Máximos y Mínimos
Puntos de una gráfica.
0
.
x
Punto mínimo
Métodos para encontrar estos puntos:
 Máximos y mínimos
• Criterio de la primera derivada.
• Criterio de la segunda derivada.
 Punto de inflexión
• Criterio de la segunda derivada.
 Sentido de la concavidad
• Criterio de la segunda derivada.
 Función creciente y decreciente
• Criterio de la primera derivada.
INTERPRETACIÓN DE LA DERIVADA
La 1ª derivada tiene 4 interpretaciones:
1. Interpretación Geométrica.
Punto tangente
2. Interpretación Trigonométrica.
3. Interpretación Matemática.
4. Interpretación a la Física.
Máximos y Mínimos
• Criterio de la primera derivada.
1. Se obtiene la función
2. Se obtiene la 1a derivada.
3. Se iguala a cero la 1ª derivada y se obtiene sus raíces o puntos críticos.
4. Para cada raíz o punto crítico se considerará un valor menor y otro
mayor que se sustituirán en la 1ª derivada. Si los resultados
cambian de + a – existirá un máximo.
+
. . .máximo
Si los resultados cambian de – a + existirá un mínimo.
-
mínimo
+
5. Se obtienen las coordenadas de los puntos máximos y mínimos,
sustituyendo cada raíz o punto crítico en la función original.
• Criterio de la segunda derivada.
1. Se obtiene la función
2. Se obtiene la 1a y 2ª derivada.
3. Se iguala a cero la 1ª derivada y se determinan sus raíces o puntos
críticos.
4. Cada raíz o punto crítico se sustituye en la 2ª derivada y si el resultado
es positivo (+) existirá un mínimo, si el resultado es negativo (-) existirá
un máximo y si da cero entonces no existirá ni máximo ni mínimo.
. .-
máximo
mínimo
+
Punto de Inflexión
•
Criterio de la segunda derivada.
1. Se obtiene la función
2. Se obtiene la 1a y 2ª derivada.
3. Se iguala la 2ª derivada con cero y se determinan las raíces o puntos
críticos.
4. Se considerará para cada raíz o punto crítico, un valor menor y otro mayor
que se sustituirán en la 2ª derivada, si los resultados cambian de signo de
+ a - ó – a + se dice que existe un punto de inflexión, si no hay cambio de
signo, entonces no existirá un punto de inflexión.
5. Se obtienen los puntos de inflexión, al sustituir cada raíz o punto crítico en la
función original.
.
Sentido de la concavidad
• Criterio de la segunda derivada.
1. Se obtiene la función
2. Se obtiene la 1a y 2ª derivada.
3. Se iguala a cero la 2ª derivada y se determinan sus raíces o puntos
críticos.
4. Por separado y para cada raíz se considerará un valor menor y un valor
mayor, si el resultado es positivo se dice que la función es cóncava y si es
negativo se tiene una función convexa o cóncava hacia abajo.
(-)
(+)
Función Creciente y Decreciente
• Criterio de la primera derivada.
1. Se obtiene la función
2. Se obtiene la 1ª derivada.
3. Se iguala a cero la 1ª derivada y se determinan sus raíces o puntos
críticos.
4. Para cada raíz o punto crítico, se considerará un valor menor y otro
mayor de forma independiente. Si el resultado es negativo se dice que
la función es decreciente, si el resultado es positivo se dice que la
función es creciente. Si el resultado es cero, la función no tiene
creciente y decreciente.
máximo
.
mínimo
Ejemplo:
Se desea construir una caja de cartón de base rectangular sin tapa a partir de
una hoja de 30 x20 cm. De tal manera que su volumen sea máximo y las
dimensiones mínimas.
x
20
20-2x
x
30
x
30-2x
x
Como sólo tenemos la variable
, es función
.
• Método ó Criterio de la 1era derivada para calcular los máximos y
mínimos.
Paso 1
Se obtiene la función
Paso 2
Se determina la 1ª derivada
Paso 3
Se iguala a cero y se determinan las raíces ó puntos críticos.
Se resuelve por fórmula general
Raíces ó Puntos críticos
Paso 4
Identificar el punto máximo y mínimo.
V. menor
V. mayor
Se sustituye los valores en la 1ª derivada
V. menor
V. mayor
mínimo
signos
-
+
Existe un mínimo
V. menor
V. mayor
Se sustituye los valores en la 1ª derivada
V. menor
V. mayor
signos
+
-
Existe un máximo
Paso 5
Obtención de las coordenadas. Se obtienen sustituyendo cada raíz
o punto crítico en la función original.
Para el punto mínimo
Para el punto máximo
• Método ó Criterio de la 2ª derivada para calcular los máximos y mínimos.
Paso 1
Se obtiene la 1ª derivada
Paso 2
Se determinan la 1ª y 2ª derivada
Paso 3
Se iguala a cero la 1ª derivada y se determinan sus raíces ó
puntos críticos.
Se resuelve por fórmula general
Raíces ó Puntos críticos
Paso 4
Se sustituye cada raíz en la 2ª derivada.
Mínimo
Máximo
Paso 5
Obtención de las coordenadas de los puntos máximos y mínimos,
sustituyendo las raíces ó puntos críticos en la función original.
Para el punto mínimo
Para el punto máximo
• Punto de Inflexión
Método de la 2ª derivada
Paso 1 Se obtiene la función
Paso 2 Se obtiene la 1a y 2ª derivada.
Paso 3 Se iguala a cero la 2ª derivada y se determinan las raíces o puntos
críticos.
Paso 4 Para cada raíz o punto crítico, se considerará un valor menor y un
valor mayor que se sustituirán en la 2ª derivada.
V. menor
V. mayor
Se sustituye los valores en la 2ª derivada
Signos cambian de – a + Existe punto de Inflexión.
Como hay cambio de signo, entonces existe punto de inflexión, es decir, cambió en
el sentido de la curva.
Curva
Punto de inflexión
.
Paso 5 Cálculo de las coordenadas del punto de Inflexión. Se obtienen sustituyendo la
raíz ó punto crítico en la función original.
Para
se sustituye en la función original.
• Sentido de la Concavidad
Método ó Criterio de la 2ª derivada
Paso 1 Se obtiene la función
Paso 2 Se obtiene la 1a y 2ª derivada.
Paso 3 Se iguala a cero la 2ª derivada y se determinan sus raíces o puntos
críticos.
Raíz ó Punto Crítico
Paso 4 Para cada raíz o punto crítico, se considerará un valor mayor y
otro menor de manera independiente.
V. menor
V. mayor
Se sustituye los valores en la 2ª derivada
Función Convexa
Función Cóncava
..
.
.
• Función Creciente y Decreciente
Paso 1
Se obtiene la función
Paso 2
Se determina la 1ª derivada
Paso 3
Se iguala a cero y se determinan las raíces ó puntos críticos.
Se resuelve por fórmula general
Raíces ó Puntos críticos
Paso 4 Para cada raíz ó punto crítico de manera independiente, se considerará
un valor menor y otro mayor que se sustituirán en la 1ª derivada.
V. menor
V. mayor
Función Decreciente
Función Creciente
V. menor
V. mayor
Función Creciente
Función Decreciente
Resultados
Punto Máximo
Pmax=(3.92,1056.31)
Punto Mínimo
Pmin=(12.74,-315.56)
Punto Inflexión
PInf=(8.33,-34.68)
Gráfica
.
.
Creciente
.
Creciente (
, 3.92]
Decreciente [3.92, 12.74]
Creciente [12.74,
)
Decreciente
Convexa (
, 8.33]
Cóncava [8.33,
)
.
Creciente
Como resultado final se obtiene la caja con las
dimensiones siguientes:
Descargar

Máximos y Mínimos