I.
Ecuaciones diferenciales de primer orden
1. Teoría básica y métodos de solución.
2. Breviario de aplicaciones físicas.
II. Ecuaciones diferenciales de segundo orden
1. Ecuaciones homogéneas de coeficientes constantes.
2. Ecuación de Euler-Cauchy.
3. Ecuaciones heterogénea y métodos de solución.
Coeficientes indeterminados y variación de parámetros.
4. Solución en series de potencias.
5. Ecuaciones diferenciales de Bessel, Legendre, Hermite y Laguerre
6. Solución usando transformada de Fourier.
7. Funciones especiales: gamma y error.
III. Introducción a las ecuaciones en derivadas parciales
1. Ecuaciones lineales y separación de variables.
2. Problemas de condición de frontera, valores propios y funciones
propias.
3. Ecuaciones especiales: de difusión, de onda y de Laplace.
4. Solución en series de Fourier.
II. Ecuaciones diferenciales de segundo orden
1. Ecuaciones homogéneas de
coeficientes constantes.
2. Ecuación de Euler-Cauchy.
3. Ecuaciones heterogénea y métodos de solución.
Coeficientes indeterminados y variación de
parámetros.
4. Solución en series de potencias.
5. Ecuaciones diferenciales de Bessel, Legendre,
Hermite y Laguerre
6. Solución usando transformada de Fourier.
7. Funciones especiales: gamma y error.
U n a e cu a ció n d ife re n cia l o rd in a ria d e o r d e n n e s lin e a l
si e s d e la fo rm a
bn  x  y
(n)
 bn  1  x  y
d yx
( n  1)
n
bn  x 
dx
 bn  1  x 
d yx
i
n
 b x
i
i0
n
dx
i
 g x
d
 ...  b1  x  y   b 0  x  y  g  x 
n 1
dx
yx
n 1
d yx
1
 ...  b1  x 
dx
1
 b0  x  y  x   g  x 
S i g  x  y b j  x  , j  0,1, 2,..., n , so n co n tin u a s e n u n
in te rv a lo I q u e co n tie n e a x 0 y si b n  x   0 e n I ,
e n to n ce s e l p ro b le m a d e v a lo re s in icia le s
y  x 0   c 0 , y   x 0   c1 , y   x 0   c 2 ...., y
 n  1
 x 0   c n 1
d e la e cu a ció n d ife re n cia l o rd in a ria d e o rd e n n lin e a l
bn  x  y
(n)
 bn 1  x  y
( n  1)
 ...  b1  x  y   b 0  x  y  g  x 
tie n e u n a ú n ica so lu ció n e n I .
E cu a ció n d ife re n cia l o rd in a ria d e o rd e n n lin e a l
bn  x  y
(n)
 bn  1  x  y
( n  1)
 ...  b1  x  y   b 0  x  y  g  x 
1 ) S i g  x   0 e n to n ce s la e cu a ció n e s h o m o g e n e a ,
si n o e s in h o m o g e n e a
2 ) S i T O D O S lo s b j  x  so n co n sta n te s se d ice q u e
tie n e co e ficie n te s co n sta n te s, sin o se d ice q u e lo s
co e ficie n te s so n v a ria b le s
S i b n  x   0 e n u n in te rv a lo I , p o d e m o s e scrib ir
y ( n )  a n 1  x  y ( n 1)  ...  a1  x  y   a 0  x  y    x 
donde
aj x 
bj x
bn  x 
 j  0,1, 2,..., n  1 
y
 x 
g x
bn  x 
Sea
y
(n)
 a n 1  x  y
( n  1)
 ...  a1  x  y   a 0  x  y  0
u n a e c u a c ió n d ife re n c ia l o rd in a ria d e o r d e n n
lin e a l y h o m o g é n e a .
S i y1  x  e s u n a s o lu c ió n y y 2  x  e s o tra s o lu c ió n ,
e n to n c e s
ry1  x   sy 2  x 
e s ta m b ié n u n a s o lu c ió n .
Sea y
(n)
 a n 1  x  y
 ...  a1  x  y   a 0  x  y  0 u n a e cu a ció n d ife re n cia l
( n  1)
o rd in a ria d e o rd e n n lin e a l y h o m o g é n e a . S i y1  x  e s u n a so lu ció n y y 2  x 
e s o tra so lu ció n , e n to n ce s ry1  x   sy 2  x  e s ta m b ié n u n a so lu ció n .
d
n
dx
 ry1  sy 2   a n 1
n
d
n 1
dx
 ry1  sy 2   ...  a1
n 1
d
dx
 ry1  sy 2   a 0  ry1  sy 2   0
n
n 1
 dn

 d n 1

d
d
d
 d

r
y

s
y

a
r
y

sy

...

a
r
y

s
y
 a 0  ry1  sy 2   0

1
2 
n 1 
2 
1
1
2 
n
n
n 1 1
n 1
dx
dx
dx 
 dx
 dx

 dx

r
d
n
dx
r
d
n
y1  s
d
n
dx
n
n
dx
n
y1  ra n 1
y 2  ra n 1
d
d
n 1
dx
n 1
y1  sa n 1
n 1
dx
n 1
y1  ...  ra1
d
dx
d
n 1
dx
n 1
y 2  ...  ra1
y1  ra 0 y1  s
d
d
dx
y1  sa1
n
dx
n
y 2  sa n 1
d
d
dx
y 2  ra 0 y1  sa 0 y 2  0
n 1
dx
n 1
y 2  ...  sa1
d
dx
y 2  sa 0 y 2  0
n 1
n 1
 dn

 dn

d
d
d
d
r  n y1  a n 1 n 1 y1  ...  a1
y1  a 0 y1   s  n y 2  a n 1 n 1 y 2  ...  a1
y2  a0 y2   0
dx
dx
dx
dx
 dx

 dx

r 0  s 0  0
00
L a c o m b in a c ió n lin e a l d e
s o lu c io n e s d e u n a e c u a c ió n
lin e a l h o m o g é n e a e s
ta m b ié n s o lu c ió n
L a e cu a ció n d ife re n cia l o rd in a ria d e o rd e n n lin e a l
hom ogenea
Lˆ  y   0
sie m p re tie n e n so lu cio n e s lin e a lm e n te in d e p e n d ie n te s.
S i y1  x  , y 2  x  ,..., y n  x  re p re se n ta n d ich a s so lu cio n e s,
e n to n ce s la so lu ció n g e n e ra l d e Lˆ  y   0 e s
y  x   c1 y1  x   c 2 y 2  x   ...  c n y n  x 
d o n d e c1 , c 2 ,..., c n re p re se n ta n co n sta n te s a rb itra ria s
D e fin im o s a h o ra e l o p e ra d o r
n
n 1
1
d
d
d
ˆ
L 
 a n 1  x 
 ...  a1  x  1  a 0  x 
n
n 1
dx
dx
dx
d e ta l m a n e ra q u e
(n)
( n  1)
Lˆ  y   y  a n  1  x  y
 ...  a1  x  y   a 0  x  y
L a e cu a ció n d ife re n cia l o rd in a ria d e o rd e n n
lin e a l la e scrib im o s e n to n ce s co m o
Lˆ  y     x 
y
(n)
 a n 1 y
( n  1)
 ...  a1 y   a 0 y  0
y
(n)
 a n 1 y
( n  1)
 ...  a1 y   a 0 y  0
S i se p ro p o n e u n a so lu cio n
y  x   exp   x 
se tie n e
 exp   x   a n  1
n
n 1
exp   x   ...  a1 exp   x   a 0 exp   x   0
E lim in a n d o la e xp o n e n cia l
  a n  1
n
n 1
 ...  a1  a 0  0
S i   e s ra iz d e e sta e cu a ció n , exp    x  e s so lu ció n d e la
e cu a ció n d ife re n cia l
y
(n)
 a n 1 y
( n  1)
 ...  a1 y   a 0 y  0
A la e cu a ció n
  a n  1
n
n 1
 ...  a1  a 0  0
se l e lla m a E cu a ció n ca ra cte r í stica .
y
(n)
 a n 1 y
( n  1)
 ...  a1 y   a 0 y  0
E cu a ció n ca ra cte rística :   a n  1 
n
n 1
 ...  a1   a 0  0
S e a n 1 ,  2 ,  3 ,...,  n la s n ra ice s d e la e cu a ció n
ca ra cte rística
S i to d a s so n d istin ta s , la so lu ció n g e n e ra l e s
y  x   c1 exp  1 x   c 2 exp   2 x   ...  c n exp   n x 
sie n d o c1 , c 2 ,..., c n co n sta n te s a rb itra ria s
y
(n)
 a n 1 y
( n  1)
 ...  a1 y   a 0 y  0
E cu a ció n ca ra cte rística :   a n  1 
n
n 1
 ...  a1   a 0  0
S e a n 1 ,  2 ,  3 , ...,  n la s n ra ic e s d e la e c u a c ió n
c a ra c te rís tic a
S i la ra iz  k tie n e m u ltip lic id a d p h a b rá a s o c ia d a c o n e lla
p s o lu c io n e s lin e a lm e n te in d e p e n d ie n te s d a d a s c o m o
ex p   k x  , x ex p   k x  , x ex p   k x  , ..., x
2
p 1
ex p   k x 
L a c o m b in a c ió n lin e a l d e la s n s o lu c io n e s
lin e a lm e n te in d e p e n d ie n te s e s la s o lu c ió n g e n e ra l.
U n a p artícu la clásica d e m asa m ,
am arrad a a u n reso rte d e co n stan te k ,
al m o verse su fre u n a fu erza d e fricció n
d irectam en te p ro p o rcio n al a su velo cid ad .
a) E scrib ir la ecu ació n d e m o vim ien to
b ) R eso lver la ecu ació n y d escrib ir en
d etalles el m o vim ien to .
U n a p artícu la clásica d e m asa m , am arrad a a u n reso rte d e co n stan te k ,
al m o verse su fre u n a fu erza d e fricció n d irectam en te p ro p o rcio n al a su
velo cid ad .
a) E scrib ir la ecu ació n d e m o vim ien to
b ) R eso lver l a ecu ació n y d escrib ir en d etalles el m o vim ien to .
L a ecu ació n d e m o vim ien to es
2
m
d x
dt
2
dx
  kx  
dt
2
m
d x
dt
2
dx

 kx  0
dt
•Es una ecuación diferencial ordinaria
•Es una ecuación diferencial ordinaria de segundo
orden
•Es una ecuación diferencial lineal
•Es una ecuación diferencial lineal homogénea
•Es una ecuación diferencial lineal homogénea con
coeficientes constantes
2
m
d x
dt
2
dx

 kx  0
dt
La ecuación característica es:
m     k  0
2
2
d x
m
dt
2
dx

 kx  0
dt
La ecuación característica es: m     k  0
2
Las raices de la ecuación característica son:
 
 
  4 km
2
2m
2
m
d x
dt
2

dx
 kx  0
dt
La ecuación característica es: m     k  0
2
Las raices de la ecuación característica son:  
C aso 
2
 
  4 km
2
2m
 4 km  0
E n to n ces

 
2m
es u n a raíz d o b le (m u ltip licid ad 2 )
y
(n)
 a n 1 y
( n  1)
 ...  a1 y   a 0 y  0
E cu a ció n ca ra cte rística :   a n  1 
n
n 1
 ...  a1   a 0  0
S e a n 1 ,  2 ,  3 , ...,  n la s n ra ic e s d e la e c u a c ió n
c a ra c te rís tic a
S i la ra iz  k tie n e m u ltip lic id a d p h a b rá a s o c ia d a c o n e lla
p s o lu c io n e s lin e a lm e n te in d e p e n d ie n te s d a d a s c o m o
ex p   k x  , x ex p   k x  , x ex p   k x  , ..., x
2
p 1
ex p   k x 
L a c o m b in a c ió n lin e a l d e la s n s o lu c io n e s
lin e a lm e n te in d e p e n d ie n te s e s la s o lu c ió n g e n e ra l.
2
m
d x
dt
2

dx
 kx  0
dt
L a ecu ació n característica es:
m
2
   k  0
L as raices d e la ecu ació n característica so n :  
Si 
2
 

2
 4 km
2m
 4 km  0, en to n ces

 
2m
es u n a raíz d o b le (m u ltip licid ad 2 )
y la so lu ció n es
x t   Ae
t
 B te
t
  A  Bt  e


2m
t
2
m
d x
dt
2

dx
 kx  0
dt
L a ecu ació n característica es:
m
2
   k  0
L as raices d e la ecu ació n característica so n :  
Si 
2
 4 km  0, en to n ces
x t  
A
Bt  e


2m
 
t
S i x  t  0   0, en to n ces
x t  0  A  0
y
x  t   B te


2m
t

2
2m
 4 km
2
m
d x
dt
2

dx
 kx  0
dt
L a ecu ació n característica es:
m
2
   k  0
L as raices d e la ecu ació n característica so n :  
Si 
2
 4 km  0, en to n ces
x t  
A
S i x  t  0   0, en to n ces x  t   B te


2m
Bt  e


2m
 

2
2m
t
t
S i v  t  0   v 0 , en to n ces



t

t 


2m
2m
v t  0    Be

B te
 B  v0

2m

t0
y
x  t   v 0 te


2m
t
 4 km
2
m
d x
dt
2

dx
 kx  0 co n x  t  0   0 y
dt
Si 
2
xt
dx
 t  0   v0
dt
 4 km  0 en to n ces x  t   v 0 te
m  50 ,


2m
k 5
t
   10 10
  4 km  1 0 0 0  4  5   5 0   0
2
10
1   2 
8
10
10
v0  1 0
6
4
2
5
10
15
20
t
2
m
d x
dt
2

dx
 kx  0
dt
m
L a ecu ació n característica es:
2
   k  0
L as raices d e la ecu ació n característica so n :  
Si 
2
 

2
2m
 4 km  0, en to n ces ten em o s
d o s raices d istin tas y la so lu ció n es
x t   Ae
1 t
 Be
2 t
donde
1, 2 
 4 km
 

2
2m
 4 km
2
m
d x
dt
Si 
2
2
 4 km  0,  x  t   A e

1 t
dx
 kx  0
dt
 Be
2 t
d o n d e 1, 2 
 

2
 4 km
2m
La condición inicial: x  t  0   0
P or tanto, x  t  0   A  B  0
quedando la solución com o
x t   A e
1 t
e
2t

y B  A
2
m
d x
dt
Si 
2
2

dx
 kx  0
dt
 4 km  0,  x  t   A e
x t  0  0
 x t   A e
1 t
1 t
 Be
e
2t
2t
d o n d e 1, 2 
 

2m

v  t  0   v0
v  t   A  1 e
1 t
v  t  0   A  1   2
A 
v0
1   2

2t
 2e


 v0
v0

2
 4 km
m v0


m
x t  
m v0

2
 4 km
e
1 t
e
2t

2
2
 4 km
 4 km
2
m
d x
dt
2

dx
 kx  0
dt
S i   4 km  0  x  t  
2
m v0
  4 km
2
x t  0   0
e
1 t
e
2t

v  t  0   v0
donde 1, 2 
 
  4 km
2
2m
S i   4 km  0,
2
com o  , k y m son positivos,
1, 2  0.
Si 
2
 4 km  0, co m o  , k y m so n p o sitivo s, 1, 2  0 .
m  0,
1, 2 
 

2
2m
 4 km
k  0,
4 km  0

0   4 km

2

 

  4 km
2
   
 

 4 km
2
 0
2

 4 km
  4 km  0
2

2
m
d x
dt
2

dx
 kx  0
dt
S i   4 km  0  x  t  
2
Si 
2
m v0
  4 km
2
x t  0   0
e
1 t
e
2t

v  t  0   v0
donde 1, 2 
Si 
  4 km
2
2m
 4 km  0, com o  , k y m son positivos,
1, 2  0.
2
 
 4 km  0, 1, 2 son com plejos,
pero con parte real negativa.
2
m
d x
dt
Si 
2
2

dx
 kx  0
dt
 4 km  0  x  t  
xt
x t  0   0
m v0

2
 4 km
e
1 t
e
2t

v  t  0   v0
d o n d e 1, 2 
m  2, k  1,
0.5
 

2
 4 km
2m
  3, v 0  1
  4 km  9  8  1
2
0.4
1, 2
0.3
 1
3  9  8
3  1 


 2
4
4
 1

0.2
0.1
5
10
15
20
t
2
m
d x
dt
Si 
1, 2 
2
2

dx
 kx  0
dt
x t  0   0
 4 km  0  x  t  
 

 4 km
2

2
 4 km
m v0

  4 km
e

2m
t
2
4 km  
donde  =
2
2m
P or tanto,
x t  
v0


e
e
1 t
e
2t

donde
so n co m p lejo s co n p arte real n eg ativa.
2m
x t  
m v0
v  t  0   v0

2m
t
cos   t 
e
 i t
e
 i t

2
m
d x
dt
Si 
2
2

dx
 kx  0
dt
 4 km  0  x  t  
x t  0   0
v0


e

2m
t
v  t  0   v0
co s   t  d o n d e  =
xt
m  10, k  2,
4 km  
2
2m
 1
  4 k m  1  80   79
2
1 

20
1
 1  i 79
5
1  i

20
1
79

v0  5
10
5

2 
20
30
40
50
60
t
D em u estra q u e la en erg ía d el
sistem a cu án tico fo rm ad o p o r
u n a p artícu la d e m asa m
en cerrad a en u n a caja d e an ch o a
co n p ared es in fin itam en te ríg id as
está cu an tizad a.
2

   r   V  r    r   E  r 
2
2m
2

2m
d  x
2
dx
2
 V  x    x   E  x 
2

2m
V x 
d  x
2
dx
2
 V  x    x   E  x 


0
x 0
xa


0
x  0


V x   0


x  a
x0
0 x a
a  x
2

d  x
2m
  x  0  0
2
dx
2
 E  x 
 x  a  0
d  x
2
2

2m
d  x
dx
 E  x 
2
2
dt
2
d  x
  k   x  donde k
2
2

2mE
2
2
2
 k  x  0
2
dt
S e trata d e u n a ecu ació n d iferen cial o rd in aria
d e seg u n d o o rd en lin eal h o m o g en ea co n
co eficien tes co n stan tes.
d  x
2
dt
2
 k  x  0
  x   Ae
2
x

  x  k  x  0
2
2

 k 0
2
2
d  x
2
dt
2
 k  x  0
2
 k 0
2
L a ecu ació n característica es:
L as raices so n :
1   ik
y
2
 2   ik
y p o r tan to las d o s so lu cio n es lin ealm en te
in d ep en d ien tes so n ex p   ikx 
y la so lu ció n g en eral es
  x   Ae
 ikx
 Be
 ikx
y
ex p   ikx 
d  x
2
dt
2
 k  x  0
2

  x   Ae
 ikx
 Be
 ikx
Las condiciones a la frontera son:   x  0  = 0 y   x  a  = 0
  x  0  0 
  x  0  A  B  0 B   A
y
  x   Ae
 ikx
 Ae
 ikx
 A e
 ikx
e
 ikx
  2 iA sin  kx 
d  x
2
dt
2
 k  x  0
2
  x   2 iA sin  kx 
Las condiciones a la frontera s on:   x  0  = 0 y   x  a  = 0
 x  a  0 
  x  a   2 iA sin  ka   0
O jo, esto im plica que,
k a  n donde n  1, 2 , 3,...
d  x
2
dt
k 
2mE
2
 k  x  0
2
ka  n
y
n  1, 2, 3, ...
así q u e
¡¡¡¡¡¡¡ E n 

2
2ma
2
2
n
2
n  1, 2, 3, ... !!!!!!!!
2

d  x
2m
  x  0  0
2
dx
2
 E  x 
 x  a  0
 n 
  x   2 iA sin 
x
 a 
La solución norm alizada de la ecuación d e S chrodinger
d  x
2
dt
2
 k  x  0
2
con condiciones a la frontera   0     a   0
es
n  x 
 n 
sin 
x
a
 a 
2
donde n  1, 2, 3,...
n 1
1  x  
 
sin 
x
a
 a 
2
n2
2  x 
 2 
sin 
x
a
 a

2
n3
3  x  
 3 
sin 
x
a
 a 
2
n4
4  x 
 4 
sin 
x
a
 a 
2
n  24
 24  x  
 24 
sin 
x
a
 a

2
n  124
 124  x  
 124 
sin 
x
a
 a

2
I.
Ecuaciones diferenciales de primer orden
1. Teoría básica y métodos de solución.
2. Breviario de aplicaciones físicas.
II. Ecuaciones diferenciales de segundo orden
1. Ecuaciones homogéneas de coeficientes constantes.
2. Ecuación de Euler-Cauchy.
3. Ecuaciones heterogénea y métodos de solución.
Coeficientes indeterminados y variación de parámetros.
4. Solución en series de potencias.
5. Ecuaciones diferenciales de Bessel, Legendre, Hermite y Laguerre
6. Solución usando transformada de Fourier.
7. Funciones especiales: gamma y error.
III. Introducción a las ecuaciones en derivadas parciales
1. Ecuaciones lineales y separación de variables.
2. Problemas de condición de frontera, valores propios y funciones
propias.
3. Ecuaciones especiales: de difusión, de onda y de Laplace.
4. Solución en series de Fourier.
II. Ecuaciones diferenciales de segundo orden
1. Ecuaciones homogéneas de coeficientes
constantes.
2.Ecuación de Euler-Cauchy.
3. Ecuaciones heterogénea y métodos de solución.
Coeficientes indeterminados y variación de
parámetros.
4. Solución en series de potencias.
5. Ecuaciones diferenciales de Bessel, Legendre,
Hermite y Laguerre
6. Solución usando transformada de Fourier.
7. Funciones especiales: gamma y error.
2
x
2
d y
dx
2
 a1 x
dy
dx
 a0 y  0
E s una ecuación diferencial ordinaria
de segundo orden lineal hom ogénea,
pero los coeficientes son variables.
2
x
2
d y
dx
2
 a1 x
dy
dx
 a0 y  0
H acien d o x  e o b ien t  ln x , ten em o s
t
dy

dx
dy dt

dt dx
1 dy
x dt
y
2
d y
dx
2
2
d  1 dy 
1 dy 1 d  dy  dt
1 dy
1 d y


 2
 2

 2


2
dx  x dt 
x dt
x dt  dt  dx
x dt
x dt
así q u e su stitu yen d o en la ecu ació n , o b t en em o s
2

1
d
y
1
d
y
1 dy
2
x  2
 2
 a1 x
 a0 y  0
2 
x dt 
x dt
 x dt
q u e q u ed a
2
d y
dt
2
  a1  1 
dy
dt
 a0 y  0
2
x
2
d y
dx
2
 a1 x
dy
dx
 a0 y  0
co n el cam b io d e variab le x  e
t
se tran sfo rm a en
2
d y
dt
2
  a1  1 
dy
dt
 a0 y  0
q u e es co n co eficien tes co n stan tes.
3
x
3
d y
dx
3
2
 a2 x
2
d y
dx
2
 a1 x
dy
dx
 a0 y  0
E s u n a ecu ació n d iferen cial o rd in aria
d e tercer o rd en lin eal h o m o g én ea,
p ero lo s co eficien tes so n variab les.
3
x
d y
3
dx
3
2
 a2 x
2
d y
dx
2
 a1 x
dy
dx
 a0 y  0
H acien d o x  e o b ien t  ln x , ten em o s
t
dy

dx
2
2
3
,
x dt
2
d  1 dy 
1 dy 1 d  dy  dt
1 dy
1 d y


 2
 2

 2


2
dx  x dt 
x dt
x dt  dt  dx
x dt
x dt
3
d y
dx

1 dy
dt dx
d y
dx
dy dt

2 dy
x
3
dt
2

3 d y
x
3
dt
2
3
d y
dt
3
3

1 d y
x
3
dt
3
2
 ( a 2  3)
d y
dt
2
 ( a1  a 2  2 )
dy
dt
 a0 y  0
d y x
n 1
n
x
n
dx
n

a
d y x
j
j
x
j
dx
j0
j
 0
E l cam b io d e variab le x  e o b ien t  ln x ,
t
tran sfo rm a esta ecu ació n en u n a ecu ació n
d el m ism o o rd en , lin eal, h o m ó g en ea, p ero
co n co eficien tes co n stan tes.
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2. Clase del miércoles 22 de octubre de 2014