Sobre borrachos que caminan y
porque son un modelo adecuado de
transporte molecular.
Amigotes arrancando el siglo XIX
Rutheford
Dalton Cavendish
Ronalds (Telegrafo)
Robert Brown Gilbert (El presi)
La génesis del Movimiento Browniano:
Hipótesis 1: Es movimiento vital.
En contra?
Hipótesis 2: Es movimiento de un baño de moleculas.
En contra:
1) Como pueden moléculas tan pequeñas desplazar cuerpos tan
grandes
2) Cada choque se produce cada 10 -12 segundos. El ojo resuelve
(ergo el cine) cada 30 milisegundos. Como podemos ver este
movimiento?
Simulando movimiento Browniano
Modelando (matematizando,
conceptualizando) el movimiento
Browniano
Jugándose el destino al azar
¿A donde se va?
A diferencia de la física que vimos hasta aquí, el resultado de este proceso es
probabilístico. Comprender el problema ya no se trata de responder: “En 10
segundos llega a Mar del Plata” sino en 10 segundos lo mas probable es que
este en Mar del Plata, es posible (estrellitas prohibidas!) que este en
Chascomus, e imposible que este ....
RANDOM WALKS:
¿a dónde se va cuando uno camina al azar?
40
Posicion
20
0
-20
-40
0
100
200
Tiempo
300
Posición en función del tiempo para 10 caminatas distintas
¿Como caracterizar este proceso?
¿cómo hacer para visualizar miles de caminatas?
RANDOM WALKS:
¿a dónde se va cuando uno camina al azar?
-50
1.5
1
0
0.5
50
100
200
300
Posición en función del tiempo para 10 caminatas distintas
¿Como caracterizar este proceso?
¿cómo hacer para visualizar miles de caminatas?
RANDOM WALKS:
¿a dónde se va cuando uno camina al azar?
-50
7
6
5
4
0
3
2
1
50
100
200
300
Posición en función del tiempo para 5000 caminatas distintas
¿Como caracterizar este proceso?
¿cómo hacer para visualizar miles de caminatas?
RANDOM WALKS:
¿a dónde se va cuando uno camina al azar?
1200
-50
7
T=20
1000
6
0
5
800
4
600
3
400
2
1
50
100
200
300
200
0
-50
0
50
Posición en función del tiempo para 5000 caminatas distintas
¿Como caracterizar este proceso?
¿cómo hacer para visualizar miles de caminatas?
RANDOM WALKS:
¿a dónde se va cuando uno camina al azar?
1200
-50
7
T=100
1000
6
0
5
800
4
600
3
400
2
1
50
100
200
300
200
0
-50
0
50
Posición en función del tiempo para 5000 caminatas distintas
¿Como caracterizar este proceso?
¿cómo hacer para visualizar miles de caminatas?
RANDOM WALKS:
¿a dónde se va cuando uno camina al azar?
1200
-50
7
T=200
1000
6
0
5
800
4
600
3
400
2
1
50
100
200
300
200
0
-50
0
50
Posición en función del tiempo para 5000 caminatas distintas
¿Como caracterizar este proceso?
¿cómo hacer para visualizar miles de caminatas?
RANDOM WALKS:
¿a dónde se va cuando uno camina al azar?
40
Posicion
20
0
-20
-40
0
100
200
Tiempo
300
¿cuál es el desplazamiento medio del ensamble?
RANDOM WALKS:
¿a dónde se va cuando uno camina al azar?
Std(random walk)
40
t
Posicion
20
0
-20
-40
0
100
200
Tiempo
300
¿cuál es la dispersión (std)?
Las distribuciones suelen ser mas ricas (e informativas) que lo que resumen un par de
números. En este caso, entendiendo la media y la std entendemos casi todo.
¿Qué es esto?
{1,4,7,10,13,16,19,22,25,28…}
Oda al Maestro
RANDOM WALKS:
Un poco de álgebra, y ejercicio de lectura.
partícula i es independiente de la partícula j
xi (n)  xi (n 1)  
Paro donde estoy, tiro una moneda.
Si sale cruz – un paso para la derecha.
Si sale cara – un pasito para la izquierda
xi (n)  xi (n 1)  
dx
 
dt
La derivada! Una ecuación diferencial estocástica.
RANDOM WALKS:
Un poco de álgebra, y ejercicio de lectura.
¿cómo demostrar que el promedio es cero?
1
x(n)  i xi (n)  1 I i xi (n  1)  1 I i 
I
 x(n  1)  
i
Esto es cero por
definición de
random-walk.
Demostración por inducción:
1) Vale para el primero.
2) Si vale para (n-1) vale para
(n)
RANDOM WALKS:
Un poco de álgebra, y ejercicio de lectura.
¿cómo demostrar la dispersión de un RW?
x ( n)  x ( n)
2
2
¿Cual de estos dos es fácil de calcular?
¿por qué estas dos cantidades son distintas?
Demostración por inducción:
1) Vale para el primero.
2) Si vale para (n-1) vale para
(n)
RANDOM WALKS:
Un poco de álgebra, y ejercicio de lectura.
¿cómo demostrar como crece la varianza?
 x ( n) 
2
1
2
  i  xi (n) 
I
1
x (n  1)   


I
i
i
1
2
1
1
2
  i  x(n  1)    2 x(n  1)     
I
I i
I i
 x(n  1) 
2
Cero. La clave es que el paso
es independiente. Para cada
trayectoria, de un valor x, con
un pasito para lante, existe
otra con un pasito para
atrás…
2
2
RANDOM WALKS:
Un poco de álgebra, y ejercicio de lectura.
¿cómo demostrar como crece la varianza?
 x(n) 
2

2
x
(
n

1)




2
Es decir, la varianza aumenta una cantidad fija
 x(n) 
2
 N
 x (n) 
2
2
2
en cada paso
 N
Si el numero de pasos es proporcional al tiempo entonces
 x ( n) 
2
t
RANDOM WALKS:
Un poco de álgebra, y ejercicio de lectura.
¿cómo demostrar como crece la varianza?
 x (n) 
2
 N
2
 2t
2 
D


(Tiempo entre dos colisiones)
(Distancia entre dos colisiones)
 2t  D
2
2  t
N t

Causas y azares: Un poquito quien sabe para donde, y
otro poquito para alla
D, el paso determinista.
R, el paso azaroso.
Reglas del juego: Cada paso me muevo D para arriba,
tiro una moneda y me muevo R para arriba si sale cara
y R para abajo si sale estrella. ¿A dónde llego?
RANDOM WALKS:
¿a dónde se va cuando uno camina al azar?
40
Posicion
20
0
-20
-40
0
100
200
Tiempo
300
Posición en función del tiempo para 10 caminatas distintas
¿Como caracterizar este proceso?
¿cómo hacer para visualizar miles de caminatas?
RANDOM WALKS FORZADOS:
¿a dónde se va cuando se camina con algo de orden y algo de azar?
40
Posicion
20
0
-20
-40
0
200
100
Tiempo
300
Aun cuando la marcha determinista era hacia “arriba”
existen caminatas que luego de un largo rato se
encuentran abajo. ¿Es esto posible? ¿Hasta cuando?
RANDOM WALKS:
¿a dónde se va cuando uno camina al azar?
-50
7
6
5
4
0
3
2
1
50
100
200
300
Posición en función del tiempo para 5000 caminatas distintas
RANDOM WALKS:
¿a dónde se va cuando uno camina al azar?
50
7
6
5
4
0
3
2
1
-50
100
200
300
Posición en función del tiempo para 5000 caminatas distintas
RANDOM WALKS:
Un poco de álgebra, y ejercicio de lectura.
partícula i es independiente de la partícula j
xi (n)  xi (n 1)    


Un numero
importante
La memoria
La componente
determinista (D)
La estocasticidad, el ruido,
la temperatura, las
fluctuaciones (R)
xi (n)  xi (n 1)    
dx
   
dt
La derivada! Una ecuación diferencial estocástica.
1) Ciencia “Aplicada”. Ejercicio de transporte
arquetípico: moléculas, pensamientos,
finanzas, nanocosas y otras tantas yerbas.
2) Ciencia básica. ¿cuándo llego a destino si
marcho en una caminata al azar?
¿Y a que destino llego?
3) Héroes de la historia contemporanea.
Europa-Europa. Engima y la pertinencia de
decidir bien y a tiempo.
El maestro: Alan Turing
Enigma
Implementación neuronal de los tres pasos:
1) Un método para cuantificar el peso de la evidencia de un evento
individual a favor de distintas alternativas. (EL VOTO)
2) Un método para acumular y actualizar el peso proveniente de
eventos múltiples. (LA ACUMULACION DE VOTOS)
3) Una regla de decisión para determinar si la evidencia era
suficiente para determinar la hipótesis mas probable. (LA
RESOLUCION)
PLANTEANDO EL PROBLEMA
Usted
quiere
llegar acá
(meta)
+
Usted hace una caminata al
azar con un forzado
Esta flecha representa el tiempo.
Usted es un Romano y esta aquí
Usted NO quiere llegar acá.
Preguntas:
1) ¿Cuánto tiempo
tarda en llegar?
2) ¿Cuál es la
probabilidad de
llegar al lugar
equivocado?
Las reglas del juego
(umbral)
A
B
E: El paso determinista
(tiene una dirección)
Esta flecha representa el tiempo.
Res=A
Tiempo=t
t
Res=B
Tiempo=t2
t2
T: El paso estocástico
(se da con igual
probabilidad en ambos
sentidos)
“Las neuronas que integran
o acumulan el voto”
“Las neuronas
que determinan el
umbral”
“Las neuronas que votan”
La neurofisiología de la toma de decisiones
Simulacro en el laboratorio de la toma de decisiones
en un mundo incierto.
Mov = 6±ε
6 ±ε
Acum = 6  
12   2
6 ±ε
18   3
6 ±ε
24   4
ε cuantifica las fluctuaciones y por lo tanto
Su peso relativo disminuye con el numero de partículas
Mov = 11
11
11
11
Acum = 11
22
33
44
Mov = 6±ε
6 ±ε
Acum = 6  
12   2
6 ±ε
18   3
6 ±ε
24   4
“Las neuronas que votan”
Neuronas en MT
Un clásico de la fisiología
Primer ensayo (cada punto representa un disparo)
Décimo ensayo (el estimulo es el mismo, la respuesta
ligeramente variable)
Potenciales de
acción (intensidad
de la repuesta
neuronal)
tiempo
Neuronas que codifican la cantidad y dirección de movimiento
Estas neuronas pueden dar un voto en favor de una decisión.
La magnitud del “voto” es proporcional a la cantidad de movimiento.
Neuronas en MT
Un clásico de la fisiología
Cada línea es un ensayo.
Las respuestas de las neuronas son
ruidosas y por lo tanto hay que
promediarlas. El experimentador
hace esto midiendo muchas veces.
Y un sujeto decidiendo: ¿Como
resuelve el ruido?
Promedio
Flucutuaciones
Potenciales de
acción (intensidad
de la repuesta
neuronal)
tiempo
Neuronas que codifican la cantidad y dirección de movimiento
Estas neuronas pueden dar un voto en favor de una decisión.
La magnitud del “voto” es proporcional a la cantidad de movimiento.
Neuronas en MT
Un clásico de la fisiología
Las neuronas responden
gradualmente a la
cantidad de movimiento.
Dan un voto “graduado”.
Neuronas de derecha.
Neuronas de izquierda
(no responden al movimiento
a la derecha)
Neuronas que codifican la cantidad y dirección de movimiento
Estas neuronas pueden dar un voto en favor de una decisión.
La magnitud del “voto” es proporcional a la cantidad de movimiento.
Neuronas en MT
Un clásico de la fisiología
En cada momento estas
neuronas reportan el
estado del presente
perceptual
Un codificador de movimiento provee el sustrato necesario
para decidir hacia donde se mueven los puntos
¿Falta algo?
“Las neuronas que integran
o acumulan el voto”
EL ACUMULADOR: Conteo de todos los votos en el
tiempo. Como los votos son ruidosos, esto resulta en un
random walk.
Neuronas en LIP
Integracion ruidosa:
Un random-walk forzado
integra (promedia en el
tiempo) la evidencia provista
por las neuronas de MT
Estimulo
Respuesta
Cuando se llega a suficiente evidencia ¿cuánto es suficiente?
Se ejecuta la decisión.
EL ACUMULADOR: Conteo de todos los votos en el
tiempo. Como los votos son ruidosos, esto resulta en un
random walk.
Neuronas en LIP
El proveedor y
el acumulador
de votos. ¿Hasta
cuando
acumulan?
Un Random Walk
forzado. La pendiente
indica el forzado y es
proporcional a la
coherencia. Cuanto mayor
la pendiente, se llega
antes al umbral y el
tiempo de respuesta es
menor.
El estimulo, luego de una latencia, empiezan a acumular.
EL ACUMULADOR: Conteo de todos los votos en el
tiempo. Como los votos son ruidosos, esto resulta en un
random walk.
Neuronas en LIP
Un Random Walk
forzado. La pendiente
indica el forzado y es
proporcional a la
coherencia. Cuanto mayor
la pendiente, se llega
antes al umbral y el
tiempo de respuesta es
menor.
   dt   t
 (   )dt    t  
El estimulo, luego de una latencia, empiezan a acumular.
t
Respuestas agrupadas en el momento de la
respuesta. Todas las respuestas se realizan
cuando el integrado neuronal llega al
umbral.
Existe de hecho otro
circuito que responde
en el momento que el
integrador alcanza el
umbral, lanzando la
respuesta. Para aquel
entonces –pese a que
uno no lo supiese – la
decision estaba
tomada.
Puede de hecho
manipularse una
decisión. ¿Se puede
hackear el codigo?
Poniendo a prueba la teoría:
¿Se puede forzar una decisión estimulando una neurona?
Estimulo en MT – Es “como si” cambiase la
evidencia con que se nutre al random walk.
Como si el detector de movimiento detectase
mayor coherencia. Resultado: Aumenta la
pendiente.
La carrera entre una partícula a velocidad
constante y una caminata al azar.
EL RESULTADO DE MUCHAS CARRERAS
Física del CBB
Mecánica
Determinista
Rectilineus uniformus
x   t
x  x 
2
0
δ
 
El destino de una caminata al azar, diluirse es una
forma (extremadamente lenta) de moverse.
x 0
x  x 
2
2

 2  D  t D  2
Para una molécula en agua a temperatura
ambiente, D es aproximadamente
5
2
10
cm
D
s
TRANSPORTE TERMICO Y ACTIVO, COLECTIVOS,
KINESINAS Y LAS CALLES DE PARIS
El problema mixto. En este ejemplo sencillo se
factoriza la media y la varianza.
x   t
x  x 
2
 2 D t
TRANSPORTE TERMICO Y ACTIVO, COLECTIVOS, KINESINAS Y
LAS CALLES DE PARIS: Descubriendo la maquinaria viendo su
trayectoria.
En física “Newtoniana” velocidad constante
equivale a ausencia de fuerzas.
x   t
x  x 
2
 2 D t
Con disipacion (viscosidad, rozamiento,
friccion, todo lo que sucede en la escala
molecular) esto equivale a fuerza constante
(que hace trabajo).
Por lo tanto, si veo una particula moviendose a
velocidad constante puedo inferir (AUNQUE
NO LA VEA!) la existencia de un mecanismo
activo, que consume energia, que media el
transporte.
(siguiente capitulo)
TRANSPORTE TERMICO Y ACTIVO, COLECTIVOS, KINESINAS Y
LAS CALLES DE PARIS: Descubriendo la maquinaria viendo su
trayectoria.
x   t
x  x 
2
 2 D t
Transporte térmico.
1) No es dirigido – algunas particulas
llegan y otras se pierden (la esperanza
de los ratchets).
2)
Es lento … progresivamente lento (x(t)/t)
decrece…
3)
Puede ser pasivo (por difusion) o activo
(por propulsion) en una trama intrincada
como el citoesqueleto, o las calles de
Paris
Dos versiones canónicas de caminatas al azar:
2) Por movimiento en un espacio “laberintico”
1) Por fluctuaciones térmicas
El autentico,
verdadero, genuino.
Un coeficiente de
difusión con pedigrí
kT, densidad, masa...
x 0
x  x 
2
 2 D t
Uno define un coeficiente
de difusión a partir de
esta relación, como una
suerte de abuso de
notación.
Arrastrando moléculas en un baño térmico.
mv
2
 kT
5
2
10
cm
D
s
Aprox 14 hs para recorrer
1cm.
¿Y cuanto tiempo para
recorrer 10 cm?
Alexander Fleming y su Lisozima
¿Cuanto tiempo tarda esta molécula
en cruzar (sin obstrucciones) de un
lado al otro del aula?
A) 1ms B) 1s C) 1 minuto D) 1 hora
E) 1 día F) 1 año G) 1 siglo
And the answer is….
v
2

kT
 10m / s  36Km / h
m
(la velocidad de una moto)
Alexander Fleming
El recetario del Dr Cureta (algunas ecuaciones para ir recordando)
mv
 kT
2
x   t
x  x 
2
 2 D t
2

D
2
Sedimentos,
atmósferas, orbítales,
potenciales,
temperatura y
sueños. Una ecuación
importante.
Feynman (Cap 40) Nelson (Cap 3.2)
Planck
Perrin
Marie Curie
Solvay 1911
Poincare Rutheford
Alberto
Una atmósfera en
un baño térmico
(aproximación 1 –
temperatura
constante)
Mg
Aproximación 2 –
Fuerza
gravitatoria
constante
Pregunta 1:
¿Que distribución
tienen estas
partículas?
Pregunta 2:
¿Que tiene que ver
con esto?
El pequeño
agujero negro que
todos llevamos
adentro.
Caso extremo I: No hay temperatura (Símil Física I)
Mg
Caso extremo I: No hay temperatura (Símil Física I)
Se van todas para el
fondo (porque el
medio, o la
superficie tiene
rozamiento, si no
oscilarían...)
Mg
Caso extremo II: No hay gravedad (Símil Física II – Primeros dias)
El gas esta en
equilibrio.
La densidad es
uniforme
¿Y en este juego de dos jugadores (Gravedad y Temperatura)?¿Que?
T
Mg
Aproximación 2 –
Fuerza
gravitatoria
constante
¿Y en este juego de dos jugadores (Gravedad y Temperatura)?¿Que?
Compromiso platónico:
Mas abajo que arriba, de
hecho a media que uno
sube la densidad
disminuye
exponencialmente. Este
decrecimiento ha de
estar ponderado por
algo del estilo g/T.
T
Mg
Aproximación 2 –
Fuerza
gravitatoria
constante
Y dado que
En ausencia
de gravedad
P(h)  P(h  dh)
Es decir
P es constante
h+dh
h
P  V  NkT
P  nkT
P constante,
equivale a n
(es decir, la
densidad)
constante.
Con gravedad
F
P(h)  P(h  dh)  G
A
“El paso magico,
hemos puesto en
relación g (mecánica)
con P (termodinámica)
h+dh
La diferencia de
presiones a de
compensar la
fuerza gravitatoria
FG  Mg
h
FG  m  N  g
FG  m  n V  g
Mg
P(h)  P(h  dh) 
FG  m  n V  g
P  nkT
FG
m g
n(h  dh )  n(h)

n
kT
dh
m g
dn

n
kT
dh
(Equilibrio)
A
(Newton)
(Gases)
m  n  g V
P(h)  P(h  dh ) 
A
-
dh
ne

m g  h
kT
- P(h)  P(h  dh)  m  n  g  dh
h+dh
 m  n  g  dh  P(h  dh)  P(h)
h
P  nkT
 m  n  g  dh  kTn(h  dh)  kTn(h)
(Dividiendo)
(Dividiendo)
Mg
E(h)
La solución
n  n0  e
m g h

kT
p (para una
partícula, esto es
una probabilidad)
Compromiso salomónico:
Mas abajo que arriba, de hecho a
media que uno sube la densidad
disminuye exponencialmente. Este
decrecimiento ha de estar
ponderado por algo del estilo g/T.
T
Sedimentos, atmósferas, orbítales, potenciales,
temperatura y sueños. Una ecuación
importante.
p  C e
E

kT
El recetario del Dr Cureta (algunas ecuaciones para ir recordando)
mv
2
 kT
h+dh
h
Relación entre cinética y temperatura
M
g
Sobre el movimiento de
partículas en un baño térmico
x   t
50
x  x 
2
7
6
 2 D t
5
4
0
3
D 
2
2
2
1
-50
100
200
300
ne
E

kT
El equilibrio en presencia de
fuerzas y agitación térmica
Mas sobre fuerzas (a la newton) y
termodinámica. Arrastrando una partícula en un
baño térmico. El caso general, otra ecuación
importante de personaje celebre.
Feynman (Cap 43) Berg (Cap 4) Nelson (Cap 4)
Extra Extra:
Buscar en la web teoremas de fluctuación-disipación.
v 
F

V-
   v 
varrastre
V+
1
a 2
2
F
f
   v 
f 
1
a 2
2
2m

Un modelo un poco mas
sencillo de visualizar: en cada
choque una partícula entrega
toda la energía cinética al
medio.
v  at
(Entre choques)
v  0 (En cada choque t  N )
F  ma
Partícula Newtoniana
La velocidad aumenta
con pendiente F/m
v

2 
6 
Partícula en un
campo de Fuerza F
sumergida en un
baño térmico.
t
f 
v  at (Entre choques)
v0
F  ma (En cada choque t  N
2m

Si observo en una escala de tiempo pequeña (menor que el
tiempo típico de choques) parece un problema Newtoniano.
La fuerza realiza trabajo, inyectando energía que la
particula absorbe acelerandose y aumentando la energia
cinetica.
v

2 
)
6 
Partícula en un
campo de Fuerza F
sumergida en un
baño térmico.
t
En una escala de tiempo microscópica
(mayor que el tiempo típico de
choques) la partícula avanza
fluctuando alrededor de una velocidad
media constante, que llamamos
v_arrastre. ¿Cuánto vale?
vmax
F
 a  
m
varrastre
F

f
varrastre 
f 
vmax
F


2
2m
2m

v 

F
δ
V-
varrastre  F
varrastre  F
V+
f
f 
2m

I. Lectura de la ecuación
Un modelo molecular “de juguete” de viscosidad. En un arrastre
con choques térmicos, la velocidad (y no la aceleración) es
proporcional a la fuerza.
II Pregunta:
¿Se podrá encontrar una relación termodinámica entre el
coeficiente de arrastre y variables termodinámicas como la
temperatura o la difusión? Respuesta: SI
f
v 

F
δ
V-
varrastre  F
f
2m
f 

V+
Las ecuaciones necesarias del recetario C:
v 

2m
f 

De este problema especifico.
2

v 
2
2
2
KT
2 

m
“ A traves de v” relacionar
los  y  con KT
D  KT 

2m
mv
2
 kT
2

D
2
Difusión
Cinética
2D
KT


m
Relacionar los  y  con D
D
KT
f
Llegamos a una relación simple entre
D, f y T. Ahora parar y mirar.
D
KT
f
La relacion de Einstein - Smoluchowski
Einstein haciendo
la gran Laplagne
Marian Smoluchowski
D  f  kT
La relacion de Einstein - Smoluchowski
Lo que esta de un lado y otro de la ecuación (las cantidades relacionadas)
Esta ecuación establece una relación entre dos cantidades que, a priori son
independientes. “El arrastre”, f y la difusión D. Establece además que estas dos
cantidades están relacionadas por la temperatura.
Lo que NO esta NI de un lado NI del otro de la ecuación (las cantidades ausentes)
Por ejemplo la masa o el tamaño de la partícula. D y f, si dependen de estos valores,
pero su producto no. Esta ecuación indica que la relación entre D y f es independiente
de estos factores haciendo, relacionando ambos como emergentes de una física
estadística común. Partículas menores tendrán mayor difusión, pero menor arrastre.
Esta ecuación es universal (lo cual aquí no les muestro) y relaciona propiedades de
equilibrio del sistema – La temperatura, las fluctuaciones, con la disipacion (la perdida
de energia) la viscosidad, cuando se lo saca del equilibrio. A estos teoremas que hoy
siguen siendo objeto de investigacion moderna se los llama genericamente:
TEOREMAS DE FLUCTUCACION DISIPACION
El recetario del Dr Cureta (algunas ecuaciones para ir recordando)
mv
2
 kT
h+dh
h
Relación entre cinética y temperatura
M
g
Sobre el movimiento de
partículas en un baño térmico
x   t
50
x  x 
2
7
6
 2 D t
ne
El equilibrio en presencia de
fuerzas y agitación térmica
D  f  kT
5
F
4
0
E

kT
3
D 
2
2
2
V-
V+
1
-50
100
200
300
La relación entre fluctuaciones
térmicas y resistencia al arrastre
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