La Distribución Normal
Capítulo 6
ESTADÍSTICA 2221
Prf. JORGE L. COTTO
© 1999 Prentice-Hall, Inc.
Chap. 8 - 1
La Distribución Normal
1. Describe la probabilidad de un evento que se
encuentra en intérvalos
2. Aplica a variables continuas de poblaciones
3. Los Parámetros que definen la probabilidad de que
la variable se halle en un intérvalo son:
El Promedio  y la Desviación Estándar 
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Chap. 8 - 2
Distribución Normal
Función de Probabilidad
f (X )
f(X)


X

=
=
=
=
=
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1
2 




 1
e
 X  
2














2
frecuencia de la variable X
3.14159; e = 2.71828
desviación standard de la población
valor de la variable aleatoria (- < X < )
media de la población
Chap. 8 - 3
La Distribución Normal
Características Básicas
1.
2.
3.
4.
Es simétrica alrededor de su promedio.
El promedio = la mediana = moda
El modelo estándar tiene a   o y  = 1
Para hallar la de que probilidad de un
evento se encuentre entre dos o más
valores; por ejemplo entre  y X1 ó X1 y X2
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Chap. 8 - 4
La Distribución Normal
P(X)
X
Media
Mediana
Moda
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Chap. 8 - 5
La Distribución Normal
0.25
0.2
0.15
0.1
0.05
0
0
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2
4
6
8
10
12
μ
X1
14
16
18
20
X2
Chap. 8 - 6
La Distribución Normal
0.25
0.2
0.15
0.1
0.05
0
0
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2
4
6
8
10
μ
12
14
16
18
20
X1
Chap. 8 - 7
Distribución Normal
Probabilidad
¡Probabilidad es el
area bajo la
curva!
d
P (c  X  d ) 

f ( x ) dx
?
c
f(X)
c
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d
X
Chap. 8 - 8
Variable
Aleatoria Continua
1. Un Evento Expresado por Valor Numérico
expresado en una escala continua.
Ej. pesos

Observación: 115.2, 156.8, 190.1, 225.9
2. Variable Aleatoria Continua
Número Entero o Fraccional
 Se obtiene por Medición u Observación
 Número Infinito de Valores en Intervalos

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Chap. 8 - 9
Variable Aleatoria Continua
Ejemplos
Evento
Variable
Aleatoria
Posibles
Valores
Peso 100 Personas
Weight
45.1, 78, ...
Vida Útil de una Parte
Horas
900, 875.9, ...
Dinero
54.12, 42.0, ...
Record de Gastos
Tiempo Entre Llegadas
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Tiempo
0, 1.3, 2.78, ...
Chap. 8 - 10
Distribución Normal
Probabilidad
•
•
De acuerdo a la fórmula que produce
las probabilidades, se requerirían
muchas tablas de la distribución al
variar los parámetros de promedio y
desviación estándar.
No obstante esta dificultad se elimina
al estandarizar la tabla utilizando en la
fórmula   o y  = 1 .
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Chap. 8 - 11
Numero Infinito de
Tablas de DistribuciónNormal
Distribuciones Normales difieren
en promedio & desviación
estandar.
f(X)
Cada distribución requiere
su propia tabla.
X
¡Es un número infinito!
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Chap. 8 - 12
Efectos al Variar
los Parametros ( & )
f(X)
B
A
C
X
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Chap. 8 - 13
Estandarizar la
Distribución Normal
Z
Distribución
Normal

X 

Distribución Normal
Estandarizada
z = 1

X
Z = 0
Z
¡Una tabla!
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Chap. 8 - 14
Ejemplo de Estandarización
Z
Distribución
Normal
X 


 = 10
 = 5 6.2 X
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6 .2  5
10
 0 . 12
Distribución Normal
Estandarizada
Z = 1
Z= 0 .12
Z
Chap. 8 - 15
Obteniendo la Probabilidad
Tabla de Probabilidad Normal
Estandarizada (Porción)
Z
.00
.01
Z = 1
.02
0.0 .0000 .0040 .0080
0.0478
0.1 .0398 .0438 .0478
0.2 .0793 .0832 .0871
Z= 0 0.12 Z
0.3 .1179 .1217 .1255
Area sombreada
Probabilidades
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Chap. 8 - 16
Ejemplo
P(3.8  X  5)
Z
Distribución
Normal
X 


3 .8  5
  0 . 12
10
 = 10
Distribución Normal
Estandarizada
Z = 1
0.0478
3.8  = 5
X
Area Sombreada
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-0.12 Z= 0
Z
Chap. 8 - 17
Ejemplo
P(2.9  X  7.1)
Distribución
Normal
X 
2.9  5
Z

 .21
10

X 
7.1  5
Z

 .21Distribución Normal
10

Estandarizada
 = 10
Z = 1
.1664
.0832 .0832
2.9 5 7.1 X
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Area Sombreada
-.21 0 .21
Z
Chap. 8 - 18
Ejemplo
P(X  8)
Z
X 


85
10
Distribución
Normal
 .30
Distribución Normal
Estandarizada
 = 10
Z = 1
.5000
.3821
.1179
 =5
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8
X
Area Sombreada
Z= 0 .30 Z
Chap. 8 - 19
Ejemplo
P(7.1  X  8)
Distribución
Normal
7.1  5
X
Z

 .21
10

X 
85
Z

 .30 Distribución Normal
10

Estandarizada
 = 10
Z = 1
.1179
.0347
.0832
 =5
7.1 8
X
Area Sombreada
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z = 0
.21 .30 Z
Chap. 8 - 20
Distribución Normal
Ejercicio
Usted trabaja en “Quality Control”
para GE. La vida de un bulbo
tiene una distribución normal
con  = 2000 horas &  = 200
horas. ¿Cuál es la probabilidad
de que un bulbo dure
A. ¿entre 2000 & 2400
horas?
B. ¿menos de 1470 horas?
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Chap. 8 - 21
Hallando Valores de Z
para Probabilidades Conocidas
¿Cuál Es Z Dado
P(Z) = 0.1217?
.1217
Z = 1
Tabla de Probabilidad Normal
Estandarizada (Porción)
Z
.00
.01
0.2
0.0 .0000 .0040 .0080
0.1 .0398 .0438 .0478
Z= 0 .31 Z
Area Sombreada
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0.2 .0793 .0832 .0871
0.3 .1179 .1217 .1255
Chap. 8 - 24
Hallando Valores de X
para Probabilidades Conocidas
Distribución Normal
Distribución Normal Estandarizada
 = 10
Z = 1
.1217
 =5
?
X
.1217
Z= 0 .31
Z
X    Z   5  (0 . 31 ) 10  8 . 1
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Chap. 8 - 25
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Chap. 8: The Normal Distribution