INFORMACION GENERAL DE OBJETO DE APRENDIZAJE
Tema
Competencia
Autor
Bibliografía
3.1 Concepto de derivada de una función
“La recta tangente y su relación con la derivada
de una función”
Interpretación geométrica del concepto derivada de una función para
la resolución de problemas sobre optimización relacionados al área de
Ingeniería
Ing. Fernando Félix Solís Cortés
El Cálculo, Louis Leithold
7ma Edición, Editorial Harla México
Facultad de Ingeniería Mexicali – Agosto 2009
Optimizado para Microsoft PowerPoint 2007
INICIO
Introducción a la Derivada
Antes de iniciar, es importante reflexionar…
Dónde estoy, y a dónde voy?
Fuerzas externas
que atacan
Posición actual
Dónde estoy?
Ej. Apatía, irresponsabilidad
distracciones, etc.
Introducción a la Derivada
Recordemos el camino trazado…
Unidad 1. Funciones de una variable
Unidad 2. Limites y continuidad
Unidad 3. La derivada
Unidad 4. Aplicaciones de la derivada
Pero, antes de iniciar veamos una
simple pregunta…
Y elanalizamos
Ya
También
tema que
funciones…
limites
iniciamos
de hoy
funciones…
es….
Introducción a la Derivada
“La pregunta del millón…”
( un minuto de silencio…)
Introducción a la Derivada
“La pregunta del millón…”
Si tenemos una función definida por
y x
2
La mayoría contestaría: “su derivada es: y   2 x ”
MUY BIEN!! ….. Pero……..
“memorizar términos matemáticos y no tener la mínima
idea de lo que significan, es equivalente a no saberlos..”
“las matemáticas no se memorizan… se deben razonar!!”
Introducción a la Derivada
Algunos conceptos básicos.
La recta secante
y la recta tangente
en términos
geométricos
Recta tangente
Recta secante
“es una recta que
intersecta un círculo
en dos puntos”
“es una recta que
tiene un punto en
común con un circulo”
Introducción a la Derivada
Algunos conceptos básicos.
Función original
La recta secante
y la recta tangente
en una función
Introducción a la Derivada
Algunos conceptos básicos.
La recta secante
y la recta tangente
en una función
Función original
Recta secante
Introducción a la Derivada
Algunos conceptos básicos.
La recta secante
y la recta tangente
en una función
Función original
Recta tangente
Introducción a la Derivada
Algunos conceptos básicos.
Sabemos que una de las características
principales de una recta es su pendiente (m)
En términos muy simples la pendiente de una recta es
un valor numérico que representa la inclinación de dicha recta
( x2 , y 2 )
m 
y 2  y1
y 2  y1
x 2  x1
( x1 , y1 )
x 2  x1
Muy sencillo de obtener si
tienes dos puntos sobre una recta!
Introducción a la Derivada
Algunos conceptos básicos.
De acuerdo a lo anterior, la obtención de la pendiente de una recta
secante en la curva de una función es:
Función original
( x2 , y 2 )
Recta secante
( x1 , y1 )
m 
y 2  y1
x 2  x1
Introducción a la Derivada
Algunos conceptos básicos.
Pero……….. y como obtener análogamente la pendiente de una recta
tangente si solo conoce un punto?
Recta tangente
m 
( x1 , y1 )
y 2  y1
x 2  x1
?
Introducción a la Derivada
Algo de historia.
Esta cuestión se originó con los matemáticos griegos hace dos mil años,
y fue finalmente abordada en el siglo XVII por varios matemáticos ilustres,
entre los que se encuentran :
Pierre de Fermat
Rene Descartes
Gottfried Wilhelm Leibniz
Leibniz, llamado por muchos el padre del Cálculo
Moderno, en 1684 propuso un método
general para encontrar las tangentes a una
curva a través de lo que el llamo símbolos.
Introducción a la Derivada
La derivada.
Recuerda que lo que se desea es conocer un método para encontrar
el valor de la PENDIENTE DE UNA RECTA TANGENTE
m tan
Observe que si hacemos
Supongamos
que deseamos
diversas
aproximaciones
de rectas
conocer
la pendiente
de la
secantes,
podemos
hacer una
recta tangente
en X=1
muy buena
estimación
de la
Pendiente de la recta tangente
Introducción a la Derivada
La derivada.
Recuerda que lo que se desea es conocer un método para encontrar
el valor de la PENDIENTE DE UNA TANGENTE
m tan
( x2 , y 2 )
( x1 , y1 )
Introducción a la Derivada
La derivada.
Recuerda que lo que se desea es conocer un método para encontrar
el valor de la PENDIENTE DE UNA TANGENTE
m tan
( x2 , y 2 )
( x1 , y1 )
Introducción a la Derivada
La derivada.
Recuerda que lo que se desea es conocer un método para encontrar
el valor de la PENDIENTE DE UNA TANGENTE
m tan
( x2 , y 2 )
( x1 , y1 )
Introducción a la Derivada
La derivada.
Recuerda que lo que se desea es conocer un método para encontrar
el valor de la PENDIENTE DE UNA TANGENTE
m tan
( x2 , y 2 )
( x1 , y1 )
Introducción a la Derivada
La derivada.
Recuerda que lo que se desea es conocer un método para encontrar
el valor de la PENDIENTE DE UNA TANGENTE
m tan
( x2 , y 2 )
( x1 , y1 )
Introducción a la Derivada
La derivada.
Recuerda que lo que se desea es conocer un método para encontrar
el valor de la PENDIENTE DE UNA TANGENTE
m tan
( x2 , y 2 )
( x1 , y1 )
Introducción a la Derivada
La derivada.
Recuerda que lo que se desea es conocer un método para encontrar
el valor de la PENDIENTE DE UNA TANGENTE
m tan
( x2 , y 2 )
( x1 , y1 )
Introducción a la Derivada
La derivada.
Recuerda que lo que se desea es conocer un método para encontrar
el valor de la PENDIENTE DE UNA TANGENTE
m tan
( x2 , y 2 )
( x1 , y1 )
Introducción a la Derivada
La derivada.
Recuerda que lo que se desea es conocer un método para encontrar
el valor de la PENDIENTE DE UNA TANGENTE
m tan
( x2 , y 2 )
( x1 , y1 )
Introducción a la Derivada
La derivada.
Recuerda que lo que se desea es conocer un método para encontrar
el valor de la PENDIENTE DE UNA TANGENTE
m tan
( x2 , y 2 )
( x1 , y1 )
Introducción a la Derivada
La derivada.
Recuerda que lo que se desea es conocer un método para encontrar
el valor de la PENDIENTE DE UNA TANGENTE
m tan
Observa que el punto
( x2 , y 2 )
Cada vez se acerca
más al punto
( x1 , y1 )
Continuar
( x2 , y 2 )
( x1 , y1 )
Volver a
mostrar
Atajo
Introducción a la Derivada
La derivada.
Recuerda que lo que se desea es conocer un método para encontrar
el valor de la PENDIENTE DE UNA TANGENTE
Ahora, como expresar el
comportamiento anterior
en términos matemáticos?
Introducción a la Derivada
La derivada.
m tan
( x2 , y 2 )
( x1 , y1 )
m tan 
y 2  y1
Aprox.
x 2  x1
m sec
Procedemos
a sustituir:
m sec 
y 2  y1
x 2  x1
Introducción a la Derivada
La derivada.
m tan
( x2 , y 2 )
f ( x2 )
( x1 , y1 )
f ( x1 )
m tan 
fy(2x2 ) y1 f ( x1 )
x2 
x 2 x1 x1
Considerando:
Procedemos
y mfsec( x)
a sustituir:
y 2  y1
x 2  x1
Introducción a la Derivada
La derivada.
m tan
( x2 , y 2 )
( x1 , y1 )
 x  x 2  x1
m tan 
ff ((xx2 2) )f (f x(1 )x1 )
x 2  xx1
Ahora
Consideremos:
 x  x 2  x1
Introducción a la Derivada
La derivada.
m tan
( x2 , y 2 )
( x1 , y1 )
 x  x 2  x1
m tan 
f ( x 2 )  f ( x1 )
x
Ahora recordemos el comportamiento
de las rectas secantes y podemos ver
que  x
tiende a disminuir
Presiona para observar nuevamente el comportamiento
(utiliza el botón atajo para regresar a esta diapositiva)
Introducción a la Derivada
La derivada.
m tan
( x2 , y 2 )
( x1 , y1 )
 x  x 2  x1
m tan 
f ( x 2 )  f ( x1 )
x
Ahora recordemos el comportamiento
de las rectas secantes y podemos ver
que  x
tiende a disminuir
Presiona para observar nuevamente el comportamiento
(utiliza el botón atajo para regresar a esta diapositiva)
Introducción a la Derivada
La derivada.
m tan
( x2 , y 2 )
Se puede observar
que el punto ( x 2 , y 2 )
cada vez se aproxima
más al punto ( x1 , y1 )
pero no llegará a tocarlo
( x1 , y1 )
 x  x 2  x1
m tan 
f ( xf2 )( x2 )f ( xf1 )( x1 )
lim
x x
x  0
Podemos expresar lo anterior así:
x  0
Analizando dicho comportamiento,
procedemos a aplicar un límite así:
Introducción a la Derivada
La derivada.
m tan
( x2 , y 2 )
( x1 , y1 )
 x  x 2  x1
m tan  lim
ff ((xx1 2) x )f ( xf 1()x1 )
x  0
xx
Finalmente considerando lo siguiente:
x 2  x1   x
La expresión nos queda así:
Introducción a la Derivada
La derivada.
m tan
( x2 , y 2 )
( x1 , y1 )
 x  x 2  x1
m tan  lim
f ( x1   x )  f ( x1 )
x  0
x
Finalmente considerando lo siguiente:
x 2  x1   x
La expresión nos queda así:
Introducción a la Derivada
La derivada.
Este límite (el cual genera otra
función), representa la pendiente de
las diversas rectas tangentes a la
gráfica de una función…..
Y se le conoce comúnmente como:
=
Misma, que en honor a Leibniz puede ser representada así:
m tan  lim
f ( x1dy  x ) Por
f (su
x1 )origen basado en
x  0
dx  x incrementos
Introducción a la Derivada
La derivada.
dy
dx
= lim
f ( x1   x )  f ( x1 )
x
x  0
Y precisamente por esta
fórmula es que lo siguiente,
ahora si, tiene sentido:
Si tenemos una función definida por
Entonces su derivada es:
dy
y x
2
 2x
dx
Y gracias a esta función que se “deriva” de la original, podemos obtener
las pendientes de las rectas tangentes que pertenecen a la función original
Introducción a la Derivada
Aplicación del límite obtenido….
Procederemos a la aplicación
del límite deducido para
obtener la derivada de la función:
Recordemos que la
derivada esta definida
por el límite:
Al evaluar el término
f ( x  x)
dy
dx
y  f ( x)  x
 lim
x  0
2
f ( x  x)  f ( x)
x
y  f ( x  x)  ( x  x)
se puede observar que:
Al sustituirlo obtenemos:
2
Introducción a la Derivada
Aplicación del límite obtenido….
f ( x  x)
dy
dx
dy
dx
dy
dx
f ( x)
( x  x)  x
2
 lim
2
Al desarrollar el binomio
al cuadrado obtenemos:
x
x  0
( x  2 x(x)  (x) )  x
2
 lim
2
x
x  0
 lim
x  0
2 x(x)  (x)
x
2
2
Reduciendo
términos:
Aplicando los teoremas
sobre límites tenemos lo
siguiente:
Introducción a la Derivada
Aplicación del límite obtenido….
dy
dx
 lim
x  0
2 x(x)  (x)
x
2
 lim 2 x  lim  x
x  0
x  0
Al evaluar dichos límites llegamos a la conclusión que:
Si tenemos una función definida por
Entonces su derivada es:
dy
dx
y x
 2x
2
Tomada de “El Cálculo”
por Louis Leithold
Representación
gráfica de:


y x

2

La función que
representa su
derivada es:







dy







dx
 2x
Representación
gráfica de:


y x

2

La función que
representa su
derivada es:


mmtantan ?2





dy





 2x
dx


Observe que:
x  1
Al sustituir
en la derivada
el valor de X:
m tan 
dy
dx
 2 (  1)   2
Representación
gráfica de:


y x

2

La función que
representa su
derivada es:


m tan   2





dy







dx
 2x
Representación
gráfica de:


y x

2

La función que
representa su
derivada es:







dy







dx
 2x
INFORMACION GENERAL DE OBJETO DE APRENDIZAJE
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Competencia
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Bibliografía
3.1 Concepto de derivada de una función
“La recta tangente y su relación con la derivada
de una función”
Interpretación geométrica del concepto derivada de una función para
la resolución de problemas sobre optimización relacionados al área de
Ingeniería.
Ing. Fernando Félix Solís Cortés
El Cálculo, Louis Leithold
7ma Edición, Editorial Harla México
Facultad de Ingeniería Mexicali – Agosto 2009
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