Cinemática Rotacional
Loreto A. Mora Muñoz
LPSA
Viña del Mar
L.A.M.M.
Conceptos previos.
• La cinemática es una rama de la física
mecánica, que se encarga del estudio y
descripción del movimiento.
• La cinemática rotacional dice relación con los
movimientos en que hay rotación de un
objeto respecto de un eje (o punto) central.
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Ejemplos:
• El minutero de un reloj análogo rota respecto
del centro del reloj.
• Un automóvil que da la vuelta en una rotonda
está girando alrededor del centro de la misma.
• Los planetas giran en torno al Sol.
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Variables escalares.
• Periodo: es el tiempo que demora en dar una
vuelta completa (o una revolución)
• Se le asigna la letra T y se mide en segundos(s)
en el sistema MKS.
• También se puede medir en minutos, horas,
dias, años, etc.
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Ejemplo:
• ¿Cuánto demora un minutero en
dar una vuelta completa al reloj?
• Como 1(min) es el tiempo que
marca el minutero, la vuelta
completa al reloj se da en
60(min), por lo tanto el periodo
del minutero es T=60(min), o bien
T=3600(s).
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Ejemplo:
• Un ciclista demora 2(min) en dar tres vueltas
en una rotonda. ¿Cuánto vale el periodo de su
movimiento?
• Si
3vueltas  120(s)
1vuelta  X (s)
X = 120*1/3
El periodo del movimiento del ciclista es de 40(s)
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Variables escalares:
• Frecuencia: es la cantidad de vueltas en cierto
tiempo. Se denomina con la letra f y su
unidad de medida es (1/s) a lo cual se le llama
HERTZ (Hz) en el sistema MKS.
• Se expresa como:
• También se puede medir en RPM
(revoluciones por minuto).
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Ejemplos:
• ¿Cuál es la frecuencia de un motor que da 300
vueltas en 5 (s)?
• Como : f = 300/5(s),  f = 60 (Hz)
• Esto significa que da 60 vueltas en un
segundo.
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Ejemplo:
• ¿Cuál es el periodo del motor cuya f=60(Hz)?
• Como sabemos que 60 vueltas  1(s)
entonces:
1 vuelta  X(s)
El periodo del motor es
T = 1/60  T = 0,01667(s)
• De lo que se deduce que f = 1/T
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Frecuencia y Periodo
• Como vimos en el ejemplo anterior Periodo y
frecuencia se relacionan de forma inversa,
esto es, mientras uno aumenta el otro
disminuye.
• O bien a mayor frecuencia menor periodo, y
viceversa.
Es valido decir que:
, o bien:
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Ejemplo:
• Calcule el periodo y la frecuencia del planeta
Tierra para su:
a) Rotación sobre su eje
b) Traslación respecto del Sol
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Solución:
a) Como da una vuelta completa en un día,
sabemos que: 1(día) = 24(hrs), pero cada
hora tiene 3600(s); por lo tanto:
T = 24*3600 (s)  T = 86400 (s)
Luego f = 1/T  f = 1/86400
f = 1,1574 x 10E-5 (Hz)
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Solución:
b) Sabemos que el planeta demora 365 días en
dar la vuelta completa alrededor del Sol. Por
lo que T = 365(días)*24(hrs)*3600(s)
Luego T = 31536000 (s)
Entonces f = 1/T  f = 3,17x10E-8 (Hz)
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Ejemplo:
• Un motor gira a 3000rpm ¿Cuánto vale su
frecuencia en el Sistema Internacional?
• Como se dan 3000 vueltas en 1 minuto, se
puede decir que:
3000 rev  60 (s)
X rev  1 (s)
f = 50 (Hz)
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Variables Angulares.
• En un plano cartesiano
XY (en metros),
podemos decir que un
objeto se encuentra en
las coordenadas
(x,y)=(3,4), o bien
podemos indicar su
posición diciendo que
está a 5(m) y a 36,9º
sobre el eje X positivo.
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Variables Angulares
• Posición angular: lugar en que se encuentra
un objeto, medido en ángulos. (como el
segundo caso del ejemplo anterior).
• Se le asigna la letra griega θ y su unidad de
medida es en radianes(rd), en el sistema MKS.
• También se puede medir en grados, para lo
cual se sabe que: 360º = 2π (rd)
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Ejemplo de cálculo:
• ¿Cuántos radianes son 90º?
• Como 360º = 2π (rd)
•
90º = X (rd)
• Luego 90º = π/2 (rd)
X = 90*2π/360
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Relación entre grados y radianes
• Para una vuelta completa se tiene que:
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Pero: ¿Qué es un radián?
• El radian se define como el ángulo
para el cual el arco comprendido
por dicho ángulo es igual al radio.
• Entonces la razón (o división) entre el arco y el
radio es igual a UNO.
• Note que por ser una división entre magnitudes
de distancia resulta una variable sin unidad de
medida (adimensional).
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Ejemplo:
• Se recorre un arco de 30(cm) en una
circunferencia de 20(cm) de radio ¿Qué ángulo se
abarca?
ángulo (rd) = arco/radio
ángulo = 1,5(rd)
O bien: ángulo = 42,97º
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Ejemplo:
• En una circunferencia de radio 50(cm) Un
ángulo de 72º barre un arco de:
a) 125 π (cm)
b) 20 π (cm)
c) 259,2 π (cm)
d) 3600 π (cm)
SOLUCION:
72º* π /180* = ángulo en radianes
Ángulo = 0,4 π (rd)
Luego arco/radio = ang (rd)
Queda: ang (rd) *radio = arco
0,4 π (rd) * 50 (cm) = 20 π (cm)
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Desplazamiento angular.
• Desplazamiento angular: se le denomina así
al cambio de posición angular.
• Se le designa Δθ = θf – θi
• Es la diferencia entre la posición angular final
y la posición angular inicial. Por tanto se mide
también en radianes o grados.
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Ejemplo:
• Un objeto que se encuentra en A, a 90º, gira
alrededor de un eje hasta llegar a B, a 210º,
como muestra la figura. ¿Cuánto vale su
desplazamiento angular?
Como: Δθ = θf – θi
Δθ = 210º – 90º  Δθ = 120º
Como 360º = 2π (rd)  120º = 2π/3 (rd) = Δθ
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Rapidez Angular
• Rapidez (o velocidad) angular: es el
desplazamiento angular efectuado en cierto
intervalo de tiempo. Se expresa como:
ω = Δθ/Δt
• Su unidad de medida en el sistema MKS es el
radian/segundos (rd/s)
• También se puede medir en grados/seg.
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Ejemplo:
• Para una circunferencia de 3(cm) de radio, se
recorre un arco de 5(cm) en apenas 4(s).
¿Cuánto vale la rapidez angular para este
movimiento?
• Arco/radio = ang (rd)  ángulo = 1,67 (rd)
Por lo tanto:
ω = 1,67(rd) / 4 (s)
ω = 0,4167 (rd/s)
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MCU
• El Movimiento circular uniforme es aquel en el
que la rapidez angular ω es constante.
• Para este tipo de movimiento rotacional si ω
es constante, entonces significa que el cambio
en la posición angular es el mismo en iguales
intervalos de tiempo.
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MCU
• Por ejemplo si un ventilador de paletas gira
con MCU dando 5 vueltas en 0,2 (s):
a) ¿Cuánto vale su periodo y su frecuencia?
b) ¿Cuánto vale su ω?
c) Cuantas vueltas dará en 5 (min)?
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Solución:
a) Como f = nº vueltas / tiempo, entonces:
f = 5 vueltas / 0,2 (s)  f = 25 (Hz)
Como T = 1/f  T = 0,04 (s)
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Solución:
b) Como 1 vuelta = 2 π (rd)
Y nos dicen que da una vuelta en 0,04 (s)
Entonces: ω = 2 π (rd) / 0,04 (s)
ω = 157 (rd/s)
de aquí se obtiene que:
ω=2π/T
o bien:
ω=2πf
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Solución:
c) Como 5 (min) = 300 (s)
Si da 5 vueltas  0,2 (s)
X vueltas  300 (s)
X = 5*300/0,2
 X = 7500 vueltas
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MCU
• Como ω es constante y vale:
ω = Δθ/Δt
• Si ti = 0 (s), entonces despejamos:
ω = Δθ/t
 ω*t = Δθ  ω*t = θf – θi
Luego queda:
ω*t + θi = θf
es la ecuación de la posición para un
objeto que se mueve con MCU
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Rapidez
• La rapidez, es como se ha visto antes, la
distancia recorrida en cierto intervalo de
tiempo.
• Como en el ejemplo anterior, se recorre un
arco de 5 (cm) durante 4 (s), entonces la
rapidez es V = 5(cm) / 4 (s)
Nos queda: V = 1,25 (cm/s)
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Rapidez
• Es la rapidez con que se recorre la
circunferencia (o el arco) durante la rotación.
• Si V = d/t, entonces en una vuelta completa:
• V = Perímetro / Periodo
, o bien:
¿Cuál es la relación entre V y ω?
• Como
• Y
ω=2π/T
V = 2 π R /T
• Al realizar la division V / ω queda:
V = 2 π R /T
V/ω = R
ω
2 π /T
o bien:
V=ω*R
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Ejemplo:
• Calcule la rapidez con que se recorre una
circunferencia de radio 20(cm) si el periodo de
dicha rotación es de 1,2 (min)
Como: V = 2πR/T
V = 125,66 (cm) / 72 (s)
V = 1,745 (cm/s)
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Ejemplo:
• ¿Cuál es el periodo de un carrusel que gira a
0,1257(m/s) si el radio del mismo es de 3(m)?
a) 23,866 (s)
b) 18,85 (s)
c) 47,73 (s)
d) 150 (s)
SOLUCION:
2πR/T=V
Luego:
2 π R / V= T
18,85 (m) / 0,1257 (m/s) = T
T = 149,95 (s) ≈ 150 (s)
Aceleración angular
• Aceleración angular es el cambio en la rapidez
angular en cierto tiempo. Se designa con la
letra α y se expresa como:
α = Δω / Δt
• Su unidad de medida en el sistema MKS es el
Radián/segundo cuadrado (rd/s^2)
Aceleración angular:
• Por ejemplo: un motor disminuye su
frecuencia de 300 rpm a 120 rpm en 15 (s).
¿Cuánto vale la aceleración angular del
motor?
Solución:
• Inicialmente:
Como 300 rev  1 (min)
300 rev  60 (s)
f = 5 (Hz)
• Luego como: ω = 2 π f  ω = 10 π (rd/s)
Solución:
• Finalmente:
Como 120 rev  1 (min)
120 rev  60 (s)
f = 2 (Hz)
• Luego como: ω = 2 π f  ω = 4 π (rd/s)
Solución:
• Sabemos que:
α = ωf – ω i / t
 α = 4 π – 10 π / 15
α = – 6 π / 15
La aceleración angular es α = – 0,4 π (rd/s^2)
es más bien una
desaceleración
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MCUA
• Movimiento Circular Uniformemente
Acelerado es aquel en que hay aceleración
angular constante.
• Esto significa que en iguales intervalos de
tiempo la rapidez angular cambia en iguales
valores.
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Ecuaciones del MCUA
• Como existe aceleración, para cada tiempo
hay una velocidad distinta, pero se despeja de
la definición de aceleración:
α = Δω / Δt
si ti = 0 (s)
Queda: α = Δω / t, despejamos
α*t = ωf – ωi

α*t + ωi = ωf
Es la
ecuación de
la rapidez
angular en
función del
tiempo
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Ecuaciones del MCUA
• Como sabemos que:
ω*t + θi = θf
• Pero ω no es constante, por lo que debemos
buscar un valor promedio de ω:
ω prom = ωi + ωf
2
y queda:
reemplazamos en la
ecuación anterior
( ωi + ωf )*t + θi = θf
2
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Ecuaciones del MCUA
Despejamos
el paréntesis
( ωi + ωf )*t + θi = θf
2
ωi *t + ωf *t + θi = θf
2
2
Pero como:
Queda:
α*t + ωi = ωf
ωi *t + (α*t + ωi )*t + θi = θf
2
2
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Ecuaciones del MCUA
Despejamos nuevamente el paréntesis:
ωi *t + (α*t + ωi )*t + θi = θf
2
2
ωi *t + α*t*t + ωi *t + θi = θf
2
2
2
Finalmente sumamos términos semejantes:
α*t^2 + ωi *t + θi = θf Es la ecuación de la posición
angular en función del
2
tiempo para un objeto que
se mueve con MCUA
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Ejemplo:
• ¿Cuantas vueltas dará una rueda en 5 s , si
partiendo del reposo su aceleración angular es de
20 (rad/s^2) .
• Como:
α*t^2 + ωi *t + θi = θf
2
α*t^2 = Δθ
20*25 = Δθ = 250 (rd)
2
2
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Ejemplo:
• Si Δθ = 250 (rd) es el ángulo barrido
• Y como:
2 π (rd) = 1 vuelta
250 (rd) = X vueltas
Nos queda que dio:
X = 39,788 vueltas.
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Cinemática Rotacional
(cantidades vectoriales)
Loreto A. Mora Muñoz
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Sistema de Coordenadas.
• Las cantidades vectoriales tienen módulo,
dirección y sentido, por lo que necesitamos un
sistema de referencia para poder indicar las
variables vectoriales en el Movimiento
Circular.
• En este caso se utiliza un sistema de
coordenadas que es longitudinal y transversal
a la posición del objeto.
La posición (vector) no es constante porque su
dirección está cambiando!!!!!
En estos casos es más conveniente no usar un
sistema de coordenadas fijo sino usar coordenadas
longitudinal (paralelo al vector R) y transversal
(perpendicular al vector R).
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Vector Velocidad.
• Como sabemos velocidad es cambio de
posición en cierto tiempo, por tanto:
Para todo el movimiento circular habrá
velocidad puesto que siempre hay cambio de
posición (vector).
• La velocidad siempre es tangente a la
trayectoria, por lo tanto es perpendicular a R.
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Velocidad (vector)
• Este valor de V (vector) es constante si el
movimiento es MCU (con ω constante).
• V vale:
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Aceleración.
• Existen dos tipos de aceleración:
centrípeta ( o radial)
tangencial (perpendicular a R)
• Cuando el movimiento es MCU, la velocidad de la
partícula permanece constante, y por lo tanto, la
partícula no posee aceleración tangencial, pero
como la dirección del vector velocidad varia
continuamente, la partícula posee aceleración
centrípeta.
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Aceleración.
• Demostración: tomemos un cambio pequeño
(ángulo de 8º) para el MCU.
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Aceleración.
• Demostración: si restamos geométricamente
los vectores Vf y Vi, nos queda en verde la
dirección de la aceleración centrípeta:
ac = ΔV/Δt
Se llama centrípeta porque
apunta hacia el centro de la circunferencia
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Aceleración centrípeta.
• El valor de la aceleración centrípeta es:
y como: V = ω * R ,
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Aceleración centrípeta.
• La magnitud de la aceleración centrípeta es
constante. Sólo su dirección (y sentido)
cambian durante la rotación, puesto que
siempre apunta al centro de la circunferencia.
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Ejemplo:
• Para una esfera que rota en una circunferencia
de radio 50 (cm) se sabe que su rapidez
angular es de 3 (rd/s).
a) ¿Cuánto vale su aceleración centrípeta?
b) ¿Cuánto vale su rapidez tangencial?
c) ¿Cuánto vale el periodo de rotación?
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Solución:
a) Como Ac = ω^2 * R
Entonces:
Ac = 9 * 0,5
b) Como Ac = V^2
R
 Ac = 4,5 (m/s^2)
 √(Ac * R) = V
V = 1,5 (m/s)
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Solución:
c) Sabemos que V = 2 π R
T
Entonces: T = 2 π R
V
 T = 2 π 0,5 (m)
1,5 (m/s)
T = 2,094 (s)
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