Radicales
Definición del concepto
Vocabulario
Propiedades de los radicales
Simplificar expresiones con radicales
Operaciones con radicales
Resolver ecuaciones con radicales
Preparado por Profa.Carmen Batiz
UGHS
Estándar: Numeración y Operación
Expectativa 2
1
¿A qué conjunto pertenece los radicales
no exactos?
Los radicales pertenecen a los números
irracionales. Éstos son números cuya
expresión decimal tiene infinitas cifras no
periódicas.
2
Números Reales
Números Racionales
Enteros
Números
Positivos
cero
Números Irracionales
fracciones y
decimales finitos
Números
Negativos
Fracciones y
decimales
infinitos
Radicales no
exactos
∏
Números
Naturales
3
Indica cúal de éstos números son
irracionales
a.
4
no, es un número entero
b.
3
si, es un númeroinfinito
c.
8
si, es un númeroinfinito
1/ 2
d. 25
no, 25  5
4
Radicales
Surgen de los exponentes fraccionarios
Ejemplos:
x
1
=
2
2
3
x
3
m =
3u v 
1
2 3 5
m
2
=
5
2 3
3u v
5
Generalización
b
m
n
=
n
b
m
El símbolo
se denomina radical,
n es índice
b es radicando
m es el exponente
6
Ejemplos:
A. Expresa cada exponente racional en forma
radical.
1.
5
u
9
(6 x y ) 
u1/5
2. (6x2y5)2/9
3.
5
3/5
(3xy)
2
5 2
3
(3xy)
9
36 x 4 y10
 5 27 x 3 y 3
B. Expresa a la forma de exponentes racional.
1.
4
2.  (2 x )
7
3.
3
(9u)1/4
9u
x3  y3
4
-(2x)4/7
(x3 + y3)1/3
7
Intenta:
A. Expresa cada exponente racional en forma radical.
1. u2/3
2. (xy)1/5
3. 3x2/3y
B. Expresa a la forma de exponentes racional.
1.
2
2u
2.  2 x
7
3.
3
4
(m n)
2
8
Intenta:
A. Expresa cada exponente racional en forma radical.
1. u2/3
3
u
2
5
2. (xy)1/5
3. 3x2/3y
xy
3y
3
x
2
B. Expresa a la forma de exponentes racional.
1.
2
2u
2.  2 x
7
3.
3
(2u)1/2
4
(m n)
2
-21/7 x4/7
(mn)2/3
9
Propiedades de los radicales
Sea k, n y m números mayores o iguales a 2; y x y
números reales positivos:
m
1. x
m
=x
m/m
x
2. xy  x  n y
n
n
x
3.n
=
y
kn
4. x
m n
5.
km
n
n
x
y
=x
x =x
k/k
 x
n
m
1/n 1 / m
x
1 / mn

mn
x
10
Ejemplos:
Simplifica utilizando las propiedades de los radicales.
1.
2.
5
3
6
3.
4.
3
2
5
(3x y ) =
x

27
x
4
x
2
3 4
x
3
3
(3x2y)5/5
= (3x2y)
13
x

x ó
3
27
4/6
x

x2/3
=
x0 = 1
= x   x
1/ 4 1/ 3
1/12
3
x
3
Propiedad 1
Propiedad 3
Propiedad 1/P.
Exponentes
Propiedad 5
11
Intenta:
Simplifica utilizando las propiedades de los radicales.
3
3
1. xy
2.
3.
4.
3
x

8
6
4
=
x

x
3
x =
12
Intenta:
Simplifica utilizando las propiedades de los radicales.
3
3
1. xy
2.
3
6
3.
4.
x

8
=
3
3
x1/3 y3/3 = (x1/3y)
x 13

x ó
8 2
x
x4/6 =
 1/2
x
x
x =
x
2
6 x
4
3
3
6
x
x4/6-1/2 =
x4/6-3/6 = x 1/6
13
Simplificando
Números Irracionales
14
Ejemplos:
Simplifica.
1.
3
54 
15
Ejemplos:
Simplifica.
1.
3
54  2  3  3  3
3

3
3
23
3
3
Descomponer en factores primos
Propiedad 1 de los radicales
2
16
Ejemplos:
Simplifica.
2. 12x y z 
3
5 2
Descomponer en factores primos
17
Ejemplos:
Simplifica.
2. 12x y z 
3
5 2
2  2 3 x  x  y  y  z
2
4
2
Descomponer en factores primos
 22 / 2 x2 / 2 y 4 / 2 z 2 / 2 3xy
Propiedad 1 de los radicales
 2xy z
2
3
3xy
18
Ejemplos:
Simplifica.
3
4
3. 16x y
2
19
Ejemplos:
Simplifica.
3. 16x y 
3
4
2
3
23  2  x 3 xy 2
 23/3 x 3 / 3 3 2 xy 2
Propiedad 1 de los radicales
 2x
3
2 xy
2
20
Ejemplos:
Simplifica.
4.
3
27 
21
Ejemplos:
Simplifica.
4.
3
27 
3

3
3
 3
3

3 / 2 1/ 3
Propiedad 5 de los
1/ 2
radicales/Propiedad de los exponentes
 3
22
Intenta:
Simplifica utilizando las propiedades de los radicales y de los exponentes.
1. 16 
3
75x y z 
2
2.
3.
3
4.
3
3 2
32x y 
3
6
10 
23
Intenta:
Simplifica utilizando las propiedades de los radicales y de los exponentes.
1. 16 
3
3.
3
4.
3
3
3/3 3
2
75x y z 
32x y 
22 x  y
3
3 2
6

3
10  10
3

1/ 2 1/ 3
3
 2
2
52  3  x 2 y 2 yz 2
2
2.
2 2 
3
6
3
2
 5xyz
 2xy
2
10
1/ 6
3
3y
2x
6 10
24
Práctica -Ejercicios sugeridos



Algebra -Barnett
p. 23-24 (1-40) p. 32-33 (1-70)
Algebra -Larson
p.685
Algebra Glencoe
p. 724 (20-27)
25
Operaciones con
Radicales
26
Multiplicación de Radicales
Para multiplicar radicales : Se multiplica los
coeficientes y los radicales siguiendo las reglas
de éstos. Luego se simplifica el radical si es
posible.
27
Multiplicación de Radicales
EJEMPLOS:
1.2 5  3 10
2.3 7  8  15
4
12

3.
21
7
28
Multiplicación de Radicales
EJEMPLOS:
1.2 5  3 10  6 25 2
 6 5 2
 30 2
2.3 7  8  15  3 7  4  2  3  5
 3 2 7  2  3 5
 6 210
29
Multiplicación de Radicales
EJEMPLOS:
4 3 4
12
4

3.

7
21
7 7 3
4 3
 2
7 3
2
4

7
30
Otros Ejemplos:
Multiplica.
1. 2 3 ( 3  5)
2. ( 3  2)( 3  2)
3. ( 3  2)( 3  2)
4. 2 5 ( 2  3 )( 2  3 )
31
Otros Ejemplos:
Multiplica.
1. 2 3 ( 3  5)  2 9  10 3
 2  3 10 3
P. distributiva
P. 1 Radicales
 6 10 3
2. ( 3  2)( 3  2)  9  2 3  2 3  4
Multiplicación cada término del primer paréntesis
con cada término del segundo paréntesis.
 3 2 3  2 3  4
 74 3
32
Otros Ejemplos:
Multiplica.
3. ( 3  2)( 3  2)
 9 2 3 2 3 4
 3 2 3  2 3  4
4. 2 5 ( 2  3 )( 2  3 )
 1
 2 5( 4  9 )
 2 5(2  3)
 2 5 (1)
 2 5
33
Racionalizando denominadores
Racionalizar es eliminar cualquier raíz en
un denominador.
34
Racionalizando denominadores
Ejemplos.
3
5
6
2x
1.
2.
3.
10x
3
3
2x
2
4.
3
3y
4
2x
35
Racionalizando denominadores
3

1.
5
2.
3 5
3 5
5


2
5
5
5
6
6 2x
2x



2
2x
(2 x)
2x
3
6 2x

2x
3 2x
x
36
Racionalizando denominadores
3
3.
10x
3
3
2x
2
4.
3

3
3
(2 x)
(2 x)
2
2
2

3
10x
3
2
3 3
(2 x)
(2 x)
2
3
3
3y
2 x
3y



4
2 2
3
3
x
2 x x 2x
2 x
2
3 3

10x
2x
12 x 2 y 2
3
4x
2
3
2
12x y

2
3 3
2
x
2 x
2
37
Intenta
Racionaliza y simplifica.
2
1.
2
3
2.
2 3
7
3.
63
2
4.
35
38
Intenta
Racionaliza y simplifica.
2
2 2 2


1.
2
2
2
 2
3
3
3
3
3
2.


 
6
2 3
3
2
39
Intenta
Racionaliza y simplifica.
7
7
7



3.
7 9 3 7
63
2
4.
3 5
7 7 7

7
21
7

3
3  5 2 3  10 2 3  10

 22
35
9  25
40
Sumando y Restando Radicales
(3 x  5 y  2)  ( x  y  4)
Para sumar los radicales, éstos deben tener
el mismo índice y el mismo radicando. Si es
así, entonces se suma los coeficientes y se
escribe el término semejante.
41
Sumando y Restando Radicales
(3 x  5 y  2)  ( x  y  4)
4 x 6 y 2
42
Intenta:
Suma y simplifica.
1.2 40  60
2. 45  80  2 180
12
4
28
3.


7
21
3
43
Intenta:
Suma y simplifica.
1.2 40  60
2 2  5 4  4 53
2  2 2  5  2 53
4 10  2 15
44
Intenta:
Suma y simplifica.
2. 45 
80  2 180
95  445  2 9 45
3 5  2  2 5  2 3 2 5
3 5  4 5 12 5
7 5
45
Intenta:
Suma y simplifica.
12
4
28
3 4
4
74



3.


7
73
3
7
21
3
3
1
7
2
2
2
7
73
3
3 7
1
21
7 3
2

2

2

7 7
7  3 21
3 3
21
21
21
2
2
7
21
3
2  3 21 2 21 2  7 21



21
21
21
2
6 21 2 21 14 21



21
21
21
 6 21

21 46
Práctica- Ejercicios sugeridos



Algebra Barnett
p. 39-40 (1-54)
Algebra Larson
p. 692 (1-30)
Algebra Glencoe
p. 724 (28-49) impares
p. 729-730 (1-42) impares
47
Resolviendo Ecuaciones
con Radicales
48
Regla General:
Repasemos operaciones inversas:
Resta
Suma
División
Multiplicación
¿Cuál es la operación inversa de una
raíz cuadrada?
La operación inversa( de xuna
)2 raíz
= ( 5 )2
cuadrada es el cuadrado de un número.
x = 25
49
Regla General:
Es por eso que para eliminar una
raiz cuadrada,
sólo tienes que cuadrar esta.
Ejemplo:
50
Regla General:
Repasemos operaciones inversas:
Suma
Multiplicación
Resta
División
51
Entonces...
¿Cuál es la operación inversa de una
raíz cuadrada?
52
Entonces...
¿Cuál es la operación inversa de una
raíz cuadrada?
La operación inversa de una raíz
cuadrada es el cuadrado de un número.
x
(
= 5
)2
(
)x2= 25
53
EJEMPLO:
x
(
= 5
2 (
2
)
)
x = 5
x = 25
54
Otros ejemplos:
Encuentra el valor de la variable.
1. 3x  8
2. 3x  1  5
3. 3x  1  5
55
Otros ejemplos:
Encuentra el valor de la variable.
1. 3x  8
 3x 
2
 3x 
2
 8
2
 8
2
3x  64
1
x  21
3
3x 64

3
3
56
Otros ejemplos:
Encuentra el valor de la variable.
2. 3x  1  5


2
3x  1  52
3x 1  25
3x  24
x 8
57
Otros ejemplos:
Encuentra el valor de la variable.
3. 3x  1  5
3x  5  1
 3x 
2
6
2
3x  36
x 12
58
Intenta:
4.
2x  9 = x
2
59
Intenta:
2x  9 = x
2
 2x  9   x
2
2
2
2x  9  x
2
2
x 9
2
x  9
2
x3
ó
x  3
60
Práctica- Ejercicios sugeridos
Algebra Larson
p. 698 (1-30)
 Algebra Glencoe
p. 734-735 (1-39)

61
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Números Irracionales