Estadística Básica
Conceptos & Aplicaciones
Medidas de Tendencia Central, Variación
y
Forma
Capitulo 3
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Chap. 4 - 1
Objetivos de Aprendizaje
1. Explicar Propiedades de Datos Numéricos
2. Describir Medidas de Resumen
Tendencia Central
 Variación
 Forma

3. Analizar Datos Numéricos Utilizando
Medidas de Resumen
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Chap. 4 - 2
Datos Numéricos
Propiedades & Medidas
Datos Numéricos
Propiedades
Tendencia
Central
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Variación
Forma
Promedio
Rango
Mediana
Varianza
Moda
Desviación Estándar
Cuartiles
Coeficiente de Variación
Sesgo
Chap. 4 - 3
Análisis de Datos Numéricos
No Agrupados
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Chap. 4 - 4
Media o Promedio
1.
2.
3.
4.
5.
Medida de Tendencia Central
Medida Más Común
Actúa como ‘Punto de Balance’
Afectado por Valores Extremos (‘Outliers’)
Fórmula (Promedio de Muestra)
n
X 
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 Xi
i 1
n

X1  X2    Xn
n
Chap. 4 - 5
Media o Promedio
Ejemplo
Datos : 4.21, 5.55, 3.02, 5.13, 4.77, 2.34, 3.54,
3.20, 4.50, 6.10, 0.38., 5.12., 6.46, 6.19, 3.79
n
X 
X
i 1
n
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i

64.30
 4.29 (redondeado)
15
Chap. 4 - 6
Mediana
1. Medida de Tendencia Central
2. Valor del Medio en Secuencia Ordenada
Si n impar, Valor del Medio de la Secuencia
 SI n par, Promedio de los 2 Valores del Medio

3. Posición de la Mediana en la Secuencia
Posición  n  1
2
4. No se Afecta por Valores Extremos
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Chap. 4 - 7
Mediana
Ejemplo
Mediana datos impares
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
0.38, 2.34, 3.02, 3.20, 3.54, 3.79, 4.21, 4.50, 4.77, 5.12, 5.13, 5.55, 6.10, 6.19, 6.46
Me = 8vo dato
Mediana
Datos par
1
2
Me
Me
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
0.38, 2.34, 3.02, 3.20, 3.54, 3.79, 4.21, 4.50, 4.77, 5.12, 5.13, 5.55, 6.10, 6.19
n 1
Me =

2
14  1
15
2
4.21  4.50
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
2
 7.5 avo valor clasificado
2

8.71
2
 4.36 (redondeado)
Chap. 4 - 8
Moda
1. Medida de Tendencia Central
2. Valor que Ocurre con Más Frecuencia
3. No se Afecta por Valores Extremos
4. Puede No Haber Moda o Varias Modas
5. Puede Ser Usado Para Datos Numéricos &
Categóricos
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Chap. 4 - 9
Moda
Ejemplo
0.38, 2.34, 3.02, 3.20, 3.54, 3.79, 3.79, 3.9, 4.21, 4.50, 4.77, 5.12, 5.13,
5.55, 6.10, 6.19, 6.46
Mo = 3.79
0.38, 2.34, 3.02, 3.20, 3.54, 3.79, 3.9, 4.21, 4.50, 4.77, 5.12, 5.13,
5.55, 6.10, 6.19, 6.46
Mo = No hay moda
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Chap. 4 - 10
Ejercicio
Usted es el analista
financiero para PrudentialBache Securities. Usted
colectó los siguientes
precios de acciones de una
acción: 17, 16, 21, 18, 13,
16, 12, 11.
Describa los precios de la
acción en terminos de
tendencia central
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Chap. 4 - 11
Cuartiles
1. Dividen el conjunto de datos en cuatro
partes iguales
25%
25%
Q1
25%
Q2
25%
Q3
2.Divide los Datos Ordenados en 4 Cuartiles
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Chap. 4 - 15
Cuartiles
1. El Primer Cuartil Q1: El 25% de los valores son
menores que el primer cuartil y el 75% son
mayores que el primer cuartil.
2. El segundo Cuartil Q2 es la mediana: el 50% de
los valores son mayores que la mediana y el 50%
son menores.
3. El tercer cuartil Q3 separa el 25% que abarca los
valores que son mas grandes y el 75% son menores
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Chap. 4 - 16
Cuartiles: Reglas
• Regla 1: Si el resultado es un número entero, entonces el cuartil es
igual al valor clasificado. Por ejemplo, si el tamaño de la muestra es
n=7, el primer cuartil Q1 es igual a (7+1)/4= segundo valor clasificado.
• Regla 2: Si el resultado es una fracción de mitad (2.5,4.5, etc.),
entonces el cuartil es igual al promedio de los valores clasificados
correspondientes. Por ejemplo, si el tamaño de la muestra es n=9, el
primer cuartil Q1es igual al valor clasificado como (9+1)/4= 2.5, la
mitad entre los valores clasificados como segundo y tercero.
• Regla 3: Si el resultado no es un número entero ni una fracción de
mitad, se redondea al entero más cercano y se selecciona ese valor
clasificado. Por ejemplo, si el tamaño de la muestra es n=10, el primer
cuartil Q1es igual al valor clasificado como (10+1)/4= 2.75. Se
redondea
el 2.75 a 3 y se utiliza el valor clasificado como tercero.
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Chap. 4 - 17
Datos Numéricos
Propiedades & Medidas
Datos Numéricos
Propiedades
Tendencia
Central
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Variación
Forma
Promedio
Rango
Mediana
Varianza
Moda
Desviación Estándar
Cuartiles
Coeficiente de Variación
Sesgo
Chap. 4 - 20
Rango
1. Medida de Dispersión
2. Diferencia Entre el Dato Mayor y el Menor
3. Ignora Cómo Están Distribuidos los Datos
Rango  X l argest  X smallest
7 8 9 10
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7 8 9 10
Chap. 4 - 21
Varianza &
Deviación Estándar
1. Medidas de Dispersión
2. Medidas Mas Comunes
3. Considera Cómo Están Distribuidos los Datos
X
4. Muestra Variación Alrededor de la Media
( X o )
X = 8.3
4 6
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8 10 12
Chap. 4 - 22
Fórmula Varianza Muestral
n
S 
2
 (Xi  X)
i 1
n 1
2

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2
¡n - 1 en denominador!
(Use N si es Varianza
de Población)
2
(X1  X)  (X2  X)    (X n  X)
2
n 1
Chap. 4 - 23
Fórmula Deviación
Estándar de la Muestra
S
2
S
n

 (Xi  X )
i 1
2
n 1
2

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2
2
(X1  X )  (X 2  X )    (Xn  X )
n 1
Chap. 4 - 24
Coeficiente de Variación
1. Medida de Dispersión Relativa
2. Siempre un %
3. Muestra Variación Relativa a la Media
4. Usado para Comparar 2 o Más Grupos
5. Fórmula (Muestra)
S 
CV  
  100%
X 
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Chap. 4 - 25
Ejercicio
Usted es el analista financiero
para Prudential-Bache
Securities. Usted colectó los
siguientes precios de
acciones de una acción: 17,
16, 21, 18, 13, 16, 12, 11.
Describa la volatilidad de los
precios de las acciones.
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Chap. 4 - 26
Datos Numéricos
Propiedades & Medidas
Datos Numéricos
Propiedades
Tendencia
Central
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Variación
Forma
Promedio
Rango
Mediana
Varianza
Moda
Desviación Estándar
Cuartiles
Coeficiente de Variación
Sesgo
Chap. 4 - 29
Forma
•
El análisis de Forma se basa en la Distribución
Agrupada de los Datos, tales como el Histograma
y el Polígono de Frecuencias.
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Chap. 4 - 30
Forma
1.
Describe Cómo Se Distribuyen los Datos
2.
Medidas de Forma

Sesgo = Simetría
Sesgo- Izquierdo
Simétrica
Sesgo- Derecho
Media Mediana Moda Media= Mediana = Moda Moda Mediana Media
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Chap. 4 - 31
Análisis de Datos Numéricos
Agrupados
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Chap. 4 - 32
PASOS A SEGUIR
1. Establecer la Distribución de
Frecuencias
2. Calcular los Estadísticos o
Parámetros
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Chap. 4 - 33
Pasos para la
Distribución de Frecuencias
1. Ordene los datos
2. Seleccione el Numero de Clases k
3. Determine el Rango R
3. Compute el Ancho de Clase w
4. Determine las Fronteras de Clases
5. Compute el Punto Medio de la Clase Xi
6. Cuente las Observaciones y Asignelas a las
Clases
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Chap. 4 - 34
Número de Clases
k
Datos Crudos: 24, 26, 24, 21, 27, 27, 30, 41, 32, 38
n = 10
Regla de Sturges
K= 1+3.322(log n)
k= 1+3.322(log10)
log10 = 1
k =1+3.322 (1)
k= 1 + 3.322 = 4.3 ≈ 4
K=4
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Chap. 4 - 35
El Rango
R
Datos Crudos: 24, 26, 24, 21, 27, 27, 30, 41, 32, 38
R = Xmax – Xmin
R = 41 – 21= 20
R = 20
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Chap. 4 - 36
El Ancho de la Clase
w
Datos Crudos: 24, 26, 24, 21, 27, 27, 30, 41, 32, 38
w = R/k
w = 20/4 = 5
w=5
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Chap. 4 - 37
La(s) Frontera(s) o Límites
de las Clases
Li = Límite inferior de la clase. Este será el límite superior de la
clase que la antecede. En nuestro ejemplo
Ls = Límite superior de la clase:se obtiene sumando el ancho de
la clase al límite inferior de la clase: Ls = Li + w
La primera clase tendrá como límite inferior al
valor más bajo en el conjunto de datos a ser
agrupados.
En nuestro ejemplo será: 21 + 5 = 26
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Chap. 4 - 38
El Punto Medio de la Clase
Xi
Por ejemplo, el punto medio de la primera clase
sería
Xi 
Xi 
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Li  L S
2
21  26
2

47
 23.5
2
Chap. 4 - 39
Distribución Frecuencia
Ejemplo
Datos Crudos: 24, 26, 24, 21, 27, 27, 30, 41, 32, 38
Frecuencia
Punto
Clase
Abs Rel %
Li ≤ x < Ls Medio
21
26
23.5
3
.3
30%
26
31
28.5
4
.4
40%
31
36
33.5
1
.1
10%
36
41
38.5
2
.2
20%
Fronteras
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(Fronteras Superior + Inferior) / 2
Chap. 4 - 40
Fórmulas
Promedio Población
 
X
i
fi
n
Varianza Población
Promedio Muestra
X 
 
Varianza Muestra
 ( X i   ) fi
S
N
Desviación Estándar
Población
  
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2
X i fi
n
2
2

2
(X


 X ) fi
2
i
n 1
Desviación Estándar
Muestra
S 
S
2
Chap. 4 - 41
Tabla de Cálculos
2
Xi
Ls
fi
21
23.5
26
3
70.5
26
28.5
31
4
114.0
(28.5-29.4)²(4)= 3.24
31
33.5
36
1
33.5
(33.5-29.4)²(1)= 16.81
36
38.5
41
2
76.0
(38.5-29.4)²(2)= 165.62
Li
fiXi
(Xi –X) fi
(23.5-29.4)²(3)=104.43
∑=294 ∑= 290.1
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Chap. 4 - 42
Cálculos
Promedio Muestra
X
X


i
fi
n

294
 29.4
10
Varianza Muestra
 ( X i  X ) fi
2
S 
2
n 1

290.1
10  1
 32.34
Desviación Estándar Muestra
S 
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S 
2
32.34  5.69 (redondeado)
Chap. 4 - 43
La Moda
•
La Moda en una distribución de frecuencias
es sencillamente la clase que tiene el mayor
numero de observaciones. Nos referimos a
la clase modal.
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Chap. 4 - 44
La Mediana
1. El primer paso para calcular la Mediana en una
distribución de frecuencias es determinar el
intérvalo de clase en el que se locliza.
2. Esto se hace mediante el cálculo (n )(½), esto es,
se divide el total de datos por dos.
3. En el ejemplo de la tabla es (10)(½) = 5.
4. Notese que como n=10, el quinto valor que
representa la Mediana se encuentra entoces en
la segunda clase. Esto lo podemos ver siguiendo
la frecuencia acumulada (ver tabla).
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Chap. 4 - 45
Tabla de Cálculos
Li
Xi
Ls
fi
Fi
cumm
F Rel.
cumm
21
23.5
26
3
3
.30
26
28.5
31
4
7
.70
31
33.5
36
1
8
.80
36
38.5
41
2
10
1.00
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Chap. 4 - 46
La Mediana
(cont…)
5. El próximo paso es el calcular la Mediana
mediante la fórmula
M
M
j
e
= L +
e
= L a m e d ia n a
w
donde
f
L = L im ite in fe rio r d e la c la s e q u e c o n t ie n e
la m e d ia n a
j = n u m e ro d e u n id a d e s q u e s e re q u ie re n
p a ra lle g a r a l 5 to v a lo r
f = fre c u e n c ia d e la c la s e q u e c o n tie n e la m e d i a n a
w = a n c h o d e la c la s e
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Chap. 4 - 47
La Mediana
(cont…)
6. En nuestro ejemplo
L = 26 , j = 2 , f = 4 , w = 5
*** para hallar j, se resta el valor que obtuvimos de la
formula (n) )(½), que nos indica donde esta la
Mediana, a la frecuencia acumulada de la clase
que le antecede. En nuestro caso es 5 – 3 = 2
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Chap. 4 - 48
La Mediana
(cont…)
Asi que tenemos
M e = 26 +
2
(5) = 26 + 2.5 = 28.5
4
M e  28.5
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Chap. 4 - 49
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Chap. 4: Summarizing & Describing Numerical Data