Estadística para Administración
4a Edición
Capítulo 6
La Distribución Normal - Repaso
Business Statistics, A First Course (4e) © 2006 Prentice-Hall, Inc.
Chap 6-1
La Distribución Normal
Distribuciones de
Probabilidad
Distribuciones de
probabilidad
continuas
Normal
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Chap 6-2
La Distribución Normal
‘Forma Acampanada’
 Simétrica
 Media, Mediana y Moda
son Iguales
La ubicación se determina por
la media, μ

El ancho se determina por la
desviación estándar, σ
La variable aleatoria tiene un
rango teórico infinito:
- a +
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f(X)
σ
X
μ
Media
= Mediana
= Moda
Chap 6-3
Familias de Distribución Normal
Variando los parámetros μ y σ, podemos obtener
diferentes distribuciones de probabilidad Normal
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Chap 6-4
La Normal Estándar

Cualquier distribución normal (con cualquier
combinación de media y desviación estándar)
puede ser transformada en una distribución
normal estándar (Z)

Para ello se necesita transformar las unidades
de X en unidades de Z
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Chap 6-5
Transformación a la
Distribución Normal Estándar

Para Transformar X a la normal estándar (la
distribución “Z”) se resta la media de X y se
divide por su desviación estándar:
Z
X μ
σ
La distribución Z siempre tendrá media = 0 y
desviación estándar = 1
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Chap 6-6
La Distribución Normal Estándar



También conocida como distribución “Z”
Su media es 0
Su desviación estándar es 1
f(Z)
1
0
Z
Por encima de la media los valores de Z son positivos.
Por debajo de la media los valores de Z son negativos.
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Chap 6-7
Ejemplo

Si X está distribuida normalmente con media
100 y desviación estándar 50, el valor de Z
para X = 200 es
Z

X μ
σ

200  100
 2.0
50
Esto significa que X = 200 está a 2
desviaciones estándar por encima de la
media 100 (2 incrementos de 50 unidades).
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Chap 6-8
Comparación de las unidades de
X y Z
100
0
200
2.0
X
Z
(μ = 100, σ = 50)
(μ = 0, σ = 1)
Note que la distribución es la misma, solo la escala
ha cambiado. Se puede expresar el problema en
las unidades originales (X) o en unidades
estandarizadas de (Z)
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Chap 6-9
Probabilidades de la Normal
Probability is the
La Probabilidad
area under the
curve! bajo la curva
es medida por el área
f(X)
P (a ≤ X ≤ b)
= P (a < X < b)
(Note que la
probabilidad de
cualquier valor
individual es cero
a
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b
X
Chap 6-10
Probabilidades como áreas bajo
la curva
El area total bajo la curva es 1.0, y por ser simétrica,
la mitad está por encima de la media y la otra mitad
por debajo.
f(X) P(  X  μ)  0.5
P(μ  X  )  0.5
0.5
0.5
μ
X
P(  X  )  1.0
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Chap 6-11
La tabla de la Normal Estándar
 La tabla de la Normal estándar acumulada
en el texto guía (Tabla apéndice E.2) da la
probabilidad de los menores que para un
valor deseado de Z (es decir, desde menos
infinito hasta Z)
0.9772
Ejemplo:
P(Z < 2.00) = 0.9772
0
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2.00
Z
Chap 6-12
La tabla Normal Estándar
La columna da el valor del
segundo punto decimal para Z
Z
La fila da el
valor de Z con
su primer
punto decimal
0.00
0.01
0.02 …
0.0
0.1
.
.
.
2.0
.9772
El valor dentro de la
tabla da la probabilidad
de Z =   hasta el
valor deseado de Z
2.0
P(Z < 2.00) = 0.9772
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Chap 6-13
Procedimiento general para
encontrar probabilidades
Para encontrar P(a < X < b) donde X está
distribuida normalmente:
Dibuje la curva normal para el problema en
términos de X
Transforme los valores de X a valores de Z
Use la tabla de la Normal Estándar
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Chap 6-14
Ejemplo
 Suponga que X es normal con media 8.0
y desviación estándar 5.0
 Encuentre P(X < 8.6)
X
8.0
8.6
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Chap 6-15
Ejemplo
 Entonces:
Z
X μ
σ

8.6  8.0
 0.12
5.0
μ=8
σ = 10
8 8.6
μ=0
σ=1
X
P(X < 8.6)
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0 0.12
Z
P(Z < 0.12)
Chap 6-16
Ejemplo
Una porción de la tabla Normal
Estándar
Z
.00
.01
P(X < 8.6)
= P(Z < 0.12)
.02
.5478
0.0 .5000 .5040 .5080
0.1 .5398 .5438 .5478
0.2 .5793 .5832 .5871
Z
0.3 .6179 .6217 .6255
0.00
0.12
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Chap 6-17
Cálculo de probabilidades
de cola superior
 Suponga que X es normal con media 8.0
y desviación estándar 5.0.
 Encuentre P(X > 8.6)
X
8.0
8.6
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Chap 6-18
Probabilidades cola superior
 P(X > 8.6)…
P(X > 8.6) = P(Z > 0.12) = 1.0 - P(Z ≤ 0.12)
= 1.0 - 0.5478 = 0.4522
0.5478
1.000
1.0 - 0.5478
= 0.4522
Z
0
0.12
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Z
0
0.12
Chap 6-19
Probabilidades entre dos
valores

Si X es normal con media 8.0 y desviación
estándar 5.0. Encuentre P(8 < X < 8.6)
Calcule los valores Z:
Z
Z
X μ
σ
X μ
σ

88
0
5

8.6  8
 0.12
5
8 8.6
X
0 0.12
Z
P(8 < X < 8.6)
= P(0 < Z < 0.12)
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Chap 6-20
Probabilidades entre 2 valores
Porción de la Tabla Normal
Estándar
Z
.00
.01
.02
P(8 < X < 8.6)
= P(0 < Z < 0.12)
= P(Z < 0.12) – P(Z ≤ 0)
= 0.5478 - .5000 = 0.0478
0.0 .5000 .5040 .5080
0.0478
0.5000
0.1 .5398 .5438 .5478
0.2 .5793 .5832 .5871
0.3 .6179 .6217 .6255
Z
0.00
0.12
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Chap 6-21
Probabilidades de cola inferior
 Si X es normal con media 8.0 y
desviación estándar 5.0.
 Encuentre P(7.4 < X < 8)
X
8.0
7.4
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Chap 6-22
Probabilidades de cola inferior
P(7.4 < X < 8)…
P(7.4 < X < 8)
= P(-0.12 < Z < 0)
0.0478
= P(Z < 0) – P(Z ≤ -0.12)
= 0.5000 - 0.4522 = 0.0478
La Normal es simétrica, luego
la probabilidad es la misma
que para P(0 < Z < 0.12)
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0.4522
7.4 8.0
-0.12 0
X
Z
Chap 6-23
Ejemplo
 Si X es normal con media 8.0 y desviación
estándar 5.0.
 Encuentre el valor de X tal que solo el 20% de
todos los valores estan por debajo de él
0.2000
?
?
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8.0
0
X
Z
Chap 6-24
Ejemplo - continuación
1. Encuentre el valor Z para la probabilidad conocida
Porción de la tabla Normal
Estándar
Z
-0.9
…
.03
.04
.05
… .1762 .1736 .1711
-0.8 … .2033 .2005 .1977
-0.7
 El 20% es el área en la
cola inferior que le
corresponde un valor de Z
de -0.84
0.2000
… .2327 .2296 .2266
?
8.0
-0.84 0
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X
Z
Chap 6-25
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