RECTAS
Primera Parte
1
1. Introducción.
2. Pendiente o Inclinación.
3. Ecuación de una recta:
Punto - Pendiente.
Pendiente - Ordenada al
origen
Recta Horizontal.
Recta Vertical.
Forma General.
Aplicaciones
Introducción
Se acostumbra decir que :
* Una recta es el camino mas corto para ir de un lugar
a otro.
* Por dos puntos cualesquiera pasa una única recta.
* Una recta esta formada por un conjunto infinito de
puntos.
Para dibujar una recta no es preciso tener un plano
cartesiano
3
Introducción
Sobre esta recta observemos
Sobre esta otra recta observemos
La hormiga caminando sobre la recta de izquierda a derecha
podemos decir que esta bajando o descendiendo.
Si camina de derecha a izquierda decimos que esta subiendo o
ascendiendo.
La hormiga caminando, sobre la recta de izquierda a derecha,
está ascendiendo
Si camina de derecha a izquierda está descendiendo.
4
Introducción
En la recta horizontal no se presenta ninguno de los
casos anteriores es decir ni sube ni baja.
En la recta vertical la situación es diferente pues o sube o baja
Estas situaciones nos llevan a la necesidad de definir el
concepto de pendiente.
5
Pendiente o inclinación
Todos alguna vez hemos tenido la experiencia de subir y bajar
las montañas, de viajar por carreteras más o menos empinadas,
de caminar por terrenos planos, de subir y de bajar escaleras y
hemos observado que el esfuerzo que tenemos que realizar para
efectuar estas actividades es mayor o menor de acuerdo con el
grado o pendiente del recorrido.
6
Es importante tener en cuenta que cuando subimos o
bajamos, avanzamos tanto horizontal como verticalmente.
Si se tiene una escalera por la cual ascendemos o descendemos,
el grado de inclinación o pendiente de esta se puede calcular por
medio de la razón
Pen dien te 
A ltu ra d e l p e ld a ñ o
Ancho del peldaño
7
Pendiente
Pendiente

Altura
Ancho
del peldaño
del peldaño
30 cm
Pendiente

30 cm
40 cm
40 cm
Pendiente

3
4
8
Sentido de la Pendiente
30 cm
30 cm
40 cm
R a z o n d e d e spla z a m ie n to 
3
4
40 cm
R a z ó n d e d e spla z a m ie n to 
Al comparar las dos escaleras el grado de inclinación
de las dos es el mismo.
3
4
Sin embargo, la dirección del desplazamiento no es
la misma.
Es preciso definir el sentido del
desplazamiento
9
Sentido del Desplazamiento
Sobre el plano cartesiano, se tienen movimientos:
*horizontales a la derecha, tienen sentido positivo
+
* horizontales a la izquierda, tienen sentido negativo
-
* verticales arriba, tienen sentido positivo +
* verticales abajo, tienen sentido negativo
y
Pendiente
positiva
3
y
-
4
Pendiente
negativa
-
2
+
1
-1
2
3
4
4
-
-
3
2
+
+
1
x
+
1
-
5
1
x
2
3
4
5
-1
10
Pendiente de una Recta
DEFINICIÓN. La pendiente de
una recta que no es vertical y
que pasa por los puntos
P(x1,y1) y Q(x2,y2) es:
m
desplazami ento vertical
desplazami ento horizontal
Q
y2
y2-y1
P
y1
x2-x1
x2
x1
m 
y 2  y1
x 2  x1
m 
3
4
11
Pendiente de una Recta
Observemos la siguiente situación: En la gráfica, elegimos los
puntos P(1, 2) Q (3, 4) R( 4, 5) S(5, 6)
Hallemos m tomando P y Q:
S
R
m 
y 2  y1
4 2

1
x 2  x1
31
Ahora tomando R y S:
m 
Q
m =1
P
y 2  y1
65

1
x 2  x1
54
12
Pendiente de una Recta
CONTINUACIÓN
P(1, 2)
Q (3, 4) R( 4, 5) S(5, 6)
S
R
¿Qué sucede si
tomamos Q y S?
Q
P
m 
y 2  y1
65

1
x 2  x1
54
Como podemos ver: El valor de la pendiente de una recta es
único, independientemente de los puntos que se elijan para
calcularla.
13
Pendiente de una Recta
Ejemplo 1: Hallar la pendiente de la recta que contiene
los puntos (-1,-2) y (-2,-4).
m 
desplazam ien to vertical
m=2
desplazam ien to h orizon tal
y 2  y1
2
m 

2
x 2  x1
1
Observaciones:
El valor de la pendiente es positiva.
•Al aumentar los valores en x
aumentan los valores en y, en este
caso diremos que la recta es
creciente.
14
Pendiente de una Recta
Ejemplo 2: Hallar la pendiente de la recta que
contiene los puntos (1,-2) y (2,-4).
m 
m 
desplazam ien to vertical
desplazam ien to h orizon tal
y 2  y1
x 2  x1

42
2 1
 2
Observaciones:
• El valor de la pendiente es negativa.
•Al aumentar los valores en x disminuyen
los valores en y en este caso diremos que
la recta es decreciente
m= -2
15
Pendiente de una Recta
Ejemplo 3: Hallar la pendiente de la recta
que contiene los puntos (1,2) y (3,2).
m 
m 
desplazam ien to vertical
desplazam ien to h orizon tal
y 2  y1
x 2  x1

22
3 1

0
 0
2
Observe que: La recta es
horizontal, es decir, es paralela
al eje x. No es creciente ni
decreciente.
16
Pendiente de una Recta
Ejemplo 4: calcular la pendiente de una recta que pasa por
los puntos (3, 2) y (3, -3)
m 
desplazam ien to vertical
desplazam ien to h orizon tal
m 
y 2  y1
x 2  x1

2  (  3)
33

5
0
•La división por 0 no está
definida, luego la pendiente
no está definida.
Observaciones: La recta es vertical, es decir, es
paralela al eje y. No es creciente ni decreciente.
17
Ejemplo 5.
Hallar la pendiente de la recta mostrada en la gráfica:
Un desplazamiento de 3
unidades en y en sentido
negativo y 5 unidades en
x en sentido positivo
m 
desplazam ien to vertical
desplazam ien to h orizon tal
m
3
5
18
… Resumiendo
Recta
creciente
si x 1  x 2 entonces
No es
creciente ni
decreciente
m>0
y1  y 2
m=0
si x 1  x 2 en ton ces y 1 = y 2
m<0
Recta
decreciente
si x 1  x 2 entonces
y1  y 2
m no esta
definida
x1 = x 2
y1  y2
19
En el plano hay infinitas rectas con pendiente 3/2.
Un desplazamiento
de 2 unidades en la
coordenada x en
sentido positivo es
acompañado por un
desplazamiento de 3
unidades en la
coordenada y en
sentido positivo.
m 
3
2
20
En el plano hay infinitas rectas con pendiente -1/4.
m  
1
4
Un desplazamiento de 4 unidades en la coordenada x en
sentido positivo es acompañado por un desplazamiento
de 1 unidad en la coordenada y en sentido negativo.
21
Observemos la siguiente situación:
Todas las rectas mostradas tienen pendiente 2.
Si se quiere determinar
específicamente una
recta, además de la
pendiente se debe
conocer un punto de la
recta.
22
Ecuación de una recta
Tomemos una recta L con pendiente m y que pasa por
el punto  x 1 , y 1 
Si (x,y) es cualquier otro
punto sobre la recta,
( x, y )
( x, y )
( x, y )
( x1, y1 )
la pendiente de la recta
determinada por  x,y  y  x1 ,y 1  es :
m 
y  y1
x  x1
p a ra x  x 1
Multiplicando a ambos lados
por  x  x 1  obtenemos:
m  x  x1   y  y1
Forma Punto-Pendiente
23
Ejemplo 6:
Encontrar la ecuación de una recta que tiene pendiente 2/5
y pasa por el punto (-2,-1) utilizando Punto-Pendiente:
m  x  x1   y  y 1
( x1 , y1 )  (  2,  1)
m
2
5
Sustituyendo en la ecuación:
2
5
x  2  
y 1
24
Ecuación de una recta
Pendiente-Ordenada al origen
Encontrar la ecuación de la recta con pendiente m y su
intercepto con el eje y (ordenada al origen) es b
m  x  x1   y  y1
m x  0   y  b
(0,b)
Despejando y:
y  mx  b
25
Ejemplo 7
Encontrar la ecuación de una recta que tiene pendiente -3/4 y
pasa por el punto (0,3), utilizando Pendiente-Intersecto:
y=mx + b
Tenemos m=-3/4 y b=3,
Luego:
y
3
x3
4
26
Ejemplo 8:
Determinar la ecuación de la recta mostrada en la gráfica:
La pendiente es positiva ya
que la recta es creciente.
El punto de intersección con
el eje y es (0,2), luego
b=2
Un desplazamiento de 3
unidades a la derecha en x
corresponde a un
desplazamiento de 2 unidades
hacia arriba en y, luego m=2/3
y
2
3
x2
27
Ecuación de una recta horizontal
Si la recta es horizontal, su pendiente es m=0
y  mx  b
reemplazando en la ecuación tenemos:
y  0x  b
y b
Ejemplo 9
Hallar la ecuación de
una recta horizontal que
pasa por el punto (2,3)
3
b=3
2
y=3
28
Ecuación de una recta vertical
Si la recta es vertical la pendiente no está definida pero
podemos expresar su ecuación como x=a, donde a es la
intersección con el eje x
La abscisa x de cada uno de los puntos sobre la recta es a.
Todos los puntos de la recta son de la forma (a, y).
xa
Ejemplo 10
Hallar la ecuación de una
recta vertical que pasa
por el punto (-2,3)
a= -2
x= -2
29
Ecuación general de una recta
Toda ecuación lineal en dos variables Ax + By + C=0 (A, B no
son simultáneamente 0) es una recta y cada recta es la
gráfica de una ecuación lineal en dos variables.
Ejemplo 11: La ecuación -3x+2y-5=0 es una ecuación lineal
con A= -3, B= 2 y C= -5.
Si despejamos y en la ecuación obtenemos:
y
3
2
x
5
2
Que es una ecuación de la forma y=mx+b con:
m 
3
2
y
b
5
2
30
Ecuación general de una recta
Continuación:
La gráfica corresponde a una línea recta
y
3
x
2
b 
5
2
m 
5
2
3
2
31
Ecuación de una recta
Forma General
La ecuación de una recta de la forma y=mx+b es una
ecuación lineal de la forma Ax+By+C=0:
Ejemplo 12:
Escribir la ecuación y= -3x + 1 de la forma Ax+By+C=0
Igualando a 0 obtenemos: 3x+y-1=0, luego A= 3, B= 1, C= -1
Ejemplo 13:
Escribir la ecuación de la recta vertical x=3 de la forma
Ax+By+C=0.
Igualando a 0 obtenemos x – 3 =0, en donde A= 1, B =0 y C= -3.
32
Ejemplo 14
Hallar la pendiente y la intersección con el eje y de la recta
2x-5y=3
Escribimos la ecuación de la forma y=mx+b, para ello
despejamos y:
y
3  2x
5

y
2
x
5
Luego, m=2/5 y b=-3/5
3
5
7 5
2
3 5
5
33
Problema
Una pequeña empresa compra un computador en
$1.800.000. Después de cuatro años, el valor esperado del
computador será de $500.000. Para cuestiones de
contabilidad, la empresa aplica la depreciación lineal para
evaluar el valor del computador en un tiempo dado. Si V es
el valor del computador en un tiempo t, determinemos una
ecuación lineal para relacionar V y t.
Consignemos la información dada en la siguiente tabla:
t (tiempo en años)
0
4
V (valor en pesos)
1800000
500000
34
Veamos la gráfica correspondiente:
V (en millones)
Pendiente
y
m 
1.8
y 2  y1
x 2  x1

1800000  500000
04
m   325000
Ecuación
y  mx  b
0.5
V   325000 T  1800000
x




t (tiempo en años)
V (valor en pesos)



0


4
1800000 500.000

T
Qué representa la
pendiente?
La depreciación
anual.
35
Veamos la gráfica correspondiente:
V (en millones)
Qué representa la
intersección con el
eje V de la gráfica?
y
El valor inicial del
computador.
1.8
0.5
x









T

¿cuál es el valor del
computador 3 años
después de la
compra?
V   325000 T  1800000
t (tiempo en años)
0
4
V (valor en pesos)
1800000
500000
V   325000 ( 3 )  1800000
V  $ 825000
36
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