Arreglos y Permutaciones
Integrantes:
Daniela Ávalos
Camila Badilla
Nicolás Chávez
Consuelo Contreras
Alan Henríquez
Pablo Robles
Curso:
2 año medio B
Profesor:
Daniel Montoya
• 1.- Un alumno tiene que elegir un “ramo”
entre 4 idiomas y 5 asignaturas científicas. ¿De
cuantas formas lo puede hacer?
•4 idiomas + 5 asignaturas científicas = 9 formas diferentes
Principio sumativo
• 2.-En el liceo San Antonio se dan las como
actividades de libre elección: Fútbol, Ajedrez,
Juvi, Tenis de mesa, Basquetbol, Atletismo.
¿De cuantas maneras un alumno puede elegir
una de las opciones?
• - se suman las actividades y nos da un total de
6 maneras que se puede elegir.
• 3.- Un alumno debe elegir un Idioma y una
asignatura científica del siguiente cuadro:
Idiomas
Asignatura Científica.
Ingles.
Francés
Alemán
Matemática
Física
Química
Biología.
Determine de cuantas maneras un alumno puede
elegir.
• 3.1.-Un idioma.
• 3.2.-Una asignatura científica.
• 3.3.- Un idioma y una asignatura científica.
• 3.4.-Un idioma o una asignatura científica.
• 3.1= se suman los idiomas y nos da un total 3
formas de elegir un idioma
• 3.2= se suman las asig. Científicas y nos da un
total de 4 formas de elegir una asignatura
científica
• 3.3= se multiplica los idiomas y las asig.
Científicas = 3 x 4 = 12
• 3.4= se suman los idiomas y las asig.
Científicas = 3 + 4 = 7
• 4.- Considere la palabra “MURCIELAGO”. Determine
el número de palabras que se pueden obtener si:
• 4.1.- Se toman todas las letras.
• 4.2.- Se toman 5 letras.
• 4.3.- Se toman 6 letras y la palabra debe empezar
con la letra A.
• 4.4.- Se toman 6 letras y la palabra debe terminar
en O.
• 4.5.- Se toman todas las letras y la palabra
empiece con A y termine en O.
• 4.6.- Que las letras centrales sean A y E (en ese
orden).
• 4.1- 10 9 8
7 6 5
10x9x8x7x6x5x4x3x2x1
• 4.2- 10 9 8
7 6 5
7 6 5
• 4.3- A 9 8
6 5 O
• 4.4- 9 8 7
6 5 4
• 4.5- A 8 7
8! = 40.320
5 A O
• 4.6- 8 7 6
8! = 40.320
4
3
2
1
3
10! = 3.628.800
10x9x8x7x6x5
=30240
9x8x7x6x5
=15120
9x8x7x6x5
=15120
2
1 O
8x7x6x5x4x3x2x1
4
3
2
1
8x7x6x5x4x3x2x1
• En este problema podemos decir que de la palabra
MURCIELAGO se pueden formar diversas palabras con respecto
de la misma.
• En este problema se puede notar la utilización del “bicho
matemático” (Ej.:10!)
x
= opciones
posibles
Ejercicio 5
• 5.- Considere la palabra “VAMPIRO”. Determine el número de palabras
que se pueden obtener, si:
• 5.1.-Se toman todas las letras.
• 5.2.-Se toman todas las letras y la palabra debe empezar con P.
• 5.3.- Se toman todas las letras y la 2º y penúltima letra de la palabra sean
A y O respectivamente.
• 5.4.- Se tomen todas las letras Y la segunda letra sea una vocal.
• 5.5.- Se tomen todas las letras y la letra central sea una vocal.
• 5.6.- Que tenga 5 letras y que empiece con A
• 5.7.- Que tenga 5 letras y que termine en O
• 5.8.-Que tenga 6 letras y que termine en M.
• 5.9.- Que tenga 4 letras y que no contenga vocales.
Respuestas
•
•
•
•
•
•
•
•
•
5.1.- 7!= 7*6*5*4*3*2*1=5.040
Explicación: Se toman todas las letras y hay un total
de 5.040 posibilidades o arreglos posibles.
5.2.- (7-1)!= 6!= 6*5*4*3*2*1= 720
Explicación: Hay una letra fija.
5.3.- (7-2)!= 5!= 5*4*3*2*1= 120
Explicación: Existen 7 posibilidades a las cuales se le restan las que están fijas.
5.4.- 6!*3= 2.160
Explicación: En la 2ª casilla se encuentran 3 posibilidades, pues hay 3 vocales, dejando el
resto de las posibilidades 6!
5.5.- 6!*3= 2.160
Explicación: En la casilla del medio hay 3 opciones que corresponden a las 3 vocales de la
palabra, dejando para las otras casillas 6! opciones.
5.6.- (7-1)!/(7-5)!= 6!/2!= 6*5*4*3*2!/2!= 6*5*4*3= 360
Explicación: Al factorial de la diferencia entre las 7 opciones se le restan el dato fijo, y se
divide por el factorial de las diferencia de las 7 opciones con la de las 5 que serán tomadas en
cuenta.
5.7.- (7-1)!/(7-5)!= 6!/2!= 6*5*4*3*2!/2!= 6*5*4*3= 360
Explicación: Se realiza el mismo procedimiento del ejercicio anterior.
5.8.- (7-1)!/(7-6)!= 6!/1= 6!= 6*5*4*3*2*1= 720
Explicación: Al factorial de la diferencia entre las 7opciones y el dato fijo se divide por el
factorial de la diferencia entre las 7 opciones y las 6 tomadas en cuenta.
5.9.- 4!= 4*3*2*1= 24
Explicación: Como sólo se tomaran en cuenta 4 opciones se calcula el factorial de 4 para
sacar el resultado.
• 6.- Considere la palabra “CAMINO”. Determine el numero
de palabras que se pueden obtener si:
• 6.1.- Se toman todas las letras.
• 6.2.- Se toman cuatro de las letras.
• 6.3.-Se toman todas las letras y la palabra empiece con M.
• 6.4.- Se tomen todas las letras y la palabra termine con N.
• 6.5.- Se tomen 3 letras y la palabra empiece con una vocal y
las dos siguientes sean consonantes distintas.
• 6.6.-De tres letras, y que las tres sean consonantes
distintas.
•
•
•
•
•
•
6.1= 6! = 6x5x4x3x2x1= 720
6.2= 6x5x4x3= 360
6.3= Mx5x4x3x2x1= 120
6.4= 5x4x3x2x1xn= 120
6.5= 3x3x2=18
6.6= 3x2x1= 6
• 7.- Considere la palabra CAMARADA. ¿Cuántas
palabras más se pueden formar si se toman
todas las letras?
8
8!
8x7x6x5x4!
V
=
4
=
4!
=8x7x6x5=
4!
1680= se pueden formar 1680 palabras
• Ejercicio numero 8.
• 8.1 con la palabra Matemática
•
P(10,2,3,2)
10!
__________ = 151.200
2!x3!x2!
• 8.2 se toman 5 de las letras
10
•
V
10!
______ = 30.240
5
5!
• 8.3 Con seis letras y eventualmente se podrían repetir
10
•
V
7
:
10!
_______ =
3!
3.628.800
9.-Considere el nº 3458.Cuantos números se pueden
obtener:
Para las 3 preguntas del ejercicio se usa el principio multiplicativo
(N x M )
En los 2 primeros no se repiten las letras por lo que se van
agotando las opciones
-Con los 4 dígitos sin repetición. R: 4!
= 24
-Con los 3 dígitos sin repetición. R: 4x3x2 =
24
En esta pregunta se pueden repetir todas la letras
-Con los 4 dígitos con repetición. R: 4x4x4x4 = 256
• 10.- Considere el nº 36.478.Cuantos números
se pueden obtener:
• 10.1-De tres dígitos sin repetición.
• 10.2.-De cuatro dígitos con repetición
• 10.1= 5x4x3= 60
• 10.2=5x5x5x5= 625
• 11.1.-¿Cuántas palabras más se pueden obtener con
las letras de la palabra CHILENO?
• 11.2.- ¿Cuántas palabras más se pueden hacer con
las letras de la palabra COLOCOLO?
• 11.1= (7!-1)= 7x6x5x4x3x2x1= 5040-1=5039
• 11.2=
•
8
• V
=
• (8,2,4,2)
8!
____
= 420
2! x 4! x 2!
• 12.- Se tienen 5 libros distintos de
matemática, 3 de Química y 2 de Física. De
cuantas maneras se puede escoger:
• 12.1.- Un libro del total de ellos.
• 12.2.- Uno de cada materia.
12.1= se suman el total de libros eso nos da 10
12.2= 5x3x2x2= 60
• 12.- Si en el problema anterior los libros de
cada materia son iguales .¿De cuantas
maneras se pueden ordenar todos los libros
en un estante puestos en fila?
10
•V
(5,3,2)
10!
=
= 2520
5!x3!x2!
• 13.- Para una función existen cuatro tipos
distintos de entradas de galería, y dos tipos de
entradas distintos de platea.
• 13.1.- ¿De cuantas maneras distintas se puede
elegir una entrada?
• 13.2.- ¿Una de galería y una de Platea?
• 13.2.- ¿Dos de galería y una de platea?
• 13.1= se suman las distintas entradas eso nos
da un total de 6
• 13.2= se multiplican las entradas y eso nos da
un total de 8 entradas
• 13.3= dos de galería = 4x3= 12 y una de
platea 2 = 12x2 = 24
• 14.-Suponga ahora que en el problema
anterior las entradas de galería son todas
iguales y las de platea son también todas
iguales. Calcule de cuantas maneras se
pueden ordenar las entradas puestas en una
mesa y una sobre otra.
6
• V
6!
=
(4,2)
= 15
4!x2!
• 15.- En una estantería hay 6 frascos de mermeladas
hechos de distinta fruta y 2 frascos de café de
distinto tipo. Calcule de cuantas maneras se puede
elegir.
• 15.1.- Un frasco del total.
• 15.2.- Un frasco de mermelada y otro de café.
• 15.1= se suman los frascos de mermeladas y de café
y nos da un total de 8= 6 + 2 = 8
• 15.2= se multiplican los frascos y nos da un total de
12 = 6 x2 = 12
• 16.- Considere las 5 celdas, de ellas una sombreada.
y considere además el número 428790.Determine de
cuantas maneras se puede anotar:
• 16.1.- Uno de los dígitos de numero en la celda
sombreada.
• 16.2.- Uno de los dígitos del numero en una de las
celdas no sombreadas.
• 16.3.- El 8 en una de las celdas no sombreada.
• 16.4.- Si los números se pueden volver a elegir una
vez elegido el anterior .De cuantas maneras se puede
anotar uno de los dígitos en la celda sombreada.
• 16.1 = se ve la cantidad de dígitos y se
multiplican por 1 = 6x1 = 6
• 16.2= se ve la cantidad de casillas y la cantidad
de números y se multiplican= 6x5x4x3= 360
6 5 4 3
• 16.3=
se cuenta la cantidad de casillas no
sombreadas= 4
• 16.4= se multiplican la cantidad de números
por la cantidad de casillas sombreadas =
6x1=6
• 17.- Repita el ejercicio anterior considerando
ahora el número: 42872.
• 17.1=se ve la cantidad de dígitos y se
multiplican por 1= 5x1=5
• 17.2= se ve la cantidad de números y la
cantidad de casillas y se multiplican= 5x4x3x2=
= 120
5 4 3
2
• 17.3= se multiplica la cantidad de números
por la cantidad de casillas sombreadas =
5x1=5
• 18.-Un estudiante tiene que elegir un idioma y
una asignatura entre 5 idiomas y 4
asignaturas. Hallar el número de formas
distintas en que puede hacerlo.
- Se multiplica la cantidad de idiomas y la
cantidad de asignaturas= 5 x4 = 20
• 19.- ¿de cuantas formas se pueden repetir dos
premios entre 10 personas, sabiendo que
ambos premios?
• 19.1.- no se pueden conceder a una misma
persona
• 19.2.- se pueden conceder a la misma
persona.
• 19.1= si un premio se le concede a una
persona = 10 y el otro a 10 = 100, pero se le
resta 10 por los premios repetido eso nos da
un total de 90
• 19.2= se multiplican las 10 personas con
premios =10 x10 = 100
• 20.- ¿de cuantas maneras se pueden
introducir 5 cartas en 3 buzones?
• se multiplican los 5 cartas con los tres
buzones pero de manera de usar todas las
posibilidades de introducir 5 cartas en 3
buzones= 5x4x3x2 x3x2 =
eso nos da un total de 243 formas de introducir
5 cartas en 3 buzones
• 21) Hay 4 candidatos para presidente de un club, 6 para
vicepresidente y 2 para secretario. Calcule de cuantas
maneras se pueden ocupar estos tres puestos.
4 Candidatos para presidente.
6 Candidatos para vicepresidente.
2 Candidatos para secretarios.
6 · 4 · 2 = 48
Respuesta : Estos tres puestos se pueden ocupar de 48
maneras diferentes.
22) ¿De cuántas maneras distintas se
pueden ordenar 5 personas en una
fila?
Desarrollo . 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 120
Respuesta : Se pueden ordenar de 120 maneras
distintas.
• 23.- ¿De cuantas maneras se pueden colocar 7
libros en una estantería?
• 7!= 7x6x5x4x3x2x1= 5040
Ejercicio 24
Hallar el número de formas en que se pueden colocar en una
fila 4 cuadros de una colección que se compone de 12
cuadros.
12
11
10
Solución: 12*11*10*9 = 11880
9
Resolución ejercicio nº 25 de la guía:
• Ejercicio:
¿De cuantas maneras se
pueden colocar en una fila 5
hombres y 4 mujeres de
forma que estas ocupen los
lugares pares?
• Solución:
Se realiza multiplicando la factorial de hombres y
mujeres:
4(M)!(factorial) x 5(H)! (factorial)
4!x5!=4x3x2x1x5x4x3x2x1=2880
Se soluciona así por la simple razón de que como
dice el ejercicio las mujeres ocupan lugares
pares entonces los hombres los impares y
completamos las “casillas” con la cantidad de
formas que de las cuales se pueden ordenar:
HMHMHMHMH
544332211
Y luego multiplicamos para finalizar , es una forma
de explicar lo anteriormente dicho (al
principio)
26.) ¿De cuantas maneras se pueden colocar 7 cuadros
diferentes en una fila sabiendo que uno de ellos debe estar,
26.1)...- en el centro?
26.2) ¿en uno de los extremos?
Desarrollo:
26.1) P (7-1)= 6!
6·5·4·3·2·1= 720
26.2) P (7 -1) = 6! · 2!
(6 ·5· 4· 3 ·2·1) · (2· 1) =1440
• 27.- ¿De cuantas maneras pueden colocarse 9
libros diferentes sobre una estantería de
forma que:
• 27.1.- ¿Tres de ellos estén siempre juntos?
• 27.2.- ¿Tres de ellos no estén nunca todos
juntos?
• 27.1= 1 2 3 4 5 6 7 8 9 =
6x5x4x3x2x1x3x2= 4320
• 27.2=
• ejercicios:
28. Hallar el número de palabras diferentes de 5 letras que se pueden formar con las letras de la
palabra “empujado”.
28.1.- Si cada letra no se emplea más de una vez:
R:8X7X6X5X4=6720
*Se toman 5 letras de las 8 letras de la palabra “empujado” (sin repetirse
las letras)
28.2.- Si cada letra se puede repetir:
R:8X8X8X8X8= 32768
*se toman 5 letras de la palabra empujado ( 8 letras) con la posibilidad de
repetirse
29.- Hallar los números que se pueden formar con 4 de los dígitos: 1, 2, 3, 4,5
29.1.- Si estos no se pueden repetir en cada número
29.2.- Si se pueden repetir
29.3.-Si los dígitos no se pueden repetir.
29.3.1.- ¿Cuántos números de 4 cifras se pueden formar, empezando por 2?
29.3.2.- ¿Terminando en 25?
29.1 5 dígitos, 4 casillas, sin repetir
5
4
3
2
_ 5!_ = 5! = 5! = 120 Arreglos
(5-4)! 1!
29.2 5 dígitos, 4 casillas, con repetición de
dígitos
5
5
5
5
5 4 = 625
29.3.2 5 dígitos, 4 casillas y termina con 2 y 5
fijos
29.3.1 5 dígitos, un fijo (el 2 ) en 4 casillas, sin
repetir
2
4
3
2
3
P(5-2) = P3 = 3! = 6
P(5-1) = P4 = 4! = 24
2
2
5
• 30.-Hallar cuantos números se pueden formar
con los 10 dígitos , 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 .
• 15.1.-Si cada uno de ellos se emplea solo una
vez
• 15.-2.- ¿Cuantos de ellos son impares?.
• Se multiplican los números pero se le resta el
cero al principio que no se toma en cuenta y
que P(9-2)=7!= 5040
• Y se divide por dos para saber cantos son
impares eso nos da un total de 2520
• 31.- Hallar los números de 5 cifras que se pueden formar con
los dígitos, 1, 2,3…………….9., pudiendo estos repetirse
• 31.2.- ¿Cuantos de estos números? 31.2.1.- ¿Empiezan por 40?
• 31.2.2.- ¿Son pares?
• 31.2.3.- ¿Son divisibles por 5?
31.2 se multiplican los 9 dígitos y nos da un total de 90.000
31.2.1= se divide por 90= eso nos da un total de 1000 números
que empiezan por 40
31.2.2= se divide por dos y nos da un total de 45000
31.2.3= se divide por 5 y nos da un total de 18.000
• 32.- ¿Cuantos números comprendidos entre
3.000 y 5.000 , se pueden formar con los
dígitos , 0,1,2,3,4,5,6?, si cada uno se puede
repetir en cada numero.
• Se multiplica los números y se ven los que
están entre esos números y eso nos da 6!=
240 números
Ejercicio 33
Se pueden tomar distintas posibilidades:
Levantando…
1 banderola: 5
2 banderolas: 5*4
3 banderolas: 5*4*3
4 banderolas: 5*4*3*2
5 banderolas: 5*4*3*2*1
Ahora nosotros aplicamos principio sumativo:
5 + (5*4) + (5*4*3) + 5! + 5! = 325
• 34.- ¿De cuantas maneras se pueden sentar 5
personas alrededor de una mesa redonda?
• se ponen 5!= 5x4x3x2x10 120
• 35-.¿De cuantas maneras se pueden sentar 8
personas alrededor de una mesa redonda de
modo que dos de ellas estén siempre juntas?
Ya que es redonda se usa (n-1)! = 7!= 1440
• 36.- ¿De cuantas maneras se pueden colocar 4
mujeres y 4 hombres alrededor de una mesa
redonda de manera que cada mujer este entre
dos hombres?
• ya que es redonda se ponen intercalados es
decir HMHMHMHM = 4x4x3x3x2x2x1x1= y
como es redonda se usa (n-1)!= 4x4x3x3= 144
• 37.- ¿Cuantas pulseras se pueden hacer
ensartando en un hilo 9 cuentas de colores
diferentes?
• Se usa el principio sumativo y se multiplica los
9 colores de cuenta de la pulsera eso es igual
a 9!= 20160 formas de pulseras diferentes
• 38.- ¿De cuantas maneras se pueden elegir 5
idiomas de entre 8 de ellos?
8
8!
V = ----------= eso nos da un total de 56
5
5!
• 39.- ¿Cuantas diagonales tiene un octágono?
• Se multiplican los ochos lados del octágono y
se dividen por dos ya que se repiten la mitad y
eso nos da un total de 20 diagonales
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Arreglos y Permutaciones (1)