Universidad Diego Portales
Facultad de Economía
y Empresa
Slide 1
Modelos de Probabilidad Continuos
n
n
n
Distribución de Probabilidad Uniforme
Distribución de Probabilidad Normal
Distribución de Probabilidad Exponencial
f(x)

x
Slide 2
Modelos de Probabilidad Continuos
n
n
n
n
Como recordará, una Variable Aleatoria Continua
puede asumir cualquier valor en un intervalo en la
línea de los números reales o en un conjunto de
intervalos.
No es posible hablar de la probabilidad de una
variable aleatoria asumiendo solo un valor.
Más bien, hablamos de la probabilidad de que la
variable aleatoria asuma un determinado valor en un
determinado intervalo.
La probabilidad de que la VA asuma un valor al
interior de un intervalo de x1 a x2 se define como el
área bajo la curva de la función de densidad de
probabilidad entre x1 y x2.
Slide 3
Distribución de Probabilidad Uniforme
n
n
Una Variable Aleatoria se encuentra uniformemente
distribuida siempre que su probabilidad sea
proporcional al largo del intervalo.
Función de Densidad de Probabilidad Uniforme:
f(x) = 1/(b - a) para a < x < b
=0
TOL
Donde: a = Menor valor que la VA puede asumir
b = Mayor valor que la VA puede asumir
Slide 4
Distribución de Probabilidad Uniforme
n
Valor Esperado de x
E(x) = (a + b)/2
n
Varianza de x
Var(x) = (b - a)2/12
Donde: a = Menor valor que la VA puede asumir
b = Mayor valor que la VA puede asumir
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Ejemplo: Restaurante Slater
n
Distribución de Probabilidad Uniforme
A los clientes de Slater se les cobra por el tamaño
de la porción de ensalada que toman. Muestreos
anteriores sugieren que el tamaño de la ensalada se
distribuye uniforme entre 5 y 15 onzas.
La función de densidad de probabilidad es:
f(x) = 1/10 para 5 < x < 15
=0
TOL
Donde:
x = peso en onzas del plato de ensalada
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Ejemplo: Restaurante Slater
n
Distribución de Probabilidad Uniforme
¿Cuál es la probabilidad de que un cliente tome
entre 12 y 15 onzas de ensalada?
f(x)
P(12 < x < 15) = 1/10(3) = 0,3
1/10
x
5
10 12
Peso (oz.)
15
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Ejemplo: Restaurante Slater
n
n
Valor Esperado de x
E(x) = (a + b)/2
= (5 + 15)/2
= 10
Varianza de x
Var(x) = (b - a)2/12
= (15 – 5)2/12
= 8,33
Slide 8
Distribución de Probabilidad Normal
Gráfico de una Función de Densidad de Probabilidad Normal
f(x)

x
Slide 9
Distribución de Probabilidad Normal
n
Características de la Distribución de Probabilidad
Normal
• La forma de la curva normal tiene la forma de una
curva en forma de campana.
• Consiste de dos parámetros,  (media) y s
(desviación estándar); ellos son suficientes para
determinar la localización y la forma de la
distribución.
• El punto más alto en la curva normal es la media,
que también corresponde a la mediana y la moda.
• La media puede ser cualquier valor numérico:
negativa, cero, o positiva.
… continua
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Distribución de Probabilidad Normal
n
Características de la Distribución de Probabilidad
Normal
• La curva normal es simétrica.
• La desviación estándar determina el ancho de la
curva: valores mayores resultan en curvas más
anchas y planas.
• El área total bajo la curva es 1 (0,5 a la izquierda
de la media, y 0,5 a la derecha).
• Las probabilidades para la VA normal están dadas
por áreas bajo la curva.
Slide 11
Distribución de Probabilidad Normal
n
% de los valores en intervalos comúnmente utilizados
• El 68,26% de los valores en una VA normal se
localizan alrededor de +/- 1 desviación de su media.
• El 95.44% de los valores en una VA normal se
alrededor de +/- 1 desviación de su media.
• El 99.72% de los valores en una VA normal se
alrededor de +/- 1 desviación de su media.
Slide 12
Distribución de Probabilidad Normal
n
Función de Densidad de Probabilidad Normal
f ( x) 
1
2 s
e
2
2
 ( x   ) / 2s
Donde:
 = media
s = desviación estándar
 = 3.14159
e = 2.71828
Slide 13
Distribución de Probabilidad Normal
Estandarizada
n
n
n
Una VA que tiene una distribución normal con media
cero y una desviación estándar de uno se dice tener una
Distribución de Probabilidad Normal Estandarizada.
La letra z se usa comúnmente para describir a esta VA
normal.
Convirtiendo a una Desviación Normal Estandarizada
z
n
x
s
Podemos pensar a z como una medida del número de
desviaciones estándar en que x se encuentra alejada de
.
Slide 14
Ejemplo: Pep Zone
Distribución de Probabilidad Normal Estandarizada
La cadena de venta de Auto partes Pep Zone vende
repuestos para autos y aceites para motores de
diferentes graduaciones. Cuando los inventarios de
aceite llegan a los 20 galones, se emite de inmediato
una orden de recompra.
El administrador de una tienda local está preocupado
de que se pierdan ventas debido a falta de
inventarios mientras se espera por reabastecimientos.
Se ha determinado que la demanda se encuentra
normalmente distribuida con media de 15 galones y
una desviación estándar de 6 galones.
Al administrador le gustaría conocer la probabilidad de
quedarse sin inventarios de aceite, es decir, P(x > 20).
n
Slide 15
Ejemplo: Pep Zone
n
Distribución de Probabilidad Normal Estandarizada
Las tablas normales estándar muestran una área de 0, 2967
para la región entre z = 0 y z = 0,83 de las líneas abajo. El
área de la cola sombreada es 0,5 – 0,2967 = 0,2033. La
probabilidad de quedarse sin inventarios es de 0,2033.
z = (x - )/s
= (20 - 15)/6
= 0,83
Area = 0,2967
Area = 0,5 – 0,2967
= 0,2033
Area = .5
0
.83
z
Slide 16
Ejemplo: Pep Zone
n
z
Usando la Tabla de Probabilidades Normal Estándar
.00
.01
.02
.03
.04
.05
.06
.07
.08
.09
.0
.0000 .0040 .0080 .0120 .0160 .0199 .0239 .0279 .0319 .0359
.1
.0398 .0438 .0478 .0517 .0557 .0596 .0636 .0675 .0714 .0753
.2
.0793 .0832 .0871 .0910 .0948 .0987 .1026 .1064 .1103 .1141
.3
.1179 .1217 .1255 .1293 .1331 .1368 .1406 .1443 .1480 .1517
.4
.1554 .1591 .1628 .1664 .1700 .1736 .1772 .1808 .1844 .1879
.5
.1915 .1950 .1985 .2019 .2054 .2088 .2123 .2157 .2190 .2224
.6
.2257 .2291 .2324 .2357 .2389 .2422 .2454 .2486 .2518 .2549
.7
.2580 .2612 .2642 .2673 .2704 .2734 .2764 .2794 .2823 .2852
.8
.2881 .2910 .2939 .2967 .2995 .3023 .3051 .3078 .3106 .3133
.9
.3159 .3186 .3212 .3238 .3264 .3289 .3315 .3340 .3365 .3389
Slide 17
Ejemplo: Pep Zone
n
Distribución de Probabilidad Normal Estandarizada
Si el administrador de Pep Zone quiere que la prob.
de quedarse son inventarios sea no más de 0,05 ¿En
que nivel de inventarios debería emitir una orden de
recompra?
Area = .05
Area = .5 Area = .45
z.05
0
z.05 representa el valor z de corte del área de 0,05 en la
cola
Slide 18
Ejemplo: Pep Zone
n
Usando la Tabla de Probabilidades Normal Estándar
Buscamos el área 0, 4500 en la tabla de
probabilidades área encontrar el valor de z.05
z
.00
.01
.02
.03
.04
.05
.06
.07
.08
.09
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
1.5
.4332 .4345 .4357 .4370 .4382 .4394 .4406 .4418 .4429 .4441
1.6
.4452 .4463 .4474 .4484 .4495 .4505 .4515 .4525 .4535 .4545
1.7
.4554 .4564 .4573 .4582 .4591 .4599 .4608 .4616 .4625 .4633
1.8
.4641 .4649 .4656 .4664 .4671 .4678 .4686 .4693 .4699 .4706
1.9
.4713 .4719 .4726 .4732 .4738 .4744 .4750 .4756 .4761 .4767
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
z.05 = 1.645 es el estimado más cercano.
Slide 19
Ejemplo: Pep Zone
n
Distribución de Probabilidad Normal Estandarizada
El valor correspondiente de x está dado por
x =  + z.05s
= 15 + 1.645(6)
= 24.87
Cuando los inventarios alcancen 24.87 galones,
debe emitirse una orden de recompra para que la
probabilidad de quedarse sin ellos sea de 0,05.
Tal vez el administrador de Pep Zone deba emitir la orden
de recompra en 25 galones, y no en los 20 galones
actuales, para mantener dicha probabilidad bajo 0,05.
Slide 20
Distribución de Probabilidad Exponencial
n
Función de Densidad de Probabilidad Exponencial
f ( x) 
1

e
donde:
 x /
para x > 0,  > 0
 = media
e = 2.71828
Slide 21
Distribución de Probabilidad Exponencial
n
Función de Distribución Exponencial Acumulativa
P ( x  x0 )  1  e
 xo / 
donde:
x0 = algún valor específico de x
Slide 22
Ejemplo: Lavado de Autos de Al
Distribución de Probabilidad Exponencial
El tiempo de arribo de autos al negocio de lavado de
autos de Al sigue una distribución de probabilidad
exponencial con un tiempo medio de arribo de 3
minutos. Al dueño le gustaría saber la probabilidad
de que el tiempo entre la llegada de dos clientes sea 2
minutos o menos.
n
P(x < 2) = 1 - 2.71828-2/3 = 1 - .5134 = .4866
Slide 23
Ejemplo: Lavado de Autos de Al
n
Gráfico de la Función de Densidad de Probabilidad
f(x)
.4
.3
P(x < 2) = area = .4866
.2
.1
x
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10
Tiempo entre llegadas de clientes sucesivas (mins.)
Slide 24
Relación entre la distribución de Poisson
y la Distribución Exponencial
(Si) la distribución Poisson provee una
descripción adecuada del número de
ocurrencias por intervalo
(Si) la distribución exponencial
provee una descripción adecuada de la
longitud del intervalo entre ocurrencias
Slide 25
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