COLUMNA
Una columna es una barra recta y larga que se somete a
cargas axiales de compresión.
Debido a su forma las columnas tienden a deformarse
lateralmente bajo la acción de una carga, y si la deflexión se
hace mas grande fallan catastróficamente.
Abaleo se define como una deformación grande y repentina
de una estructura provocada por un ligero incremento de la
carga existente, bajo la cual la estructura había presentado
muy poca o ninguna deformación, antes del incremento de
la carga.
Regímenes de equilibrio
Columnas cargadas concéntricamente
Material elástico lineal
En la Eq 1 se describe el momento como
Eq 1
=
2 
− 2

Para el equilibrio de la sección de la barra se requiere que
 = . Sustituyendo esto en la Eq 1 se obtiene
Eq2
2 
 2
+



=0
Esta es una ecuación diferencial lineal homogénea de
segundo orden con coeficientes constantes. La solución
general de esta ecuación es:
Eq 3
 = 1 sen



+ 2 cos



Donde
1  2 =   
las condiciones de frontera son:
 = 0   = 0 → 2 = 0
 = 0   =  → 1 sen 


= 0 Eq 4
Sin embargo, 1 no puede ser igual a cero; de otra forma, existe una solución trivial de  = 0
y la columna siempre permanecerá recta, lo cual es contrario a la experiencia que se tiene en
la practica. La otra posibilidad de satisfacer la Eq 4, para que se cumpla:
Eq 5
sen 


=0
Que se satisface cuando

Eq 6

Eq 7
=

= 
2 2 
2
Donde
 = 1,2, …
El valor mas pequeño de  se obtiene para  = 1. de esta forma, la carga critica para una columna con
extremos articulados es
Eq 8
 =
2 
2
 Se denomina carga de Euler
Las columnas se diseñan de manera que la mayoría de su área de sección transversal se localice tal lejos
como sea posible de los ejes centroidales principales de la sesión
Sustituyendo la Eq 6 y 2 = 0 en la ecuación de
deflexión (Eq 3) se obtiene la forma del alabeo como
Eq 9
 = 1 sen


Cuando  =  2 ,  = á y 1 = á
Eq 10
∴  = á sen




 =
El radio de giro  se proporciono en la ecuación Re 1.
Sustituyéndolo en la Eq 8 se obtiene el esfuerzo critico
para la ecuación de Euler como:
Eq 11


=


=
2 
 
2
Alabeo inelástico
Con frecuencia la Eq 11 se modifica como:
Eq 12
 =
2 
 
2
Donde  es el modulo tangente (es decir, el modulo elástico en el nivel
de esfuerzo en la columna).
La anterior ecuación se denomina el modulo tangente u ecuación de
Essenger.
Condiciones de los extremos
La carga y el esfuerzo critico que se proporcionaron en las Eq 8 y 11,
respectivamente, se modifican simplemente reemplazando  con la
longitud efectiva  de la condición del extremo correspondiente.
Sustituyendo  por  en las Eq 8 y 11 se obtiene:

Eq 13
Eq 14


=

 

=
=
2 
2
2 
 
2
Estas ecuaciones de la carga y el esfuerzo críticos de los criterios de
Euler son validas para cualquier condición de los extremos.
En la anterior tabla se presentan las recomendaciones mínimas del
American Institute of Steel Construction (AISC)
Criterio de alabeo de Euler
El criterio del American Instituted of Steel Construction
(1989) supone que existe el limite proporcional de un
material a la mitad de la resistencia a la frecuencia, o que el
esfuerzo permisible para el alabeo elástico es:
Eq 15
 = 0,5 
Sustituyendo la Eq 15 en la 14, se obtiene la razón de esbeltez
 por medio de la formula de Euler como:
Eq 16
 =


=

22

Criterio de alabeo de Johnson
Dado el cambia abrupto en la curva de Euler cuando se aproxima a la resistencia la fluencia se requiere
una modificación empírica propuesta por Johnson quien consigue esta modificación mediante una
ecuación parabólica.
Ecuación de Johnson
Eq 17

=

 

=  −
2
Eq 18

4
−






Despejando  
Eq 19
42 

=

2
+

2
42  
Para determinar el valor de  



, se igualan las ecuaciones de Euler y Johnson (Eq 14 y 17):
44  2
2
=0
se obtiene
22 

=
2 

Si   ≤   , se deberá usar la ecuación de Johnson del esfuerzo; si   ≥  

usar la ecuación de Euler

, se deberá
Relación entre la ecuación de Euler
y la Johnson
Áreas de secciones transversales
sometidas a pandeo
Criterio del AISC
En las ecuaciones de las AISC se hacen correcciones por reducciones en el modulo elástico cuando el esfuerzo en la
columna excede el limite de proporcionalidad.
El esfuerzo normal permisible para el alabeo elástico esta dado por:
Eq 20
 =
122 
23  
2
Para alabeo inelástico
1−
Eq 21
 =
 
22

2


Donde
 = razón de esbeltez para el alabeo de Euler definido por la Eq 16
 = reducción en el esfuerzo permisible dada por
Eq 22
5
3
 = +
3  
8
−
 
3
83
La American Association of State Highway and Transportation Officials (AASHTO) usan  = 2.12 tanto para alabeo
elástico como inelástico
Columnas cargadas
excéntricamente
El momento interno de una columna es:
 = ( + )
Eq 23
Ecuación diferencial para la curva de deflexión:
2 
Eq 24
 2
+


=−


= 
Si la excentricidad es cero, las Eq 24 y 1 son idénticas. La solución general para la Eq 24 es:
Eq 25
 = 1  
Las condiciones de frontera son
1.
2.
 = 0,  = 0 → 2 = 
 =  2,   = 0


+ 2 cos 


−
Al derivar la Eq 25 se obtiene
Eq 26


= 1

cos




−






Con la Eq 26 y la condición de frontera 2 resulta:
1 =  tan
Eq 27

2


Sustituyendo 2 =  y la Eq 27 en la 25 se obtiene:
 =  tan
 


 
+ cos 
−1
2 


La deflexión máxima ocurre en  =  2
Eq 28
Eq 29
∴ á = 
2
cos
 
2 
 
2 
+ cos
á =  sec

2

2




−1
−1
El esfuerzo máximo en la columna es causado por la carga axial y por el momento. El
momento máximo ocurre a media altura de la columna y tiene una magnitud de:
á =   + á
Eq 30
á =  sec

2


El esfuerzo máximo y de deflexión es:
á =
 á 
+


Utilizando la Eq 30 se obtiene
á =
 
 
+
sec


2 
Como el radio de giro es 2 =  , la ecuación anterior se transforma en:
Eq 31


á =  1 +  2 sec


2


 = carga critica donde el alabeo ocurrirá en la columna con carga excéntrica, N.
 = área de la sección transversal de la columna, 2 .
 = excentricidad de la carga, medida desde el eje neutro del área de la sección transversal de la columna
hasta la línea de acción de la carga, m.
 = distancia desde el eje neutro a la fibra externa de la columna, m.
 = radio de giro, m.
 = longitud antes de la aplicación de la carga, m.
 = modulo de la elasticidad del material de la columna, Pa.
Para las condiciones de los extremos no articulados, la longitud se reemplaza con la longitud efectiva y las
Eq 29 y 31 se transforma en:
Eq 32
á =  sec
Eq 33
á =


1+


2


2
sec
−1


2

El parámetro  2 se denomina la razón de excentricidad. La Eq 32 se conoce como ecuación de la
secante. Observe en la Eq 33 que no es conveniente calcular la carga explícitamente.
Si á =  =  2, la Eq 33 se transforma en
Eq 34
=
  2

1+ 2

sec


2 
= ()
Un dato inicial para  es el valor que se obtiene de la condición de carga
concéntrica:
Eq 35
 = 
Usando la Eq 35 en la 34 se obtiene un nuevo valor de . Este proceso se continua
hasta:
Eq 36
−()
()
≤ 1 × 10−4
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Presentacion 5 Columnas y pandeo