 
a
4a

b 
b 2  4ac

x   
2a 
4a 2

2
b
b 2  4ac
x

2a
2a
b
b 2  4ac
x 
2a
2a
x
 b  b 2  4ac
2a
Las raíces de la ecuación: ax
 b  b 2  4ac
x1 
2a
y
x2 
2
, con a  0 , son
 bx  c  0
 b  b 2  4ac
2a
30
Encuentra el conjunto de soluciones de las siguientes ecuaciones,
indicando el carácter de sus raíces:
1.) 9x  1  3x  5  x  3x  2
2
9 x  1  3x 2  15  x 2  2 x  3x  6
 3x 2  x 2  9 x  2 x  3x  1  15  6  0
 2 x 2  8x  10  0
 x 2  4x  5  0 ;
x
a  1; b  4; c  5
 4  36
 4  16  4 15
=
=
2
2 1
x1 
46
2
46
 1
2
x2 
46
5
2
31
Comprobación
Para x  1
1


9(1)  1  3  1  5   1  3 1  2
2
 9  1  12  4
La solución es correcta.
Para
x2  5


9(5)  1  3 5  5  5  35  2
2
46  60  14
La solución es correcta.
32
2.)
x  4 2x  5 x 2  53


4
5
5
 x 2  53 
 x 4
 2x  5
20
  20
  20 5 
 4 
 5 




5x  4  42x  5  4 x 2  53
5x  20  8x  40  4 x 2  212
 4 x 2  13x  152
;
a  4;
x
 13 
132  4 4152 
2 4 
x1 
 13  51
8
x2 
b  13;
=
 13  169  2432
8
=

 13  52
8
c  152
=
 13  2601
8
19
4
= 8
33
Comprobación
19
x 
Para
4
1
2

1  19
 1   19  1  19 
   4   2   5       53
4 4
 5  4
 5  4 

1  35  1  78  1  487 
      

4  4  5  4  5  16 

35 78
487


16 20
80

175 312
487


80
80
80
La solución satisface a la ecuación original.
Para x  8
2

1
8  4  1 28  5  1 82  53
4
5
5

4 6 11
 
4 5 5
20  24 44

20
20
También esta raíz satisface a la ecuación dada.
34
4 x 2 1  3x 20x


x 1
4
3
3-)
 4x 2 
 1  3x 
 20x 
  12x  1
12x  1
  12x  1

 4 
 3 
 x 1
 
12 4x 2  3x  11  3x  4x  120x
48x 2  3x  31  3x  20x4x  4
48x 2  3x  9 x 2  3  9 x  80x 2  80x
48x 2  9 x 2  80x 2  3x  9 x  80x  3  0
a  23;
 23x 2  68x  3  0 ;
x
 68 
x1 
682  4 233
2 23
 68  70
 46
x2 
 68  70
 46

=
=
b  68;
=  68  4624 276
 46
c3
=
 68  4900
 46
1
23
3
Comprueba los resultados.
35
;
Una
compañía de 180 soldados está formada en filas. El número de
soldados de cada fila es 8 más que el número de filas que hay.
¿Cuántas filas hay y cuántos soldados en cada una?
Sean
x ≈ número de filas;
=
= xy  180
;
y ≈ número de soldados en cada fila.
y  x8
xx  8  180
x 2  8x  180  0
x
8
x1 
82  41 180 =
21
 8  28
 10
2
 8  64  720
2
x2 
=
 8  784
2
 8  28
 18
2
36
;
.
Observa que la segunda raíz no es válida puesto que se busca el
número de filas en que están formados 180 soldados y éste no
puede ser negativo.
Por lo tanto, la solución es :
x  10
;
.
y  x  8  10  8  18
Es decir, hay 10 filas y en cada una 18 soldados.
37
Problemas propuestos
Encuentra la solución de las ecuaciones
dadas
1)
5  3x   4x  6  8x  11   3x  6
2)  3x  8   15  6 x   3x  2    5 x  4    29  5
3)
1
2
3
4



 5
z
z
z
z
4)
5x  8
5x  2

3x  4
3x  4
5)
7
6
3


2
2 y 4 y
4  2y
38
Aplica el procedimiento mencionado anteriormente
para encontrar la raíz de las siguientes ecuaciones:
6.-
6 x  2 x  1   5x    2 x  1
7.-
30x   x  6   5x  4  5x  6   8  3x
8.9.10.-
23x  3  45x  3  xx  3  xx  5
34  5x   2x  4  4
x 3x x  6


2 5
2
11.-
5
7
3

3
7x 2x
14
12.-
2x
3
2
x 1
x 1
13.-
2x  1 x  4
2


2 x  1 3x  2 3
39
Resuelve por factorización las ecuaciones propuestas:
14.-
16y 2  24y  9
15.-
4 x 2  13x  10  0
16.-
2 x 2  7 x  15  0
17.-
2 x 2  2 x  24  0
18.- 15x 2  ax  2a 2  0
40
19.-
3
2
8

 2
x  4 x  3 x  7 x  12
20. - El largo de un rectángulo excede a su ancho en 2m. Si cada lado del rectángulo se
incrementara en 3m, el área total se incrementaría en 51m2. Encuentra las
dimensiones originales.
41
Aplica la fórmula general para encontrar la solución de las ecuaciones
que se proponen:
21. x  42  2x5x  1  7x  2
2223.
5x 2  12  3x 2  20
25x  2  x  7  81
2
2
2
2
3
24.- x  5  x  6  2x  3  118
3
3
25.- x  2  x  1  x3x  4  8
26.-
4x 
27.-
1
28.-
13 3

x 2
2x  3 x  2

x5
10
2x  x  1  3x  7
42
29.- Varias personas compraron un billete de lotería con
valor de $1,200.00. El dinero que pagó cada persona
excede en 194 al número de personas. ¿Cuántas
personas compraron el billete?
30.- Halla tres números consecutivos tales que el cociente
del mayor entre el menor equivale a los del número
intermedio.
43
Soluciones
1)
9
2
x
2)
x  21
3)
z2
4)
5
)
x  
20
11
10
y 
17
44
6.7.-
x0
x  
3
7
8.- x  3
9.-
x0
10.-
x5
11.- x  
13
15
12.- x  5
13.-
x9
14.- x  
15.-
1
5
• Largo: 8m. Ancho: 6m.
45
16.-
4 y  34 y  3  0
x1  x 2  
17.-
x  24x  5  0
;
18.-
x  52 x  3  0
;
19.20.-
2x  4x  3  0
5x  2a3x  a  0
x1  2
x1  5
3
4
x2 
5
4
;
x2  
x1  4
;
;
x1 
x2  3
;
2a
5
3
2
;
x2  
a
3
46
Para resolver una ecuación de segundo grado, el
método de factorización no es el más eficiente. Aun
para expresiones cuadráticas sencillas, determinar los
dos valores cuya suma sea b y su producto sea ac es,
cuando menos, tardado.
47
21.- x1  2 ;
x2  
1
9
22.- Las raíces son imaginarias
23.- x1  2 ;
x2  
11
4
7
24.-x1  7 ; x 2  
2
1
1
25.-x1   2 ; x 2   3
26.-x1  2
27.- x1  5 ;
28.- x1  5
x2  
13
8
x2  18
la otra raíz no satisface a la ecuación, por lo tanto se rechaza.
29.- 6 personas
30.- 4, 5, 6
48
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ECUACIONES DE PIMERO Y SEGUNDO GRADO.