Funciones Especiales
Ejemplos de funciones …

Función polinomiales
y
y
2
2
1.5
1
1
0.5
x
-4
-2
2
4
x
-4
-1
-2
2
-0.5
-2
-1
-1.5
y = x3
Otros ejemplos:
y = x3 +x2
y  3 x  2 x  10 x  1
3
2
y  x  7x  x
4
3
4
La función lineal.
x
Las funciones lineales tienen la forma:
0 ,0 0
0 ,2 5
0 ,5 0
0 ,7 5
1 ,0 0
1 ,2 5
1 ,5 0
1 ,7 5
2 ,0 0
2 ,2 5
f ( x )  m x  b; o y  m x  b
En donde m es la pendiente
y b la intersección de la
línea de la función en el eje
y. Por ejemplo:
f ( x)  4 x  1
y
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
1,4 Gráfico de una función lineal.
9
La Pendiente es: 4 / 1 esto
es: la distancia vertical
entre
la
distancia
horizontal)
Y la intersección con el eje
y es: 1.
8
7
6
5
4
3
2
1
0
-10,00
-2
R: 1; 4 / 1
0,50
1,00
1,50
2,00
2,50
La forma estándar de una ecuación lineal
La forma estándar de una ecuación lineal
esta definida por:
Ax  By  C  0
La pendiente se calcula mediante:
m
La intersección con el eje y mediante:
b
A
B
C
B
El ejemplo que se ha desarrollado puede
escribirse como:
Ax  C   By
Ax  C
Despejando para y:
B
A
C
Independizando términos a la izquierda de Ec.

Sustituyendo:
 4 
 1

x  
  4 x  1  y;

1

1




Ax  C
R:
B
 y
 4 
 1

x  
  4 x  1  y;
 1
 1
B
x
 y
 y
B
Ax  C   By

A
B
x
C
B
 y
Las Funciones Cuadráticas.
1. La ecuación general de las funciones cuadráticas es:
f ( x )  ax  bx  c .
2
2. La Gráfica de una función cuadrática se llama parábola.
3. Algunas parábolas son ecuaciones cuadráticas pero no son funciones cuadráticas.
4. El vértice de una parábola se llama punto crítico.
5. Se puede usar la fórmula:
b
b  4ac
2
2a
para encontrar las raíces reales de las funciones cuadráticas.
6.- El valor dentro del símbolo de la raíz cuadrada se llama discriminante e indica el
tipo de raices de ecuación cuadrática.
Si b2 – 4ac > 0, indicará dos raíces reales diferentes;
Si b2 – 4ac = 0, indicará exactamente una raíz real;
Si b2 – 4ac < 0, indicará que no hay raíces reales (dos raíces imaginarias
distintas).
R: parábola; funciones; punto crítico; discriminante ecuaciones;
La Parábola
f (x)  x
Desarrolle la función
2
b  4 ac  0  4  0  0  0
2
El discriminate D =
La raíz positiva:
2
a  0  no
b
b  4ac
2
;
2a
La Parábola
La raíz negativa:
a  0  no
b
b  4ac
2
30,00
;
2a
y
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
R:
a  0  no
b
b  4ac
25,00
16,00
9,00
4,00
1,00
0,00
1,00
4,00
9,00
16,00
25,00
2
2a
;
a  0  no
20,00
Rango y
x
25,00
raíz real
x=0
15,00
10,00
5,00
f (x)  x
2
0,00
-6
-4
-2
0
2
4
6
Dominio x
b
b  4ac
2
2a
b  4 ac  0  4  0  0  0
2
;
2
Una Parábola con dos raíces: negativa y positiva
El discriminate D =
La raíz positiva:
La raíz negativa:
f (x)  x  2
2
b  4 ac  0  4  1   2   8
2
0
2
0  4  1   2 
2
2 1
 01 
0  4  1   2 
2 1
R:
2
2 1
  1,4142
14,00
2
  1,4142
y
-4,0
-3,3
-2,7
-2,0
-1,3
-0,7
0,0
0,7
1,4
2,0
2,7
3,4
4,0
0  4  1   2 
 1,4142
16,00
x
 01 
Parábola con dos raices reales
0
14,00
9,09
5,08
1,96
-0,26
-1,58
-2,00
-1,52
-0,15
2,12
5,29
9,36
14,32
0  4  1   2 
2
10,00
8,00
6,00
Dos raíces:
x = 1,4142
-x = -1,4142
4,00
2,00
0,00
-6,0
-2,0
-4,0
-2,00 0,0
2,0
4,0
-4,00
x, Dominio de la función
2
2 1
f ( x)  x  2
12,00
y, Rango de la función
Desarrolle la función
 1,4142
b  4 ac  0  4  1   2   8
2
2
6,0
Una Parábola con dos raíces: ambas positivas
El discriminate D =
La raíz positiva:
La raíz negativa:
f (x)  x  4x  1
2
b  4 ac   4  4  1  1   12
2
2
  4  
 4  4  1  1 
2
2 1
   4   4 0  4  1  1
2 1
R:
35
30
 3,7321
33
22
13
6
1
-2
-3
-2
1
6
13
22
33
20
15
10
5
f ( x)  x  4 x  1
2
0
-6,0
-4,0
-2,0
-5
0,0
2,0
4,0
6,0
8,0
10,0
x; Dominio
   4   4 0  4  1  1
2
2
2 1
Dos raices
positivas
x1 = 0,26
x2 = 3,73
25
y
-4 ,0
-3 ,0
-2 ,0
-1 ,0
0 ,0
1 ,0
2 ,0
3 ,0
4 ,0
5 ,0
6 ,0
7 ,0
8 ,0
 4  4  1  1 
Dos raices reales positivas
2
x
  4  
 0,2679
y; Rango
Desarrolle la función
 0,2679
b  4 ac   4  4  1  1   12
2
2
2 1
 3,7321
Función raíz cuadrada
Grafica de la ecuación:
y
x 1
x
y
–1
0
0
1
1
2 = 1.412
2
3 = 1.732
3
2
4
5 = 2.361
5
6 = 2.449
FUNCIÓN VALOR ABSOLUTO

Sea f(x) = |x|

Asigna a cada valor de x su imagen
positiva.
Esto significa que:

x , si x>=0



f(x) =
-x, si x<0
R-
R+
Mín(0,0)






Dom f(x) = R
Img f(x) = R+
Simetría: PAR
Mínimo: Mín (0,0) , en el vértice.
Decreciente en (-oo, 0)
Creciente en (0, +oo)
f(x)

Sea f(x) = | 2x –3 |

f(x) =
- 2x +3 , si x < 1,5







5
2x – 3 , si x ≥ 1,5

Dom f(x) = R
Img f(x) = R+
Simetría: No hay
Mín (1,5 , 0) , que es el vértice.
Decreciente en (-oo, 1,5)
Creciente en (1,5 , +oo)
3
1

Tabla de Valores:
x

x
-1
0
1
2
3
–1


f(x)
5
3
1
1
3
0
1
2
3
Tipos de funciones …

Funciones exponenciales
y
7
6
y e
x
5
4
3
2
1
-2
-1
Otros ejemplos
1
2
f ( x)  e
2 x 1
f ( x)  e
x
2
x
x
F(x)
3
2
1
0
1
2
3
0.0497871
0.135335
0.367879
1.
2.71828
7.38906
20.0855
Tipos de funciones …

Funciones logarítmicas
y
0.5
1
1.5
2
2.5
3
x
-2
-4
y  ln( x )
-6
-8
-10
Otros ejemplos
f ( x )  ln( 2 x  1)
f ( x )  log( x  1)
x
F(x)
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0.
0.693147
1.09861
1.38629
1.60944
1.79176
1.94591
2.07944
2.19722
2.30259
Función Mayor Entero
Funcion Piso
Funcion Techo
Funcion Entero
La función
para n ≤ x < n + 1 llamada función escalonada o función mayor
entero, tiene como dominio el conjunto R y el rango lo conforman todos los Z.
Ejemplos de funciones …

Función definidas por partes
y
4
y=
x2
y = Cos[x]
2
-4
-2
2
4
6
8
10
x

Si  4  x   2
x
 2
f ( x)   x
Si  2  x  0

 cos( x )
Si x  0

-2
y=x
-4
Otros ejemplos

 x
f ( x)  x  
x

Si
Si
x0
x 0

 x
 3
f ( x)   x

x  2

Si  2  x  0
Si
0 x 2
Si
x 2
otras funciones
Trigonométricas

y
y
y Sin x
1
1
0.5
0.5
2
4
6
8
10
x
-0.5
-1
-1
y
20
4
6
8
10
x
x
1
2
3
4
5
6
4
5
6
-20
-40
y
y Csc x
y Tan x
40
2
-0.5
y
y Cos x
y
y Sec x
y Cot x
15
20
40
10
10
x
x
2
-10
20
5
4
6
8
10
2
-5
4
6
8
x
10
1
-20
-10
-40
-20
-15
2
3

Funciones hiperbólicas
y
y
y
1
10
10
5
6
x
-3
-2
0.5
8
-1
1
2
3
-3
4
-2
-5
-10
-2
Sinh[x]
-1
1
-2
3
x
x
3
Tanh[x]
y
y
1
4
20
0.8
2
-1
2
-1
30
10
-3
2
Cosh[x]
y
1
-0.5
2
-3
-1
0.6
1
2
3
x
-3
x
0.4
-30
0.2
Csch[x]
-3
-2
-1
-1
1
-2
-10
-20
-2
-4
1
Sech[x]
2
3
x
-6
Coth[x]
2
3
MUCHAS GRACIAS
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