1.1 La recta numérica
La recta numérica es una línea recta en la que
asociamos cada número con un punto de la
recta.
La recta la dibujamos horizontal, se elige un
punto arbitrario, llamado origen, que
representa al 0 y un punto a la derecha que
representa al 1 .
Los demás enteros positivos se colocan en
orden tomando como unidad la distancia entre
0 y 1.
Nota: En general la recta puede ser vertical o
La recta numérica
•
•
La recta en geometría se define como una línea
infinita que idealiza o simula un haz de luz, entonces
una recta numérica o real es una línea sobre la que se
representan los números reales. Para ello se destaca
uno de sus puntos, O, que se toma como origen y al
que se le asigna el número cero, 0, y, separados entre
sí por intervalos de amplitud fija u (unidad), se sitúan
correlativamente los números enteros, los positivos a
la derecha de 0 y los negativos a su izquierda.
Los restantes números reales (racionales o
irracionales) se sitúan sobre la recta bien valiéndose
de construcciones geométricas exactas, bien mediante
aproximaciones decimales que pueden ser tan
precisas como se desee sin más que tener en cuenta
tantas cifras decimales como sea necesario
●
La recta numérica es un gráfico
unidimensional de una línea en la que los
números enteros son mostrados como puntos
especialmente marcados que están separados
uniformemente. Frecuentemente es usada
como ayuda para enseñar la adición y la
sustracción simples, implicando especialmente
números negativos.
●
RECTA NUMÉRICA REAL
La recta numérica real o recta de
coordenadas es una representación
geométrica del conjunto de los números
reales. Tiene su origen en el cero, y se
extiende en ambas direcciones, los positivos
en un sentido (normalmente hacia la derecha)
y los negativos en el otro (normalmente a la
izquierda). Existe una correspondencia uno a
uno entre cada punto de la recta y un número
real.
La recta numérica esta dividida por segmentos de
un mismo tamaño, un segmento es un fragmento
de recta que está comprendido entre dos puntos.
La recta se dice que es infinita porque esta
comprendida por puntos que no tienen un limite,
estos puntos pueden ser tanto positivos como
negativos.
Los usos que tiene la recta son:
 En un plano cartesiano
 Para la suma y resta
 Para la medir la temperatura
 Longitud
 Presión
 Línea cronológica
Recta numérica
Siempre entre dos números reales hay otro
número real; de ahí que se asocie al conjunto
de los números reales con una recta. La recta
está formada por infinitos puntos y cada
punto representaría un número real, de ahí
que a dicha recta suela llamársele recta real o
eje real.
La recta numérica real (R)
-

-3 -2 -1 0 1 2 3
 2
3

Ejemplo de una recta real
Acapulco.
Sinaloa.
1.2 NÚMEROS REALES

Los números naturales son los que nos sirven para contar: 0, 1, 2, 3,
4, ......., 100, 101, 102, ......
Al conjunto de los números
naturales lo designaremos:
Es un conjunto perfectamente ordenado, es decir, elegidos dos
números naturales cualesquiera, siempre uno es menor o igual que el
otro.
Pueden representarse sobre una recta de la siguiente manera:
0
1
2
3
4
5
6 ...
A veces para contar se requieren también números negativos: el saldo de
una cuenta podría ser -234 euros, los pulsadores de un ascensor pueden
contener botones que marquen -1 ó -2 indicando 1º o 2º sótano, ...
Los números enteros negativos junto con los números naturales forman
el conjunto de los números enteros, que designaremos por:
Se pueden representar también sobre una recta del siguiente modo:
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
+1 +2
+3 +4
+5 +6
Esta forma de ser representados supone el siguiente criterio de ordenación:
Los naturales (enteros positivos) ya estaban ordenados
● Todo entero positivo es mayor que uno negativo
● Si un nº natural a es menor que otro b, entonces -a es mayor que -b
●
Para medir cantidades no enteras utilizamos las fracciones y números decimales,
por ejemplo cuando decimos que nos corresponden 2/3 de una cantidad, o
cuando algo nos cuesta 2'35 euros. Las fracciones pueden convertirse a forma
decimal (exacta, periódica pura o periódica mixta) y viceversa.
Éstas forman los números racionales, conjunto que representaremos por:
Si en una fracción el numerador es múltiplo del denominador, dicha fracción es un
número entero, por tanto:
También los número racionales pueden todos ser representados sobre una recta:
-5'9
-10/3
-3/2
½
2'2
6'7
Aún cuando representásemos todos los números racionales sobre la recta, quedarían puntos de la
recta sin cubrir, dicho de manera coloquial “quedarían agujeros”.
Hay números decimales que no son exactos, ni periódicos puros ni periódicos
mixtos. Por ejemplo, si con la calculadora calculamos:
2 1,414213562 ......
Observamos que sus cifras decimales son infinitas y no siguen ninguna periodicidad, no es
por tanto un número racional.
Los números con esa expresión decimal son los números irracionales,
conjunto que representaremos por:
I
Todas las raíces no exactas son irracionales.
●
El número p = 3,141592654... es irracional.
●Existen otros muchos números irracionales entre los que destaca el
1 5
número de Oro o número Aúreo:
●
2
Ahora si representásemos los irracionales sobre la misma recta que habíamos
representado los racionales, ya quedarían cubiertos todos los puntos de la misma. Al
conjunto formado por los racionales junto con los irracionales lo llamaremos conjunto
de los números Reales y lo denotaremos:
I
A cada punto de la recta le corresponde un número real y viceversa, cada número real
tiene su punto. Por esto diremos que los nºs reales son un conjunto completo.
EL ESQUEMA DE LOS CONJUNTOS DE NÚMEROS QUE CONOCEMOS
QUEDA DE LA SIGUIENTE MANERA:
I
2
5
0
-3
12
125
-6
2
3
1
.....
-14
1' 6
3
-18
-1
1
5
.....
1'42356713946...
12' 3 6
16
7
3' 25
;I
I
5
1.3 Propiedades de los
Números Reales
●
●
●
Son postulados que no requieren
demostración
Forman un conjunto de reglas
fundamentales para fácil manejo
algebraico
Si p, q, r son tres números reales
cualesquiera y pertenecen al
conjunto de los números reales
veamos las propiedades:
Clausura
De la suma
De la multiplicación
p+q
pq
La suma de dos
números reales es
otro número real
El producto de dos
números reales es
otro número real
Elemento Identidad o Neutro
De la suma
De la multiplicación
p+0=p
0+p=p
p1=p
1p=p
El número 0 es el
único elemento que
conserva la
identidad en la
operación de suma
El número 1 es el
único elemento
que conserva la
identidad en la
operación de
multiplicación
Elemento Inverso
De la multiplicación
De la suma
p+
–p
=
0
Para todo número p
existe un número –p
llamado inverso
aditivo (opuesto)
que genera su
elemento identidad
p =1
1
p
Para todo número p
1
(excepto 0) existe
p
un número
llamado inverso
multiplicativo
(recíproco) que
genera su elemento
identidad
Asociativa
De la suma
De la multiplicación
(p q) r = p (q r)
(p + q) + r = p + (q +
r)
En ambos casos la forma en que se
agrupan no alteran el resultado final ni
en la suma ni en la multiplicación.
Esto no aplica en la resta ni en la
división.
Conmutativa
De la suma
p+q=q+p
De la multiplicación
pq=qp
En la suma y en la multiplicación el
orden no altera el resultado.
Esto no aplica en la resta ni en la
división.
Distributiva
De la suma
p(q + r) = pq + pr
(q + r)p = qp + rp
Aquí la multiplicación distribuye a la
suma y puede extenderse a varios
números dentro del paréntesis
Identifica la propiedad en cada
enunciado:
1) 7 + 5 = 5 + 7
2) 3 + (5 + 2) = 3 + (2 + 5)
3) (6  3) 1 = 6 (3  1)
4) 5(3 + 2) = 5(3) + 5(2)
5) 7  1 = 7
6) 11 + 0 = 11
7) 9 + -9 = 0
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