VECTORES EN EL
PLANO
1
Magnitudes escalares y
vectoriales
¿Cuánto vale una camisa? ¿Qué grosor tiene un cristal? ¿Cuál es la
altura de un niño? ¿Qué capacidad tiene una jarra?
Todas estas preguntas tienen por respuesta un número y una unidad
de medida.
Sin embargo, si hablamos del viento no basta con una cantidad que exprese su
intensidad, necesitamos su dirección y su sentido.
Estamos ante dos tipos de magnitudes:
• Las magnitudes escalares, para cuya determinación se necesita un
número que exprese su medida.
• Las magnitudes vectoriales, como la velocidad de un móvil, el
viento, la fuerza, la gravedad,…, que necesitan determinar su
intensidad, dirección y sentido.
2
VECTORES EN EL
PLANO
•
VECTOR FIJO
•
VECTORES EQUIPOLENTES
•
COMPONENTES DE UN VECTOR
•
VECTOR LIBRE
•
SUMA DE VECTORES LIBRES
•
PRODUCTO DE UN VECTOR POR UN ESCALAR
3
Vectores en el plano
•
Llamaremos vector
extremo B,
fijo de origen A y
A
al segmento orientado que va
de A a B. Lo indicaremos con
• Llamaremos módulo
π
B
AB
del vector
a la longitud del segmento AB.
• Su dirección será la de la recta determinada por los puntos A y B.
• Su sentido es el que va de A a B.
•
Diremos que dos vectores son
equipolentes (equivalentes) si tienen el
mismo módulo dirección y sentido
4
Componentes de un vector
Llamamos COMPONENTES de
un vector al par de números
reales
.
B =(b1,b2)
v2 =(b2 – a2)
A =(a1,a2)
.
v (v
1
,v2 )
Dado el vector fijo AB ,
hallamos sus componentes
restando las coordenadas del
extremo menos las del origen
AB (v
1
, v 2 ) (b
1
 a 1, b 2  a 2 )
v1 =(b1 - a1)
Si A =(-2,2) y B =(3,-1), las
componentes del vector
serán:
A =(-2,2)
B =(3,-1)
AB (3
(-2),-1
 2) (5,-3)
5
Módulo de un vector
Dado el vector con origen en A(a1,a2)
y extremo en B (b1,b2), su módulo es
la longitud del segmento AB (o del
BA):
B
b2
Basta aplicar el Teorema de Pitágoras:
d  A ,B   A B 
b2- a2
 b1
 a1 
2
 b 2  a 2
Y en general para cualquier vector
a2
A
v 
b1- a1
a1
2
v1  v 2
v (v

2
1
,v2 )
2
b1
Por ejemplo, el módulo siendo A(-3,8) y B(3,5):
d  A,B   AB 

 3   3     5  8  
2
45  3 5 u
2
6   3  
2
2
6
Vectores libres
•
• Fijado un vector AB y un
punto C, existe un vector
equipolente a AB con origen
A
en C
Si dos vectores fijos son
equipolentes, al unir sus
orígenes y sus extremos se
forma un paralelogramo
A
AB  CD
B
C
D
Se lee: “El vector AB es
equipolente al CD
B
C
D
Llamaremos vector libre al
conjunto de vectores
equipolentes (equivalentes)
a uno dado
Se lee: “ el vector libre u está formado por todos
los vectores equipolentes a AB
7
Vectores libres del plano
v
u
El vector libre u es el
conjunto de vectores
equipolentes
(equivalentes) a uno dado.
Análogamente v, w,…
w
Todos los vectores
equipolentes a uno dado tienen
las mismas componentes.
NOTA: Indicaremos los vectores en negrita o con una flecha sobre la letra(s) correspondientes
8
Vector de posición de un
punto
De todos los vectores equipolentes a uno dado
(representantes del mismo vector libre)
el más fácil de representar es aquel que tiene origen en el
origen de coordenadas, punto O(0,0)

Ejemplos
u 

v 

5
3 ,4 
,- 2
Las componentes del vector
coinciden con las coordenadas
del punto que es su extremo.

u

v
9
Suma de vectores
libres
u
GEOGEBRA
La suma de dos vectores libres es otro
vector. Decimos que la suma de vectores
libres es una operación interna:
v
 u, v V2
Podemos emplear también la ley del
paralelogramo:
Para sumar dos vectores:
- Fijado un punto O del plano,
construimos un vector OA que sea
representante de u ; después AB
equivalente al vector v . El vector OB
se llama vector suma
O
u
- Fijado O, construimos un vector OA
representante de u y OC de v. Siendo
éstos dos lados consecutivos de un
paralelogramo, lo completamos y el vector
OB será el vector suma
A
w
u  v V2
u
O
v
w
v
B
A
C
B
10
Propiedades de la suma de
vectores
GEOGEBRA
La suma de vectores tiene las siguientes propiedades

La suma de dos vectores libres es operación interna:
 u, v V2
 Es asociativa:
 u , v , w V 2
 Existe elemento neutro:
u  v V2
u  v   w  u   v  w 
 0  V2
 u  V2
u0u

Es el vector nulo. Su representación es
cualquier punto del plano
 Existe elemento opuesto:
 u  V2
  u  V2
u   u   0
0  0,0 

 u    u 1,  u 2 
El vector opuesto de u tiene la misma
dirección y módulo que u pero sentido
contrario
u
u
 Es conmutativa:
 u , v  V2
uv vu
11
Propiedades conmutativa y
asociativa de la suma
u
v
u
v
uv
w
(u  v )  w
vw
u  (v  w )
w
u
v
vu
uv
v
u
Propiedad asociativa:
u  v  w  u  v  w 
Propiedad conmutativa:
u v  v u
12
Suma y resta de
vectores
v
u
Podemos emplear también la ley del
paralelogramo:
La diferencia entre los vectores
u y v es igual a la suma de u
con el opuesto de v
 
uv u v
 
u v
-El vector CA (la otra diagonal) es el vector
resta u – v (vector que va del extremo de v al
extremo de u, en este orden)
-NOTA: El vector v-u es el opuesto u-v (vector
que va del extremo de u al extremo de v, en
este orden)
v
v
u
O
-El vector OB (diagonal del paralelogramo) es el
vector suma u+v, y
A
u
u
uv
v
uv
uv
O
v
B
C
u
uv
A
v
13
Suma de vectores
en función de sus componentes
Sean

Si los vectores son:
w (2,2)
uw
w
u
w

Para sumarlos gráficamente
construimos el paralelogramo
O simplemente encadenamos
los vectores
uw
u
14
Resta de vectores
en función de sus componentes
Sean
La resta es la suma del opuesto:
Como
 w (-w
,-w2 )
1

uw
-w
u
w

Si los vectores son:
u w
w

uw
w (2,2)
u
15
Producto de un vector
por un escalar
El producto de un vector por un escalar
es otro vector.
u
2u
 u V2
3u
3
u
2
u
Opuesto de u
  R
 u V2
El producto de un vector u por un escalar λ es otro
vector que tiene la misma dirección que u, igual
sentido u opuesto según sea λ positivo o negativo, y
cuyo módulo es el producto del módulo de u por el
valor absoluto de λ
dirección u  dirección u

5
2

 sentido u
sentido u  

opuesto sent . u
u
si   0
si   0
u    u
16
Producto de un vector por un escalar
 u V2
 λ R
λ u V2
Sea
Para multiplicar un vector por un número real, se
multiplica el número real por cada componente del vector
Ejemplo
VECTOR
OPUESTO
Si
u
Si
u
2u
17
Combinación lineal
de vectores
u
v
Dados dos vectores u, v y
dos números λ y µ, el vector
λ u + µ v se dice que es una
combinación lineal de u y v
Cualquier vector w se puede
poner como combinación
lineal de dos vectores u, v
no nulos y no paralelos.
Existen dos números λ y µ,
tales que w= λ u + µ v
u
u  v
v
w
v
u
18
Combinación lineal de vectores
Sean los vectores
Definimos un tercer vector w como combinación
lineal de u y v:
Ejemplo:
2u
w
u
v
19
Combinación lineal de vectores
Otro ejemplo:
Con los mismos vectores
Pero con distintos coeficientes
2u
w
u
v
-v
20
Hoja de problemas con soluciones:
http://www.educa.aragob.es/iesitaza/DAPARTAM/matemat/06geo
metriaplano.pdf
Teoría y ejercicios:
http://personales.unican.es/gonzaleof/#
Maneja vectores:
http://www.xtec.es/~jbartrol/vectores/index.html
http://platea.pntic.mec.es/anunezca/UnidDidVectores/Index/index.htm
21
Propiedades de la
dependencia lineal.
Base del plano
v
- Si dos vectores v y w distintos de 0 son linealmente
dependientes, tienen la misma dirección.

Si S  v , w

es ligado  v   w lo que quiere decir que tienen
- Dos vectores v y w no nulos con dirección
distinta forman siempre un sistema libre.
u1
w
u1
u2

S  u1, u 2

u2
w  u1  u2
v
w  v
lamisma
dirección
w  v
- En el plano, fijado un sistema S de
dos vectores linealmente
independientes , cualquier otro
vector w es combinación lineal de S
Este sistema S libre se llama BASE
del plano y los escalares que sirven
para formar las combinaciones
lineales son las componentes de los
vectores: w = ( λ, μ )
22
Bases del
plano

B  u1 , u2

Dos vectores no nulos y no paralelos constituyes una BASE del plano.
Cada vector del plano tiene unas únicas componentes respecto a una
determinada base.
u1
u1
u2
BASE
u1
u2
u2
BASE ORTOGONAL:
BASE ORTONORMAL:
Los vectores de la
base son
perpendiculares
Los vectores de la
base son
perpendiculares y de
módulo 1
23

Bases del plano
B  u1 , u2

Un vector tiene distintas componentes si cambiamos la base
BASE ORTOGONAL:
BASE
u(1,1)
u2
BASE ORTONORMAL:
u(1' 2, 0 ' 9 )
u2
u2
u1
u(2, 0 ' 6 )
u1
u1
Con unas mismas componentes, el vector no es el mismo si cambiamos la base
v (1,1)
u(1,1)
u2
u2
u2
u1
w (1,1)
u1
u1
24
Vectores linealmente dependientes
Si dos vectores son linealmente dependientes, sus componentes son
proporcionales.
Sean v=(v1 ,v2) y w=( w1 , w2) dos vectores en el plano
v
Si
son linealmente independientes
25
EL PLANO AFÍN
• TRES PUNTOS ALINEADOS
• PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO
• SIMÉTRICO DE UN PUNTO
RESPECTO DE OTRO
26
Condición para que tres puntos
estén alineados
R
Q
Tres puntos P(p1,p2), Q(q1,q2) y R(r1,r2)
están alineados si:
P
PR  PQ
 r1  p 1, r2
 p 2     q 1  p 1, q 2  p 2 
 r1  p 1,r2
 p 2      q1  p 1  ,   q 2  p 2  
r1  p 1    q 1  p 1  


r2  p 2    q 2  p 2  

R
Si dos vectores son
linealmente dependientes,
sus componentes son
proporcionales.
P
r1  p 1

  
q1  p 1


r2  p 2
 

q2  p 2
r1  p1
q1  p1
Q

r2  p2
q2  p2
P
27
Punto medio de un segmento
Q
Si M(x,y) es el punto medio de dos
P(p1,p2) y Q(q1,q2):
M
P


PQ  2 MQ
q1  p 1  2  q1  x  


q2  p 2  2  q2  y 

2 x  2 q1  q1  p 1 

2 y  2q2  q2  p 2 
 q 1  p 1, q 2
 p 2   2  q 1  x, q 2  y 
q1  p 1  2 q1  2 x 

q2  p 2  2q2  2 y 
q1  p 1 

2

q2  p 2 
y 

2
Por análogo
procedimiento
podremos hallar
las coordenadas
de los puntos
que dividen un
segmento en
partes iguales
x 
 q  p1 q2  p2 
M  (x, y)   1
,

2
2


M(x,y) es el punto medio
de P(p1,p2) y Q(q1,q2):
28
Simétrico de un punto respecto a
otro
Q
Para hallar el simétrico P’(x,y) de un
punto P(p1,p2) respecto a Q(q1,q2):
P
PP'  2PQ
x
O bien:
 p 1, y  p 2   2  q 1  p 1, q 2  p 2 
x  p 1  2  q1  p 1  


y  p 2  2  q2  p 2 

x  2 q 1  2p 1  p 1  x  2q 1  p 1 


y  2 q 2  2p 2  p 2  y  2q 2  p 2 
Q(x, y)   2q1  p1,2q2  p2 
P’
Q es el punto medio de PP’:
 q 1, q 2  
 x  p1 y  p 2 
,


2
2


x  p1 


2

y  p2 


2

q1 
q2
2q 1  x  p 1 

2q 2  y  p 2 
x  2q 1  p 1 

y  2q 2  p 2 
29
Ecuaciones de la recta
•
•
•
•
ECUACIÓN VECTORIAL
ECUACIONES PARAMÉTRICAS
ECUACIÓN CONTÍNUA
ECUACIÓN GENERAL , IMPLÍCITA O
CARTESIANA
• ECUACIÓN EXPLÍCITA
• CONDICIÓN DE PARALELISMO ENTRE RECTAS
30
Ecuaciones de la recta(1)
Para determinar una recta r necesitamos:
r
v
• Un punto de la recta y una
dirección
A
B
r
• Dos puntos de la recta
A
31
Ecuación vectorial de la recta
r
X(x,y)
v
A(a1,a2)
a
x
Sea A el punto de
coordenadas A(a1,a2) y v un
vector de componentes (v1,v2)
Vamos a determinar la ecuación de una
recta r que pasa por el punto A y tiene por
dirección v (vector direccional de la recta)
O
Sea X(x,y) un punto genérico de la recta
OX  OA  AX
x  a  v
ECUACIÓN
VECTORIAL DE
LA RECTA
x, y   a1, a2   v1, v 2 
Nota: Dando valores al parámetro λ se obtienen los distintos puntos de la recta
32
Ecuaciones de la recta
r que pasa por el
punto A(a1,a2) y cuyo vector direccional es
v=(v1,v2)
Dada la ecuación vectorial de la recta r:
x, y   a1, a2   v1, v 2 
Multiplicando por el escalar:
 x, y 
  a 1, a 2     v 1,  v 2 
Sumando:
 x, y 
  a 1   v 1, a 2   v 2 
Igualando componentes:
x  a1  v1 
Despejando

y  a 2  v 2 
el parámetro
e igualando:
ECUACIONES PARAMÉTRICAS
DE LA RECTA
x  a1 
v 1 

y  a2 
 
v 2 
 
x  a1
v1

y  a2
v2
ECUACIÓN CONTÍNUA DE LA RECTA
Multiplicando y pasando todo al primer miembro de la igualdad: v  a
2
v 2 x  v 1 y  v 1a 2  a 1v 2  0
Tenemos:
ax  by  c  0
Si llamamos:
v1  b
v 1a 2  a 1v 2  c
ECUACIÓN GENERAL DE LA RECTA
33
Ecuaciones de la recta
r que pasa por el
punto A(2,-3) y cuyo vector direccional es v=(5,1)
Dada la ecuación vectorial de la recta r:
 x, y    2,  3     5,  1
Multiplicando por el escalar:
 x, y 

 x, y 
Sumando:
Igualando componentes:
x  2  5 
Despejando

y  3   
el parámetro
e igualando:
x 2
5 

y 3
 
 1 
 
ECUACIONES PARAMÉTRICAS
DE LA RECTA

 2,  3    5  ,   
 2  5 ,  3   
x2
5

y3
1
ECUACIÓN CONTÍNUA DE LA RECTA
Multiplicando y pasando todo al primer miembro de la igualdad:
 x  5 y  2  15  0
Tenemos:
x  5y  13  0
ECUACIÓN GENERAL DE LA RECTA
34
Ecuaciones de la recta
r que pasa por el
punto A(a1,a2) y cuyo vector direccional es
v=(v1,v2)
Ecuación vectorial :
x, y   a1, a2   v1, v 2 
x  a1  v1 

Ecuaciones paramétricas :
y  a 2  v 2 
Ecuación contínua :
x  a1

v1
y  a2
v2
Ecuación general, cartesiana o implícita :
ax  by  c  0
Como
v2  a 
 v   v 1, v 2     b, a 
v1  b 
35
Ecuaciones de la recta que pasa por
dos puntos.
Ecuación de r que pasa por los puntos A(a1,a2) y B(b1,b2)
Su vector direccional puede ser
r
P(x,y)
v r  AB  b1  a1,b2  a2 
B(b1,b2)
Sustituyendo en la ecuación contínua de la recta r:
x  a1

v1
y  a2
A(a1,a2)
v2
P(x,y)
x  a1
b1  a1
B(b1,b2)

y  a2
b2  a2
A(a1,a2)
ECUACIÓN DE LA RECTA QUE
PASA POR DOS PUNTOS
36
CONDICIÓN DE PARALELISMO
ENTRE RECTAS
Sean vr y vs los vectores direccionales de dos rectas r y s paralelas.
r
vr
Si dos rectas r y s son paralelas, también
lo son sus vectores direccionales:
s
r // s  vr // v s  v r   v s 
vs
v r   v r1, v r 2 
v s   v s1, v s 2 
(Sus componentes

serán proporcionales)
 v r 1, v r 2     v s1, v s 2  

 v r 1, v r 2     v s1,  v s 2 

v r1
v s1

 v r 1   v s1
 
 v r2  v s2
vr 2
v s2
37
CONDICIÓN DE PARALELISMO ENTRE RECTAS
r
Sean dos rectas r y s
dadas de diferentes
formas:
vr
v s   v s1, v s 2 
vs
r // s  vr // v s 
E
C
U
A
C
I
Ó
N
vectorial
Serán
paralelas si:
r 
 x, y 
  a 1, a 2     v r 1, v r 2 
s 
 x, y 
  b 1, b 2     v s1, v s 2 
paramétricas
 x  a1   v r1
r  
y  a2  vr2
contínua
r 
x  a1
v r1

y  a2
vr2
r  AxByC  0
general
v r   v r1, v r 2 
s
 v r 1, v r 2     B, A 
 v s1, v s 2     B ', A ' 
 x  b 1   v s1
s  
 y  b 2  v s2
s 
x  b1
v s1

v r1
vr 2

v s1
v s2
y  b2
v s2
A
s  A 'x  B'y  C'  0
A'
Coincidirán si se
cumple:
A
A'

B

B'
B
B'

C
C'
38
PRODUCTO ESCALAR DE DOS VECTORES
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
DEFINICIÓN
PROPIEDADES
MÓDULO DE UN VECTOR
ÁNGULO QUE FORMAN DOS VECTORES
ÁNGULO QUE FORMAN DOS RECTAS
CONDICIÓN DE PARALELISMO Y
PERPENDICULARIDAD ENTRE RECTAS
POSICIÓN RELATIVA DE DOS RECTAS
PENDIENTE DE UNA RECTA
ECUACIÓN PUNTO-PENDIENTE DE LA RECTA
DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA.
HAZ DE RECTAS
39
Producto escalar
de dos
vectores(1)
v

u
Dados dos vectores u y v llamaremos producto escalar de u por v al número
real que resulta:

u  v  u  v  cos u, v

Producto de los módulos por el
coseno del ángulo que forman
PROPIEDADES DEL PRODUCTO ESCALAR
1. S i u  0 ó
2. S i u  v
v  0
 uv  0
3. S i u  v  0
4.
y
u  0, v  0
u  v  v  u ,  u, v  V 2

 u  v
Si dos vectores son perpendiculares,
su producto escalar es cero. (cos 90º=0)

u v  w
  
  u v u w ,
Si el producto escalar de
dos vectores no nulos es
cero, son perpendiculares
Propiedad conmutativa
a u  v  au  v ,  u, v  V 2 ,  a  R
5.
6.
 uv  0
(El módulo del vector nulo es 0).
El producto del vector nulo
por otro cualquiera es 0
 u, v,w  V 2
Propiedad “asociativa”
Propiedad distributiva
40
Propiedades del producto escalar
 
 
u  v  u  v  cos u,v
7.
u   uu
8.
Si una base
B
u  u  u  u  cos u,u  u
2
El módulo de un vector es igual a la raíz cuadrada del producto
escalar de dicho vector consigo mismo.
(Los vectores de la base son
= { u1,u2} es ortonormal perpendiculares y unitarios)
u1  u2  0
u
1
 u2

u

u
1
 u 2  u1  u 2 c o s 9 0 º  0
u 1  u 1  u 1  u 1 cos 0 º  u 1
u1  u1  1
9.
(2)
u2  u 2  1
2
2
1
 u 2  u 2  u 2 cos 0 º  u 2
2

1


El producto escalar de dos vectores es igual al producto de
uno de ellos por el vector proyección del otro sobre él
v

v'
u
u  v  u  v  cos 
u  v '  u  v '  cos0º
uv  u  v'
uv'  u  v'
uv  uv'
41
Expresión analítica del producto escalar
Sea una base
x  x 1, x 2 
B = { u1,u2}
ortonormal y sean dos vectores
 x  x 1u1  x 2 u 2
y  y 1, y 2   y  y u  y u
1 1
2
2


(Los vectores de
la base son
perpendiculares
y unitarios)


  x  y  x 1u1  x 2 u 2  y 1u1  y 2 u 2 











x  y   x 1y 1  u1  u1   x 2 y 1  u1  u 2   x 1y 2  u1  u 2   x 2 y 2  u 2  u 2 
  x 1y 1  u1
2


  x 2 y 1  x 1y 2  u1  u 2   x 2 y 2  u 2
2

Como la base
es ortonormal
  x 1y 1   1   x 2 y 1  x 1y 2   0   x 2 y 2   1 
 x 1y 1  x 2 y 2
x  y  x1y1  x 2 y 2
x   x  x   x1  x 2
2
2
Expresión del producto
escalar de dos
vectores y del módulo
de un vector si la base
es ortonormal
42
Expresión analítica del producto escalar
Sea una base
x  x 1, x 2 
B = { u1,u2}


  x  y  x 1u1  x 2 u 2  y 1u1  y 2 u 2 



 x  x 1u1  x 2 u 2
y  y 1, y 2   y  y u  y u
1 1
2
2

(Los vectores de
la base son
perpendiculares)
ortogonal y sean dos vectores









x  y   x 1y 1  u1  u1   x 2 y 1  u1  u 2   x 1y 2  u1  u 2   x 2 y 2  u 2  u 2 
  x 1y 1  u1
2
  x 1y 1  u1
2
  x 1y 1  u1
2


  x 2 y 1  x 1y 2  u1  u 2   x 2 y 2  u 2
  x 2 y 1  x 1y 2   0   x 2 y 2  u 2
  x 2y 2  u2
2
x  y  x1y1 u1  x 2 y 2 u2
x   xx   x

Como la base
es ortogonal


2
2
1
2
2
2
2
u1  x 2 u2
2
2
Expresión del producto
escalar de dos
vectores y del módulo
de un vector si la base
es ortogonal
43
Expresión analítica del producto escalar
B = { u1,u2}
Sea una base cualquiera
x  x 1, x 2 
 x  x 1u1  x 2 u 2
y  y 1, y 2   y  y 1 u 1  y 2 u 2


y sean dos vectores

  x  y  x 1u1  x 2 u 2  y 1u1  y 2 u 2 










x  y   x 1y 1  u1  u1   x 2 y 1  u1  u 2   x 1y 2  u1  u 2   x 2 y 2  u 2  u 2 
  x 1y 1  u1
2
x  x   x 1x 1  u1
2




  x 2 y 1  x 1y 2  u1  u 2   x 2 y 2  u 2
  x 1y 1  x 1y 1  u 1  u 2   x 2 x 2  u 2

2
2

2

x  y   x1y1  u1   x 2 y1  x1y 2  u1  u2   x 2 y 2  u2
x 
xx  
 x1
2


 u1  2x1y1 u1  u2   x 2
2
2
 u2
2
2
Expresión del producto escalar de dos vectores y del módulo de un
vector en una base cualquiera
44
Coseno del ángulo de dos vectores

x  y  x  y  cos x, y

 co s  
xy
x  y
En una base ortonormal o canónica :
cos 
xy
xy

x1y1  x 2 y 2
x1  x 2  y1  y 2
2
2
2
2
Expresión del coseno del
ángulo que forman dos
vectores si la base es
ortonormal.
Si dos vectores son perpendiculares :
x  y
 xy 0
 x1y1  x 2 y 2  0
Dado un vector u (a,b), un vector perpendicular podría ser v(-b,a) y
viceversa:
a(-b)+ba=0
A partir de ahora trabajaremos solamente con bases ortonormales
45
Ángulo que forman dos
rectas.
r
s
vr
vs
r,s   
v r   v r1, v r 2 
v s   v s1, v s 2 
Se llama ángulo de dos rectas al menor de los ángulos
que forman éstas. Lo podemos calcular a partir del
ángulo que forman sus vectores direccionales
cos  
Valor absoluto de un número real
vr  v s
Módulo de un vector
vr v s
Al tomar un valor positivo, el ángulo será agudo (el menor de los ángulos que forman)
Posición relativa de dos
rectas.
Secantes
Dos rectas en el
plano pueden ser:
Paralelas no coincidentes
Coincidentes
46
Ecuación explícita de una
recta. Pendiente de una
recta
Si en la ecuación
general de la recta r,
despejamos y:
v r   v 1, v 2     B, A 
tg  
A
B
n
1
1
vr
1
m
A
B

A
B
r
m
y  
x
C
B
Si llamamos:
m
m
r  AxByC  0
m

C
n
B
La ecuación explícita
de la recta será:
y  mx  n
m nos indica la pendiente de la recta y
α
-B
A
n la ordenada en el origen
(Para x=0, y=n)
47
Ecuación punto-pendiente.
Pendientes de dos rectas paralelas o perpendiculares.
Para hallar la ecuación punto-pendiente de un recta r, conocida
su pendiente m y un punto P(x0,y0) perteneciente a ella:
Ponemos la ecuación de la recta en función de la pendiente:
y=mx+n
Falta determinar n ( m ya lo conocemos)
y0 = m x0 + n
La recta debe pasar por P(x0,y0)
y - y0 = m (x - x0 )
Restando ambas expresiones:
P2(x2,y2)
Para hallar la pendiente de una recta
conocidos dos de sus puntos:
y2-y1 = v2
P1(x1,y1)
x2-x1 = v1
m  tg  
y 2  y1
x 2  x1

v2
v1
48
Condición de paralelismo
y perpendicularidad entre rectas
Dada la ecuación de
una recta r:
y=mx+n
Vector
direccional
r y=mx+n
E
C s y=m’x+n’
U
A
C r Ax+By+C=0
I
Ó
s A’x+B’y+C’=0
N
v r  (1,m )
v s  (1, m ')
v r  (  B, A )
v s  (  B ', A ')
m'  
1
m
mx-y+n=0
Serán
paralelas si:
m  m'
A
A'

B
B'
v r  (1,m )
Serán
perpendiculares
si:
1 mm'  0
AA ' BB'  0
Relación entre las pendientes de
dos rectas perpendiculares
49
DISTANCIAS
EN EL PLANO
•
•
•
•
DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS
DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA
DISTANCIA ENTRE DOS RECTAS PARALELAS
HAZ DE RECTAS
50
Distancia entre dos puntos
B
b2
La distancia entre dos puntos A(a1,a2)
y B (b1,b2) es el módulo del vector AB
(o del BA):
Basta aplicar el Teorema de
Pitágoras:
b2- a2
a2
d  A,B   A B 
A
 b1  a1 
2
 b 2  a 2 
b1- a1
b1
a1
Por ejemplo, la distancia entre los puntos A(-3,8) y el B(3,5):
d  A,B   AB 

 3   3     5  8  
2
45  3 5 u
2
6   3  
2
2
51
2
Distancia de un punto a una recta (1)
Recordemos que:
El producto escalar de dos vectores perpendiculares es cero
Un vector perpendicular al vector
v  x, y 
puede ser el vector
n   y, x 
Un vector direccional de la recta ax+by+c=0 es
(Su producto
escalar es cero)
v r  b,a 
Si un punto A(m,n) pertenece a la recta ax+by+c=0, verifica su ecuación.
Es decir: am+bn+c=0
La distancia es siempre una cantidad positiva.
El valor absoluto de un número es positivo e igual al de su opuesto
a  a  0
52
Distancia de un punto a una recta (2)
Vamos a hallar la distancia del punto P(x0,y0)
a la recta r de ecuación ax+by+c=0.
P

PQ
La distancia de un punto P a una recta r será
igual a la distancia de P al pie de la perpendicular a r que pasa por P (lo llamaremos Q)
r
A
d(P,r)=d(P,Q)=
Sea A(x1,y1) un punto cualquiera de la recta r.
vr
n
ax1+by1+c=0
Q
ax1+by1= -c
y v r  b,a  su vector direccional
El vector n  a,b  es perpendicular a la recta r
P A  n  P A  n  cos   n  P Q
 PQ 
PA  n
La distancia es
siempre una
cantidad positiva

n
 PQ 
 x 1  x 0 , y 1  y 0   a,b 
PQ 
a b
2
2
ax0  by0  c
a b
2
2

ax 1  ax 0  by 1  by 0
a b
2
2

 ax 0  by 0  c
a b
2
FÓRMULA DE LA DISTANCIA
DE UN PUNTO A UNA RECTA

2
53
Distancia de un punto a una recta
(Ejemplo)
GEOGEBRA
Vamos a hallar la distancia del punto P(-3,5) a la recta r de ecuación
x-3y+7=0.
d (P,r ) 
ax0  by0  c
a b
2
2

3  3  5  7
1   3 
2


1 9
2
11
10
En el numerador, basta con
sustituir las coordenadas del
punto P en la ecuación de la
recta
 3  15  7

11 10
10 10

11

10

11 10
u
10
En el denominador, la raíz
cuadrada de la suma de los
cuadrados de los coeficientes
de la x y la y
54
Distancia entre dos rectas paralelas
Para hallar la distancia entre dos rectas paralelas, bastará con hallar
la distancia de un punto cualquiera de una de ellas a la otra recta.
r
Sean r y s dos rectas paralelas:
Pr(x0,y0)
r  AxByC  0
s
s  A x By  C'  0
Sea Pr(x0,y0) un punto de la recta r, es decir: A x 0  B y 0  C  0
d  r, s   d  Pr , s  
Ax0  By0  C '
A B
2
2

C  C '
A B
2
2

C ' C
A B
2
2
55
Hoja de problemas con soluciones:
http://www.educa.aragob.es/iesitaza/DAPARTAM/matemat/06geo
metriaplano.pdf
Teoría y ejercicios:
http://personales.unican.es/gonzaleof/#
Maneja vectores:
http://www.xtec.es/~jbartrol/vectores/index.html
http://platea.pntic.mec.es/anunezca/UnidDidVectores/Index/index.htm
56
57
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MATEMÁTICAS